ДИНАМИЧЕСКИЕ ЭКОНОМЕТРИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ .

ДИНАМИЧЕСКИЕ ЭКОНОМЕТРИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ. • Опр. Эконометрическая модель является динамической,если в данный момент времени она учитывает значения входящих в нее переменных,относящиеся как к текущему,так и к предыдущим моментам времени.

Два основных типа динамических эконометрических моделей: • 1) модели авторегрессии и модели с распределенным лагом (явные модели): • ARIMA (autoregressiveintegrated moving average) модели (метод Бокса-Дженкинса) • ADL (autoregressive distributed lags) модели

2) модели учитывают динамическую информацию в неявном виде. В эти модели включены переменные, характеризующие ожидаемый или желаемый уровень результата, или одного из факторов в момент времени t: • неполной корректировки • адаптивных ожиданий • рациональных ожиданий

Опр. Лаговые переменные- временные ряды самих факторных переменных, сдвинутые на один или более моментов времени.

Явные модели модель авторегрессии p-го порядка AR(p) yt = b0 + b1yt-1 + b2yt-2 + … + bpyt-p + et модель скользящей средней q-го порядка MA(q) yt = et + g1et-1 + g2et-2 + … + gqet-q

авторегрессионная модель скользящей средней порядков p и q соответственно ( ARMA(p,q) модель ) yt = b0 + b1yt-1 + b2yt-2 + … + bpyt-p + et + g1et-1 + g2et-2 + … + gqet-q • Такая модель может интерпретироваться как линейная модель • множественной регрессии, в которой в качестве объясняющих • переменных выступают прошлые значения самой зависимой • переменной, а в качестве регрессионного остатка — скользящие • средние из элементов белого шума.

Белый шум («чисто случайный временной ряд») – это непрерывный во времени случайный процесс w(t), для которого выполняются условия Гаусса-Маркова: • 1) математическое ожидание случайного возмущения равно 0 • 2) дисперсия случайного возмущения постоянна для всех наблюдений ; • 3) возмущения для разных наблюдений не коррелированы; 4) случайное возмущение и объясняющие переменные не коррелированы

модель с распределенным лагом p ( DL(p) ) - модели, содержащие не только текущие,но и лаговые значения факторных переменных yt = a + b0xt + b1xt-1 + … + bpxt-p + et авторегрессионная модель с распределёнными лагами порядков p и q ( ADL(p,q) модель ) yt = a + b0xt + b1xt-1 + … + bpxt-p + с1yt-1 + с2yt-2 + … + сqyt-q + et

Схема метода Бокса-Дженкинса • Выбор исходной модели • анализ графика временного ряда • анализ автокорреляционной функции • анализ частной автокорреляционной функции • Оценка параметров для экспериментальной проверки (МНК или метод максимального правдоподобия) • Проверка адекватности модели • Использование модели для прогнозирования

Преимущества и недостатки моделей ARIMA • Преимущества • охватывают широкий спектр временных рядов • не используются независимые переменные • проверка на адекватность проста и доступна • прогнозы и интервалы предсказания следуют прямо из модели • Недостатки • необходимо достаточно большое количество данных (для несезонных данных более 40 наблюдений) • при включении новых данных требуется перестройка всей модели • достаточно большие затраты времени и ресурсов

ИНТЕРПРЕТАЦИЯ ПАРАМЕТРОВ МОДЕЛЕЙ С РАСПРЕДЕЛЕННЫМ ЛАГОМ • Рассмотрим модель с распределенным лагом в ее общем виде :

Эта модель говорит о том, что если в некоторый момент времени происходит изменение независимой переменной ,то это изменение будет влиять на значения переменной в течение следующих моментов времени.

Коэффициентрегрессии bo- краткосрочный мультипликатор, характеризует среднее абсолютное изменение yt при изменении xt на 1 ед.своего измерения в некоторый фиксированный момент времени t,без учета воздействия лаговых значений фактора x.

В момент (t+1) совокупное воздействие факторной переменнойxt на результатyt составит (bo+b1) усл.ед., • в момент (t+2) это воздействие можно охарактеризовать суммой (bo+b1+b2) и т.д. • Полученные таким образом суммы называют промежуточными мультипликаторами.

Введем следующее обозначение: • Долгосрочный мультипликатор- показывает абсолютное изменение в долгосрочном периоде t+lрезультата yпод влиянием изменения на 1 ед.фактораx .

Положим • полученные величины называются относительными коэффициентами модели с распределенным лагом.

Если все коэффициенты имеют одинаковые знаки, то для любого • относительные коэффициенты являются весами для соответствующих коэффициентов . • Каждый из них измеряет долю общего изменения результативного признака в момент времени (t + j ).

Средний лаг представляет собой средний период, в течение которого будет происходить изменение результата под воздействием изменения фактора в момент времени t • Медианный лаг-это величина лага,для которого

ИЗУЧЕНИЕ СТРУКТУРЫ ЛАГА И ВЫБОР ВИДА МОДЕЛИ С РАСПРЕДЕЛЕННЫМ ЛАГОМ • График зависимости коэффициентов bj от j- величины лага, позволяет выявить структуру лага: линейная геометрическая V – образная перевернутая V – образная

ЛАГИ АЛМОН • лаги Алмон–этолаги, структуру которых можно описать с помощью полиномов. • зависимость коэффициентов от величины лага в форме полинома k- ой степени:

Процедура применения метода Алмон для расчета параметров модели с распределенным лагом выглядит следующим образом. • 1.Определяется максимальная величина лага . • 2.Определяется степень полинома, описывающего структуру лага.

3.По соотношениям рассчитываются значения переменных zi

4.Определяются параметры уравнения линейной регрессии • 5.рассчитываются параметры исходной модели с распределенным лагом по следующим формулам

ПреимуществаМетода Алмон . • он достаточно универсален и может быть применен для моделирования процессов, которые характеризуются разнообразными структурами лагов; • при относительно небольшом количестве переменных,с помощью метода Алмон можно построить модели с распределенным лагом любой длины; • мультиколлинеарность факторов z0,…,zk сказывается на оценках параметров b0,...,bl в меньшей степени, чем при применении стандартного МНК к исходной модели.

Метод Койка для бесконечномерной модели • Предположение:существует некоторый постоянный темп уменьшения во времени лаговых воздействий фактора на результат.

Если в период tрезультат изменялся под воздействием изменения фактора в этот же период времени на b0ед.,то под воздействием изменения фактора,имевшего место в период (t-1),результат изменится на b0 ед.; • в период (t-2)-на b02ед.,и т.д.

Таким образом, лаг имеет геометрическую структуру:

Ограничение обеспечивает одинаковые знаки для всех коэффициентов . • Ограничение означает, что с увеличением лага значения параметров модели убывают в геометрической прогрессии.

Чем ближе к 0, тем выше темп снижения воздействия фактора на результат во времени и тем большая доля воздействия на результат приходится на текущие значения фактора .

Выразим все коэффициентыв модели через и : • Тогда для периода (t-1):

Умножим обе части на и вычислим

Отсюда получим модель Койка:

Метод преобразования Койка позволяет перейти от модели с бесконечными распределенными лагами к модели авторегрессии,содержащей две независимые переменные и

Средний лаг: • Медианный лаг:

МОДЕЛИ АДАПТИВНЫХ ОЖИДАНИЙ • модель вида (1) • где фактическое значение результативного признака; • ожидаемое значение факторного признака.

Механизм формирования ФАКТОРОВ в этой модели следующий: • или • где - коэффициент ожиданий

Утверждение. Модель адаптивных ожиданий сводится к модели авторегрессии. Док-во:

Вычитаем или где

Модель (1) называется долгосрочной функцией модели адаптивных ожиданий. • Модель (2) называется краткосрочной функцией модели адаптивных ожиданий.

Пример. Модель гиперинфляции Кейгана Yt = log (Mt/Pt) M - номинальное количество денег в обращении, P - уровень цен, M/P - реальные денежные остатки,

Модель адаптивных ожиданий: Ytd=  +  xt+1w + t • xt+1w = (xt - xtw) Ytd - спрос на реальные денежные остатки, xw - ожидаемый уровень инфляции

Модель потребления Фридмена Сtp = b Ytp • где • Yt = Ytp + YtT Ytp - постоянный доход, YtT– переменный доход Сt = Сtp + СtT Сtp - постоянное потребление, СtT– переменное потребление

Регрессионная модель Сt = b Ytp + СtT • Модель адаптивных ожиданий Сt = bl Yt + (1- l ) Yt-1 + t

ДИНАМИЧЕСКИЕ ЭКОНОМЕТРИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ .