UNIVERSIDADE FEDERAL DE UBERLÂNDIA FACULDADE DE MATEMÁTICA

1. UNIVERSIDADE FEDERAL DE UBERLÂNDIA FACULDADE DE MATEMÁTICA PROJETO PIBEG Unidade V Integração Numérica

2. Sumário: 1 – Introdução 2 – Fórmulas de Newton - Cotes 3 – Regra dos Trapézios 3.1 – Erro de Truncamento 4 – Regra dos Trapézios Repetida 4.1 – Erro de Truncamento 5 – Regra 1/3 de Simpson 5.1 – Erro de Truncamento 6 – Regra 1/3 de Simpson Repetida 6.1 – Erro de Truncamento

3. 1 –Introdução

4. Seja f(x) uma função contínuaem [a, b]. O problema da integração numérica consiste em calcular um valor aproximado para: • A idéia básica da integração numérica é a substituição de f(x) por um polinômio pn(x), que aproxime a função no intervalo [a, b]. • Desta forma, a solução é obtida pela integração trivial de polinômios, ou seja: onde, I’ é a integral aproximada e Ei o erro da integração numérica.

5. 2 – Fórmulas de Newton - Cotes

6. f(x) f(x1) p(x) f(x0) a b || || x0 x1 • Quando os pontos usados na determinação do polinômio interpolador são igualmente espaçados e, no caso particular onde x0 = a e xn = b, tem-se o processo conhecido como “fórmulas fechadas de Newton-Cotes”. Assim, tem-se:

7. Considerando uma variável auxiliar u, pode-se escrever: Portanto, a integral é dada por: • Nesta unidade desenvolveremos as seguintes fórmulas de Newton-Cotes: • Regra dos Trapézios • Regra 1/3 de Simpson

8. 3 – Regra dos Trapézios

9. Desenvolvimento por Lagrange Desenvolvimento por Newton - Gregory

10. Consideremos o intervalo [a, b] tal que x0 = a e xn = b. • Seja pn(x) um polinômio que interpole a função y = f(x) sobre n + 1 pontos. Pela fórmula de Lagrange, temos que: • Portando a integral aproximada é dada por:

11. Pela Regra dos Trapézios considera-se o polinômio pn(x) de grau máximo n = 1, assim temos: • Para fazer a integração consideremos os pontos igualmente espaçados de h e a variável auxiliar u:

12. f(x) f(x1) p(x) f(x0) h a = x0 b = x1 Esta equação representa a área do trapézio de altura h e bases f(x0) e f(x1).

13. 3.1 – Erro de Truncamento na Regra dos Trapézios Sabe-se que : Considerando a variável auxiliar u, o erro da interpolação polinomial, obtido na unidade anterior, é dado por: Substituindo na equação anterior resulta:

14. O teorema do valor médio para integral, permite escrever: desde que yn(u)não mude de sinal no intervalo e n impar. Desta forma, a equação do erro pode ser reescrita como: No caso da Regra dos trapézios, faz-se n = 1 e obtém-se:

15. 4 – Regra dos Trapézios Repetida

16. f(x) f(x) ... x0 x1 x2 x3 xm-2 xm-1 xm x • Com a finalidade de minimizar o erro cometido, seja a regra dos trapézios aplicada repetidas vezes. • Considere pontos distintos (xi , yi) i = 0, ... , m igualmente espaçados com passo h,tais que xi+1 - xi = h.

17. Segundo a propriedade das integrais, tem-se: • Utilizando a equação da regra dos trapézios, resulta:

18. f(x) A4 A3 A2 A1 x 4.1 – Interpretação Geométrica ITR = A1 +A2 + A3 + A4 + ... + Am

19. 4.2 – Erro de Truncamento na Regra dos Trapézios Repetida • Considerando que f ”(x) seja contínua no intervalo [a, b] , pode-se escrever que: • Desta forma, o erro cometido na aplicação da regra dos trapézios repetida é dado por: • E a cota superior (ou limitante) do erro absoluto vale:

20. Exemplo 1:Seja a) a) Aproximar I, usando a regra do Trapézios Repetida sobre 7 pontos. b) Estime o erro cometido.

21. b)

23. 5 – Regra 1/3 de Simpson

24. Desenvolvimento por Lagrange Desenvolvimento por Newton - Gregory

25. f(x) x x0 x1 x2 • Consideremos o intervalo [a, b] tal que x0 = a , x1 = x0 + h e x2 = x0 + 2h = b. • Utilizando novamente o polinômio de Lagrange para estabelecer a fórmula de integração de f(x) tem-se:

26. A integral aproximada é dada por: • Pela Regra 1/3 de Simpson considera-se o polinômio pn(x) de grau máximo n = 2, assim temos:

27. Para fazer a integração consideremos a variável auxiliar u:

28. portanto,

29. 5.1 – Erro de Truncamento na Regra 1/3 de Simpson • O erro cometido ao se utilizar a regra 1/3 de Simpson não pode ser obtido através da equação abaixo: pois yn(u) muda de sinal no intervalo. • Demonstra-se que, para f (IV)(x) contínua em [x0, xn], o erro pode ser calculado por:

30. 6 – Regra 1/3 de Simpson Repetida

31. Seja m +1 pontos igualmente espaçados, tal que o intervalo [a, b] seja subdividido em m intervalos pares. • Segundo a propriedade das integrais, tem-se: • Utilizando a equação da regra 1/3 de Simpson, resulta:

32. 6.1 – Erro de Truncamento na Regra 1/3 de Simpson Repetida • Considerando que f (IV)(x) seja contínua no intervalo [a, b], o erro pode ser calculador por: • Desta forma, o erro cometido pela aplicação da Regra 1/3 de Simpson Repetida vale:

33. Assim, a cota superior do erro absoluto vale:

34. a) Exemplo 2:Seja a) Aproximar I, usando a regra 1/3 de Simpson Repetida sobre 7 pontos. b) Estime o erro cometido.

35. b)

36. Do exemplo 1 temos que