1 / 36

UNIVERSIDADE FEDERAL DE UBERLÂNDIA FACULDADE DE MATEMÁTICA

UNIVERSIDADE FEDERAL DE UBERLÂNDIA FACULDADE DE MATEMÁTICA. PROJETO PIBEG. Unidade V Integração Numérica. Sumário:. 1 – Introdução. 2 – Fórmulas de Newton - Cotes. 3 – Regra dos Trapézios. 3.1 – Erro de Truncamento. 4 – Regra dos Trapézios Repetida. 4.1 – Erro de Truncamento.

gala
Download Presentation

UNIVERSIDADE FEDERAL DE UBERLÂNDIA FACULDADE DE MATEMÁTICA

An Image/Link below is provided (as is) to download presentation Download Policy: Content on the Website is provided to you AS IS for your information and personal use and may not be sold / licensed / shared on other websites without getting consent from its author. Content is provided to you AS IS for your information and personal use only. Download presentation by click this link. While downloading, if for some reason you are not able to download a presentation, the publisher may have deleted the file from their server. During download, if you can't get a presentation, the file might be deleted by the publisher.

E N D

Presentation Transcript


  1. UNIVERSIDADE FEDERAL DE UBERLÂNDIA FACULDADE DE MATEMÁTICA PROJETO PIBEG Unidade V Integração Numérica

  2. Sumário: 1 – Introdução 2 – Fórmulas de Newton - Cotes 3 – Regra dos Trapézios 3.1 – Erro de Truncamento 4 – Regra dos Trapézios Repetida 4.1 – Erro de Truncamento 5 – Regra 1/3 de Simpson 5.1 – Erro de Truncamento 6 – Regra 1/3 de Simpson Repetida 6.1 – Erro de Truncamento

  3. 1 –Introdução

  4. Seja f(x) uma função contínuaem [a, b]. O problema da integração numérica consiste em calcular um valor aproximado para: • A idéia básica da integração numérica é a substituição de f(x) por um polinômio pn(x), que aproxime a função no intervalo [a, b]. • Desta forma, a solução é obtida pela integração trivial de polinômios, ou seja: onde, I’ é a integral aproximada e Ei o erro da integração numérica.

  5. 2 – Fórmulas de Newton - Cotes

  6. f(x) f(x1) p(x) f(x0) a b || || x0 x1 • Quando os pontos usados na determinação do polinômio interpolador são igualmente espaçados e, no caso particular onde x0 = a e xn = b, tem-se o processo conhecido como “fórmulas fechadas de Newton-Cotes”. Assim, tem-se:

  7. Considerando uma variável auxiliar u, pode-se escrever: Portanto, a integral é dada por: • Nesta unidade desenvolveremos as seguintes fórmulas de Newton-Cotes: • Regra dos Trapézios • Regra 1/3 de Simpson

  8. 3 – Regra dos Trapézios

  9. Desenvolvimento por Lagrange Desenvolvimento por Newton - Gregory

  10. Consideremos o intervalo [a, b] tal que x0 = a e xn = b. • Seja pn(x) um polinômio que interpole a função y = f(x) sobre n + 1 pontos. Pela fórmula de Lagrange, temos que: • Portando a integral aproximada é dada por:

  11. Pela Regra dos Trapézios considera-se o polinômio pn(x) de grau máximo n = 1, assim temos: • Para fazer a integração consideremos os pontos igualmente espaçados de h e a variável auxiliar u:

  12. f(x) f(x1) p(x) f(x0) h a = x0 b = x1 Esta equação representa a área do trapézio de altura h e bases f(x0) e f(x1).

  13. 3.1 – Erro de Truncamento na Regra dos Trapézios Sabe-se que : Considerando a variável auxiliar u, o erro da interpolação polinomial, obtido na unidade anterior, é dado por: Substituindo na equação anterior resulta:

  14. O teorema do valor médio para integral, permite escrever: desde que yn(u)não mude de sinal no intervalo e n impar. Desta forma, a equação do erro pode ser reescrita como: No caso da Regra dos trapézios, faz-se n = 1 e obtém-se:

  15. 4 – Regra dos Trapézios Repetida

  16. f(x) f(x) ... x0 x1 x2 x3 xm-2 xm-1 xm x • Com a finalidade de minimizar o erro cometido, seja a regra dos trapézios aplicada repetidas vezes. • Considere pontos distintos (xi , yi) i = 0, ... , m igualmente espaçados com passo h,tais que xi+1 - xi = h.

  17. Segundo a propriedade das integrais, tem-se: • Utilizando a equação da regra dos trapézios, resulta:

  18. f(x) A4 A3 A2 A1 x 4.1 – Interpretação Geométrica ITR = A1 +A2 + A3 + A4 + ... + Am

  19. 4.2 – Erro de Truncamento na Regra dos Trapézios Repetida • Considerando que f ”(x) seja contínua no intervalo [a, b] , pode-se escrever que: • Desta forma, o erro cometido na aplicação da regra dos trapézios repetida é dado por: • E a cota superior (ou limitante) do erro absoluto vale:

  20. Exemplo 1:Seja a) a) Aproximar I, usando a regra do Trapézios Repetida sobre 7 pontos. b) Estime o erro cometido.

  21. b)

  22. 5 – Regra 1/3 de Simpson

  23. Desenvolvimento por Lagrange Desenvolvimento por Newton - Gregory

  24. f(x) x x0 x1 x2 • Consideremos o intervalo [a, b] tal que x0 = a , x1 = x0 + h e x2 = x0 + 2h = b. • Utilizando novamente o polinômio de Lagrange para estabelecer a fórmula de integração de f(x) tem-se:

  25. A integral aproximada é dada por: • Pela Regra 1/3 de Simpson considera-se o polinômio pn(x) de grau máximo n = 2, assim temos:

  26. Para fazer a integração consideremos a variável auxiliar u:

  27. portanto,

  28. 5.1 – Erro de Truncamento na Regra 1/3 de Simpson • O erro cometido ao se utilizar a regra 1/3 de Simpson não pode ser obtido através da equação abaixo: pois yn(u) muda de sinal no intervalo. • Demonstra-se que, para f (IV)(x) contínua em [x0, xn], o erro pode ser calculado por:

  29. 6 – Regra 1/3 de Simpson Repetida

  30. Seja m +1 pontos igualmente espaçados, tal que o intervalo [a, b] seja subdividido em m intervalos pares. • Segundo a propriedade das integrais, tem-se: • Utilizando a equação da regra 1/3 de Simpson, resulta:

  31. 6.1 – Erro de Truncamento na Regra 1/3 de Simpson Repetida • Considerando que f (IV)(x) seja contínua no intervalo [a, b], o erro pode ser calculador por: • Desta forma, o erro cometido pela aplicação da Regra 1/3 de Simpson Repetida vale:

  32. Assim, a cota superior do erro absoluto vale:

  33. a) Exemplo 2:Seja a) Aproximar I, usando a regra 1/3 de Simpson Repetida sobre 7 pontos. b) Estime o erro cometido.

  34. b)

  35. Do exemplo 1 temos que

More Related