DANE INFORMACYJNE

2. DANE INFORMACYJNE • Nazwa szkoły: • Gimnazjum Towarzystwa Salezjańskiego • ID grupy: • 98/84_mf_g1 • Kompetencja: • Matematyka • Temat projektowy: • Geometria na zginanej kartce • Semestr V/ rok szkolny: • 2011/2012

3. Spis treści • Elementarne konstrukcje geometryczne – Dawid Chudy i Jacek Stankiewicz • Pojęcia i własności figur płaskich – Paola Pachla i Aleksandra Markiewicz • Węzły prowadzące do powstania modeli wielokątów foremnych – Patrycja Sekulska • Przekształcenia geometryczne na wykresach – Zuzanna Klaus • Wstęga Möbiusa i jej zadziwiające własności – Patrycja Rubach i Eryka Zielińska • Projektowanie papierowych ornamentów, siatek, itp.- Monika Chomej

4. PODSTAWOWE KONSTRUKCJE GEOMETRYCZNE • Sposób zaznaczania : • Kolor czarny - dane • Kolor niebieski - pierwszy etap • Kolor zielony - drugi etap • Kolor czerwony – trzeci etap • Kolor pomarańczowy – czwarty etap

5. 1. Prosta prostopadła. • Konstrukcja prostej prostopadłej do danej przez dany punkt. • • Z danego punktu zakreślamy łuk tak, by przeciął daną prostą w dwóch punktach. • • Z tych punktów rysujemy łuki o jednakowych promieniach. Przecięcia tych łuków wyznaczają dwa punkty. • • Te dwa punkty wyznaczają szukaną prostą prostopadłą.

6. 2. Symetralna odcinka. • • Z końców danego odcinka zakreślamy dwa łuki o takich samych promieniach tak, by się przecięły w dwóch punktach. • • Te dwa punkty wyznaczają symetralną odcinka

7. 3. Dwusieczna kąta • • 1. Z wierzchołka danego kąta zakreślamy łuk tak, by przeciął ramiona kąta. • • 2. Z punktów przecięcia łuku z ramionami zakreślamy dwa łuki o jednakowych promieniach tak, by się przecięły w jednym punkcie. • • 3. Prowadzimy prostą przez uzyskany przed chwilą punkt i wierzchołek kąta. Ta prosta to dwusieczna.

8. 5. Kąt przystający do danego kątA • • Rysujemy dolne ramię przyszłego kąta. • • Z wierzchołka danego kąta rysujemy łuk tak, by przeciął oba ramiona. • • Taki sam łuk rysujemy z punktu, który będzie wierzchołkiem przystającego kąta. • • Odmierzamy cyrklem odległość między punktami przecięcia łuku z ramionami danego kąta. Odległość tę przenosimy na łuk poprowadzony w (przyszłym) kącie przystającym tak, by widać było punkt przecięcia. • • Przez wierzchołek i przed chwilą wyznaczony punkt prowadzimy prostą – to drugie ramię kąta

9. 6. Wielokąt przystający do danego wielokąta. • • Rysujemy prostą, która będzie podstawą trójkąta i odmierzamy na niej podstawę. • • Z jednego końca podstawy zakreślamy łuk o promieniu równym długości odpowiedniego boku trójkąta. • Podobnie czynimy z drugim bokiem • • Łuki te przecinają się. Jest to wierzchołek trójkąta. Łączymy końce podstawy z wierzchołkiem – • otrzymujemy trójkąt przystający do danego.

10. 7. Styczna do okręgu • • Odległość dany punkt – środek danego okręgu dzielimy na pół (konstrukcja symetralnej). Chodzi o znalezienie środka tego odcinka. • • Rysujemy łuk o tym środku i takim promieniu, by przechodził on przez środek danego okręgu (i co za tym idzie, również przez dany punkt). • • Punkty przecięcia się tego łuku z okręgiem wyznaczają punkty styczności. Przez dany punkt i te punkty prowadzimy proste styczne (są dwa rozwiązania).

11. Pojęcia i Własności figur Płaskich • -Czworokąt to wielokąt płaski o czterech bokach. • -Odcinek łączący dwa niesąsiednie wierzchołki czworokąta nazywamy przekątną czworokąta. • -Każdy czworokąt ma dwie przekątne. • -Suma miar kątów wewnętrznych w każdym czworokącie wynosi 360°.

12. Pojęcia i Własności figur Płaskich • Wśród czworokątów można wyróżnić m.in.: • - trapezy, • - równoległoboki, • - prostokąty, • - deltoidy, • - romby, • - kwadraty (czyli czworokąty foremne).

13. Pojęcia i Własności figur Płaskich • W czworokąt da się wpisać okrąg wtedy i tylko wtedy, gdy sumy długości przeciwległych boków czworokąta są równe. Na czworokącie da się opisać okrąg wtedy i tylko wtedy, gdy sumy miar przeciwległych kątów wewnętrznych są sobie równe. Na czworokącie da się opisać okrąg również wtedy i tylko wtedy gdy odpowiednie kąty są równe, co wynika z równości kątów wpisanych opartych na tym samym łuku. W okrąg można wpisać tylko czworokąt wypukły.

14. Pojęcia i Własności figur Płaskich

15. Pojęcia i Własności figur Płaskich • Trapez – czworokąt mający parę równoległych boków nazywanych podstawami, pozostałe noszą nazwę ramion; odległość między podstawami to wysokość. Niektórzy autorzy definiują trapez jako czworokąt posiadający tylko jedną parę boków równoległych, tzn. uważają, że równoległobok nie jest trapezem. • Suma miar kątów leżących przy tym samym ramieniu dowolnego trapezu jest równa 180°.

16. WSZYSTKO Z PASKA PAPIERU • Gdy dysponujemy pewną ilością taśmy z papieru, możemy za jej pomocą skonstruować wszystkie wielokąty foremne. Aby skonstruować taką figurę, należy najpierw odpowiednio zapleść taśmę. Następnie ją spłaszczyć, tak aby powstała właściwa figura. Do zrobienia wielokąta, o parzystej liczbie boków potrzebne są dwie taśmy, co zostało pokazane to na przykładzie sześcio- i ośmiokąta foremnego. Do wykonana pięciokąta jest wymagany tylko jeden pasek papieru, odpowiednio zapleciony.

17. Siedmiokąt Foremny

18. Pięciokąt Foremny

19. Sześciokąt Foremny

20. Papieroweornamenty i siatki 1.Poniżej przedstawiony ornament powstał przez zastosowanie symetrii środkowej.

21. 2. Ornament powstał przez translację.

22. 3. Ornament powstał przez obrócenie kwadratu o 270°.

23. 4. Ten ornament powstał przez wykorzystanie symetrii środkowej.

24. 5. Ta figura powstała przez przesunięcie.

25. 6. W tym ornamencie zastosowano symetrię obrotową o kąt 90˚.

26. WZORNICYWO W PRZEMYŚLE Wzornictwo ma zastosowanie miedzy innymi w wyrobach dywanów.

27. Wstęga Möbiusa • Jest to zwykły pasek papieru ze sklejonymi końcami tylko z jednym obróconym przed sklejeniem o 180°. To mogło zdarzyć się kiedyś przez nieuwagę lub być celowym figlem, faktem jest, że odkryto dzięki temu powierzchnię o niezwykłych matematycznych własnościach. Ten szczególny obiekt opisał po raz pierwszy w 1858 roku niemiecki matematyk i astronom August Ferdynand Möbius i stąd wstęga wzięła swoją nazwę. Ogólnie wstęgą rzędu n nazywamy pasek, który przed sklejeniem końców został przekręcony n-krotnie o 180°. Takie wstęgi są popularnymi motywami zdobniczymi.  ö

28. Ciekawostki dotyczące wstęgi Möbiusa: • 1. Jeśli chcemy pokolorować tylko jedną jej stronę,... zakolorujemy ją całą. To wszystko przez jej jednostronność! 2. Spróbuj rozciąć wstęgę w połowie szerokości i... okaże się, że zamiast dwóch mniejszych wstęg mamy znowu jedną (tym razem ma już dwie strony). 3. Rozetnij następne wstęgi, ale tak by cięcie nie przechodziło dokładnie przez środek szerokości i... po rozcięciu będą dwie wstęgi i to połączone ze sobą! 4. Spróbuj przejechać po brzegu swojej wstęgi skuwką od długopisu. Jadąc po jednej stronie, po jakimś czasie zauważysz, że skuwka wędruje po przeciwnej krawędzi (czyli to ta sama krawędź!) 

29. Zastosowania Wstęgi Möbiusa • Takie wstęgi są popularnymi motywami zdobniczymi. Można je znaleźć np.: • w logo firmy Renault autorstwa Victora Vasarely'ego, logo niemieckiego Commerzbanku i innych firm, np.  Global Investment Servicing, CarmikeCinemas i amerykańskiej firmy administrującej ubezpieczeniami zdrowotnymi HMS Holdings Corporation, • na belgijskich znaczkach pocztowych jako symbol poczty Beneluxu, • w matematycznym symbolu nieskończoności, • w symbolu recyclingu, czyli procesu transformacji zużytych odpadów w gotowe do ponownego użytku materiały, którymi wcześniej były (następuje powrót do punktu wyjścia, jak na wstędze Möbiusa). •  Jest też ona opatentowana w taśmach filmowych.

30. PRZYKŁADY WSTĘG MÖBIUSA

31. Wstęga möbiusa w sztuce

32. WSTĘGA MöBIUSA JAKO ELEMENT DEKORACYJNY • Można ją spotkać np. • w matematycznym symbolu nieskończoności, • jako motywy zdobnicze, • jako rzeźby, • w symbolu firmy Renault, • na belgijskim znaczku pocztowym jako symbol Benelux, • w symbolu recyclingu, czyli procesu transformacji zużytych odpadów w gotowe do ponownego użytku materiały, którymi wcześniej były (następuje powrót do punktu wyjścia, jak na wstędze Möbiusa).

33. Zastosowania wstęgi möbiusa • cyrkowcy wykonują „magiczną” sztuczkę, w której cylindryczna obręcz ma ścieżkę z prochu umieszczoną w połowie szerokości i po podłożeniu ognia efektownie przepala się na dwie części, a gdy ogień dochodzi już do końca (tzn. w tym przypadku do początku), wbrew oczekiwaniom widzów wstęga nie rozpada się na dwie części, ale nadal stanowi jedną całość! (oczywiście obręcz nie jest cylindrem lecz wstęgą Möbiusa) • istnieją książki sklejone w kształt wstęgi Möbiusa, które można czytać „w koło Macieju” i to zaczynając z dowolnego miejsca, • w narciarskich skokach akrobatycznych jedna z ewolucji nosi nazwę „koziołek Möbiusa”, gdyż ciało narciarza zakreśla w czasie jej wykonywania fragment wstęgi Möbiusa, • w technice używa się pasów transmisyjnych, skręconych w kształt wstęgi Möbiusa, co powoduje, że ich powierzchnia zużywa się jednakowo po obu stronach.

34. PRZEKSZTAŁCENIA GEOMETRYCZNE • Przekształceniem geometrycznym płaszczyzny nazywamy przyporządkowanie każdemu punktowi P płaszczyzny pewnego punktu P’ na tej płaszczyźnie. Punkt P’ nazywamy obrazem punktu P w tym przekształceniu. • Rodzaje przekształceń: • Przesunięcie równoległe (translacja o wektor). • Symetria osiowa. • Symetria środkowa.

35. P’ P Przesunięcie równoległe • Przesunięciem równoległym (translacją) o dany wektor nazywamy takie przekształcenie płaszczyzny, w którym każdemu punktowi P tej płaszczyzny jest przyporządkowany taki punkt P’, że:

36. l k P’ M P Symetria względem prostej • Symetrią osiową względem prostej k nazywamy takie przekształcenie geometryczne, które każdemu punktowi P płaszczyzny przyporządkowuje taki punkt P’, że: • Punkty P, P’ leżą na prostej l prostopadłej do prostej k, • Wektory i są przeciwne.

37. Symetria względem osi ox • Obrazem punktu P(x,y) w symetrii osiowej względem osi OX jest punkt P’(x’, y’) taki, że:

38. Symetria względem osi oy • Obrazem punktu P(x,y) w symetrii osiowej względem osi OY jest punkt P’(x’, y’) taki, że:

39. Symetria środkowa • Symetrią środkową względem punktu O nazywamy takie przekształcenie geometryczne, które każdemu punktowi P płaszczyzny przyporządkowuje taki punkt P’, że wektor OP i OP’ są przeciwne. Punkt O nazywamy środkiem symetrii.

40. Nasza strona eu-salezjanie.ugu.pl Twórcy: Oskar Cieślikiewicz Sławomir Jastrzębski

41. GAZETKA SZKOLNA