Numerick é metódy riešenia diferenciálnych rovníc

1. Numerické metódy riešenia diferenciálnych rovníc Matematicko-počítačové modelovanie 4. semester

2. Literatúra: • Arnold V.I. Obyčajné diferenciálne rovnice • Komorník, Komorníková, Mikula: Modelovanie ekonomických a finančných procesov • Babušíková, Slodička, Weisz: Numerické metódy, skriptum • Míka, Kufner: Okrajové úlohy pre ODR • Handlovičová, Schiesslová: Diferenčné metódy riešenia inžinierskych úloh

3. Obyčajné diferenciálne rovnice Základné vedomosti z klasickej teórie ODR • ODR 1. rádu, separovateľná lineárna, lineárna s pravou stranou • ODR 2. rádu, vyšších rádov pre lineárne ODR s konštantnými koeficientami a pravou stranou • Cauchyho úloha, okrajová úloha • Systém ODR

4. Fázový priestor • Proces • Proces sa nazýva deterministický, ak celý jeho budúci aj minulý vývoj je jednoznačne určený súčasným stavom. • Množina všetkých stavov procesu sa nazýva fázový priestor

5. Príklady deterministických procesov • 1. klasická mechanika- pohyb sústavy je jednoznačne určený začiatočnou polohou a rýchlosťou sústavy na začiatku. • 2. finančníctvo - narastanie hodnoty vkladu na bankovom účte pri pevne stanovenom úroku • 3. biológia – rozmnožovanie živočíšneho druhu v modeloch populačnej dynamiky

6. Nedeterministické procesy 1. Kvantová mechanika– nie je deterministický proces 2. Vedenie tepla-polodeterministický proces, budúcnosť je prítomnosťou jednoznačne určená, minulosť nie 3. Finančníctvo - hodnota opcie alebo iného finančného derivátu

7. Fázový priestor Proces sa nazýva konečnorozmerný, ak jeho fázový priestor je konečnorozmerný to jest, ak počet parametrov potrebných na popis jeho stavu je konečný. Príklady: spojité úrokovanie – jendorozmerný fázový priestor Matematické kyvadlo - dvojrozmerný

8. Diferencovateľný proces • Proces sa nazýva diferencovateľný ak jeho fázový priestor má štruktúru diferenciálnej variety a zmena stavu v čase sa opisuje diferencovateľnými funkciami Charakter procesu je možné určiť len experimentálne

9. Fázový tok • Nech je M RN fázový priestor procesu , • RN je N-rozmerný euklidovský priestor • x0 z M je počiatočný stav procesu. • gt(x0) je stav procesu v čase t, teda pre reálne t sme definovali zobrazenie • Množinu nazývame tokom fázovým priestoromak plati:

10. Fázový tok

11. Vývoj stavu, trajektória • Vývojom stavu x0z M riadeným tokom gt nazývame zobrazenie , pre ktoré platí • Obraz zobrazenia x je krivka v priestore M a nazýva sa trajektória (fázová krivka)

12. Integrálna krivka, ekvilibrium • Kartézsky súčin RxM nazývame rozšíreným fázovým priestorom. • Krivku {(t,x(t)), t z R } nazývame integrálnou krivkou • Rovnovážnym (ustáleným ) stavom toku gt fázovým priestorom M nazývame bod xs z M, pre ktorý platí gt (xs )= xs pre všetky t z R, teda bod, ktorý je sám o sebe trajektóriou. • Rovnovážny stav nazývame tiež stacionárny bod alebo ekvilibrium procesu

13. Fázová rýchlosť • Fázovou rýchlosťou v(x) toku gt v bode x z M sa nazýva vektor rýchlosti pohybu toho bodu t.j. • Je to vlastne vektor dotyčnice ku fázovej krivke prechádzajúcej bodom x. Vyjadruje tendenciu vývoja procesu nachádzajúceho sa v stave x

14. Veta • Bod xs z M je stacionárny bod toku gt vtedy a len vtedy, keď je kritickým bodom vektorového poľa v, to jest keď v(xs)=0.

15. Príklady Spojité úrokovanie – fázový priestor je jenorozmerný: Fázový priestor: Zákon vývoja: x´=rx, x hodnota investície, r úroková miera , počiatočný stav x(0)=x0 Pole fázovej rýchlosti: v(x)=rx Fázový tok, trajektória integrálne krivka

16. Príklady Rýchlosť rádioaktívneho rozpadu – fázový priestor je jenorozmerný: Fázový priestor: Zákon vývoja: x´=-kx, x množstvo látky,k koeficient úmernosti Pole fázovej rýchlosti: v(x)=-kx

17. Fázový priestor Príklady: matematické kyvadlo- proces závislý od dvoch parametrov: x1 – uhol odklonu od zvislej roviny x2 – uhlová rýchlosť pohybu Pre malé výchylky platí: x1´=x2, x2´=-kx1, k=l/g Fázový priestor:

18. Vektorové pole mat. kyvadla x1´=x2, x2´=-kx1, k=l/g k=1 v: (x1,x2) -> (x2,-kx1)

19. Matematické kyvadlo – presnejší model • Vektorové pole:

20. ODR • Fázový tok teda definuje vektorové pole fázových rýchlostí v. • Opačná úloha: nájsť tok gt fázovým priestorom, ak je zadané rýchlostné pole v(x) v každom bode x z M nazývame hľadaním riešenia obyčajnej diferenciálnej rovnice. • Z lokálneho zákona evolúcie , teda zadaných fázových rýchlostí v bodoch x z M hľadáme globálny obraz vývoja, minulosť aj prítomnosť

21. ODR • U je otvorená oblasť v RN a nech v je vektorové pole v U . Obyčajnou diferenciálnou rovnicou danou vektorovým poľom v nazývame rovnicu:

22. Riešenie ODR • Nech I={t z R; a<t<b} je časový interval. Riešením ODR sa nazýva diferencovateľné zobrazenie také, že pre každé t z I platí rovnosť

23. Riešenie ODR • Ak pre zobrazenie x navyše platí podmienka • Hovoríme, že riešenie x ODR spĺňa začiatočnú podmienku