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o.Univ . Prof. Dkfm . Dr. Wolfgang Janko, WU

Entscheidung bei Infomationsdefizit : Simultane optimale Alternativensuche und Nutzenpräzisierung. o.Univ . Prof. Dkfm . Dr. Wolfgang Janko, WU. Grundmodell der Entscheidungstheorie. Nutzenmatrix. Informationssystem:. Bayes‘sches Theorem:.

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Presentation Transcript

  1. Entscheidung bei Infomationsdefizit: Simultane optimale Alternativensuche und Nutzenpräzisierung o.Univ. Prof. Dkfm. Dr. Wolfgang Janko, WU

  2. Grundmodell der Entscheidungstheorie Nutzenmatrix

  3. Informationssystem:

  4. Bayes‘sches Theorem: Auch mit Dichten und subjektiven Wahrscheinlichkeiten zu rechnen!

  5. Informationsbeschaffung • Einstufig • mehrstufig (sequentielle Beschaffungsmodelle)

  6. Alternativensuchmodelle bzw. ordinaler Nutzen bzw. Geldnutzen +viele andere Modelle

  7. Optimale Politik bei einfacher Alternativensuche und bekannter Verteilung des (Geld-)Nutzens F(u) mit Dichte f(u): Ermittlung von v* = erwarteter Wert bei optimaler Fortsetzung der Suche Stoppen wenn u ≥ v*! Ermittlung: Wir erhalten v* als Nullstelle: TF(v)-c =0 Bsp.: Für N(0,1) gilt: TF(v)=f(v)-v(1-F(v)) Für Gvtlg in [0,1] gilt: TF(v)=(v²+1)/2-v und v* = 1-√(2cs ) (cs< ½) TF(v) s

  8. Konjugierte Familie: a priori Verteilung = a posteriori Verteilung , Beispiele:

  9. Sequentielle Alternativensuche mit Datenpräzisierung Bekannt: 3-dimensionale Verteilung der ZV X = (x1, x2, x3) Entscheider kann: X1 mit Suchkosten c1 beobachten, X2 mit Testkosten c2 beobachten. Er kann in jedem Fall akzeptieren oder mit der Suche fortfahren. Den wahren Wert X3 kennt er erst nach Akzeptanz! Wir nehmen an X ist multivariat normalverteilt mit den Parametern m =(m1, m2, m3) und der Korrelationsmatrix M.

  10. Der Such- und Testprozess Verwerfen Verwerfen X1 Suchen (X) X2 Testen (Y) c2 c1 Akzeptieren X3 (V)

  11. Optimale Politik Es muss zunächst untersucht werden für die 3-dimensionale ZV (X,Y,V), ob Testen überhaupt sinnvoll ist. Man ermittelt den Wert v0 und ermittelt T(v0 , v0) ≤ (Fall a) bzw. > (Fall b) v0 . Gilt Fall a) so wird überhaupt nicht getestet und der Erwartungswert der Politik ist v* ( = v0). v0 wird rückgerechnet auf x0. In Fall a) gilt bei einem Wert x von X: Ist x < x0 wird abgelehnt, ist x0 ≤ x so wird angenommen. Im Fall b) kommt es zur Festlegung von Werten x*, y* und v* einer optimalen Politik beim Testen: Vorgangsweise nach Aufsuchen einer Alternative mit Wert x von X : • Gilt x<x* so wird diese abgelehnt und aufs Neue gesucht, gilt y* ≤ x wird gestoppt (akzeptiert) • Gilt x*≤ x < y*, so wird getestet; der Test ergibt den Wert y von Y , wir untersuchen • gilt y < v* weitersuchen • v* ≤ y stoppen und akzeptieren.

  12. y*-x*= konstant

  13. Hohe Testkosten c2 weniger Einfluss als hohe Suchkosten c1 Erwarteter Ertrag v* bleibt gleich bei unverändertem Rest Testbereich verschiebt sich exakt um Mittelwertverschiebung

  14. Kein Einfluss bei sonst gleichen Werten • V* steigt mit m3 gleichmäßig parallel

  15. s1 kein Einfluss auf Ertrag, Testbereich wächst mit steigenden s1 s2 hat keinen Einfluss auf Testbereich und vx.

  16. Mit abnehmendem s3 wird nicht mehr getestet! Mit zunehmendem s3 erweitert sich der Testbereich; v*steigt mit s3. Testbereich wird kleiner mit wachsendem r13 bis kein Test mehr; Wert der Politik steigt (Testkosten relativ klein)

  17. Größe der Testkosten zu v*bestimmend für Testbereich; c2 groß führt zum reinen Suchen. v*wächst mit r13; Testintervall wird mit zunehmendem r13 kleiner.

  18. Ergebnis nicht verständlich! Wozu testen wenn Korr(1,3) immer größer wird ? Nicht plausibel für f > 0 f=r13r12-r23

  19. Nicht plausibel, da für große r12 ein Testen nicht sinnvoll erscheint.

  20. Man kann zeigen: Diese Probleme lassen sich vermeiden, wennr12r23 - r13 ≤ 0 und r12r13-r23 ≤ 0 erfüllt wird !! MacQueen (1964) zeigt ua, daß eine Interpretation dieser Lösung als 2facher Test möglich ist und 1)aus einer großen Anzahl von Möglichkeiten genau N app. optimal unter Einhaltung eines Testbudgets von C gewählt werden können und 2) die optimale Ausschöpfung eines beschränkten Budgets B für wiederholte derartige Sequentialtests ohne Beschränkung von deren Anzahl zur Maximierung der Summe der Werte approx. möglich ist. DeGroot, M.,Optimal Statistical Decisions, McGraw-Hill Company,N.Y., 1970 Ferschl, F., Nutzen- und Entscheidungstheorie, Köln-Opladen, Westdeutscher Verlag,1975 MacQueen, J.B.,OptimalPoliciesfor a Class of Search and Evaluation Problems, Management Science, Vol. 10, No.4,pp. 746 ff

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