Geometrische Experimente

1. Geometrische Experimente Kreative Prozesse in der Schulgeometrie Hartmut Müller-Sommer Liebfrauenschule Vechta 103. MNU-Bundeskongress Universität Freiburg, 04.04.2012

2. Geometrische Experimente Inhaltliche Ausgangssituationen: 1. Der pythagoreische Satz2. Der Umfangswinkelsatz3. Die WALLACE-Gerade4. Der Goldene Schnitt Kreative „Anfangsideen“: • Modifizieren•Analogisieren•Iterieren• Neuinterpretieren

3. Ausgangspunkt: Der Thaleskreis Gegeben sind zwei Punkte A und B. Alle Dreieckspunkte C mit a² + b² = c² liegen auf dem Thaleskreis über AB. Frage: Wo liegen die Dreieckspunkte C, wenn die Dreiecksseiten Variationen der pythagoreischen Gleichung erfüllen?

4. Ein unterrichtlicher Zugang in Klasse 8 Frage:Auf welcher Kurve liegen die Punkte C, falls a² + 2b²= c² gilt? Bestimmung der Ortskurve „halbgeometrisch“: durch „Ertasten“:

5. Ein unterrichtlicher Zugang inKlasse 8 Die Ortskurvengleichung zur Variation a²+ 2b²= c² In kartesischer Darstellung: Pythagoras: a² = y² + (c- x)² b² = x² + y² Da a² + 2b²= c², folgt: (x – c/3)² + y² = c²/9

6. Eine Verallgemeinerung:a²+kb²= c²,kR Die Ortskurvenschar (c=4): Die Gleichung: k  -1: k = -1:  = /2(y –Achse)

7. Die Variation a²+2b = c² Die Ortskurve: Die Gleichung: Kosinussatz:a² =r² +c² -2rc•cos(θ) Mit a² +2b = c² folgtr() =2c·cos () - 2PASCALsche Schnecke

8. Die Variation a²+2b = c² Veranschaulichung der Flächenaussage:

9. Die Variationen kab=c²: CASSINIsche Kurven k=1: k=3: k=2: k=4: k=5:

10. „Pythagoreische Vierecke“ Frage: Was könnten wir uns unter einem „pythagoreischen Viereck“ vorstellen? Forderung: „ a²+b²+c²=d² “ Der Thaleskreis:a²+b²=c²

11. Untersuchung der Hüllkurve Die Konstruktion: Die Hüllkurve ist die Lotfuß-punktkurve des Thaleskreises K bezüglich des Punktes A.Sie ist eine Kardioide.

12. Veranschaulichung der Flächen-aussage a²+b²+c²=d²

13. Veranschaulichung der Flächen-aussagea²+b²+c²+d²=e²

14. Pythagoreische Vielecke

15. Experimente zum Umfangswinkelsatz Frage: Auf welcher Kurve liegendie Punkte C, falls  +  = 1200? Ist +=900, so liegen alle Dreieckspunkte C auf dem Thaleskreis über AB.

16. Experimente zum Umfangswinkelsatz Frage: Auf welcher Kurve liegendie Punkte C, falls +1,5=900? Frage: Auf welcher Kurve liegendie Punkte C, falls +2=900? Ergebnis:C liegt auf einer Strophoide.Polargleichung (Pol B): Ergebnis:C liegt auf einer Pascalschen Schnecke. Polargleichung (Pol B):

17. Experimente zur WALLACE-Geraden WALLACE-Gerade und FEUERBACH-Kreis WALLACE-Gerade Satz: Die Fußpunkte der von einem Punkt P des Umkreises auf die Dreiecks-seiten gefällten Lote liegen auf einer Geraden. Satz: Der Mittelpunkt der Strecke HP liegt auf der WALLACE-Geraden von P und auf dem FEUERBACH-Kreis des Dreiecks ABC.

18. Experimente zur WALLACE-Geraden EULER-Gerade FEUERBACH-Kreis und Ankreise Satz: Der Feuerbachkreis berührt die drei Ankreise und den Inkreis des Dreiecks ABC. Satz: Höhenschnittpunkt H, Schwer-punkt S und Umkreismittelpunkt M liegen auf einer Geraden (EULER-Gerade).

19. Experimente zur WALLACE-Geraden WALLACE–Gerade und STEINER–Kurve STEINER–Kurve als Rollkurve Satz: Die STEINER–Kurveist die Hüllkurve der WALLACE-Geraden.

20. Experimente zur WALLACE-Geraden Neuinterpretation: Ausgangsfigur: WALLACE-Gerade Satz: Die Schnittpunkte der durch einen Punkt P des Umkreises gezogenen „Höhenparallelen“ mit den Dreiecks-seiten liegen auf einer Geraden. Satz: Die Fußpunkte der von einem Punkt P des Umkreises auf die Dreiecks-seiten gefällten Lote liegen auf einer Geraden.

21. Experimente zur WALLACE-Geraden Dynamisierung: H wird bewegt. Die Kollinearität wird zerstört. Frage: Auf welcher Kurve muss der Punkt P liegen, damit die Parallelenschittpunkte mit den Dreiecksseiten wieder kollinear sind?

22. Experimente zur WALLACE-Geraden Strategie: Wir „ertasten“ die gesuchte Kurve.

23. Experimente zur WALLACE-Geraden Tast-Ergebnisse:

24. Experimente zur WALLACE-Geraden Tast-Ergebnisse: Zu jeder Lage des CEVA-Punktes H (H  A, B, C) gibt es eine Kurve, die die geforderte Eigenschaft hat.

25. Experimente zur WALLACE-Geraden Fragen: • Stellen die entdecken Kurven tatsächlich Kegelschnitte dar? • Lassen sich die „ertasteten“ Kurven geometrisch konstruieren? • Wie lauten die Gleichungen dieser Kurven? Rückblick: Höhenschnittpunkt H Umkreis CEVA-Punkt Hneue Kurve. Frage: In welcher geometrischen Beziehung stehen Höhenschnittpunkt H und Umkreis?

26. Experimente zur WALLACE-Geraden Höhenschnittpunkt H – Umkreis CEVA-Punkt H – neue Kurve Satz: Spiegelt man den Höhenschnitt-punkt H an den Seiten des Dreiecks, so liegen die gespiegelten Punkte auf dem Umkreis. Vermutung: Spiegelt man den CEVA-Punkt H durch eine Schrägspiegelung an den Seiten des Dreiecks, so liegen die gespiegelten Punkte auf der neuen Kurve.

27. Experimente zur WALLACE-Geraden Kurvenkonstruktion: Überprüfung der Kollinearität: Erste Bestätigung der Vermutung Satz: Ein Kegelschnitt ist durch fünf Punkte eindeutig bestimmt. Makro

28. Experimente zur WALLACE-Geraden Analytischer Nachweis: Ansatz für Kegelschnittgleichung: K: kx2 + my2+y + x + xy = 0 Ergebnis: K: q·x2 ·(c - q) + q·x·(2·p·y + b·(q - c)) + p·y·(b - p)·(y - c) = 0

29. Experimente zur WALLACE-Geraden Kurvengleichung: K: q·x2 ·(c - q) + q·x·(2·p·y + b·(q - c)) + p·y·(b - p)·(y - c) = 0 Satz:Die Schnittpunkte der Dreiecksseiten mit den durch den Punkt P gezogenen Parallelen zu den Transversalen des CEVA -Punktes H liegen genau dann auf einer Geraden, wenn P auf der Kurve K liegt.(verallgemeinerte WALLACE-Gerade) Der Mittelpunkt M des Kegelschnitts K hat die Koordinaten x=0,5·(b-p) und y=0,5·(c-q).

30. Experimente zur WALLACE-Geraden Weitere Entdeckungen: Satz: Der Mittelpunkt der Strecke HP liegt aufder verallgemeinerten WALLACE-Geradenund auf einem Neunpunktekegelschnitt.(verallgemeinerter FEUERBACH-Kreis) Satz: Der CEVA-Punkt H, der Schwerpunkt S des Dreiecks und der Mittelpunkt M der Kurve K liegen auf einer Geraden. (verallgemeinerte Euler-Gerade)

31. Experimente zum Goldenen Schnitt Spiralen als Hüllkurven: Kreisschar:rt(θ) = 1/t·sin(θ - t) Gleichung der Hüllkurve: Kreisschar:rt(θ) = t·sin(θ - t) Gleichung der Hüllkurve: , θ(t)=arctan(t)+t , θ(t) =- arctan(t)+t-π

32. Experimente zum Goldenen Schnitt Idee: Frage: Lässt sich der goldene Schnitt auf die Bogenlängen von Kurven „übertragen“?

33. Experimente zum Goldenen Schnitt Der Goldene Schnitt: Das alte Rathaus in Leipzig: Ein Punkt S teilt eine Strecke AB im goldenen Schnitt, falls sich die größere Teilstrecke zur kleineren so verhält wie die Gesamtstrecke zum größeren Teil. Der Turm teilt die Vorderfront im Goldenen Schnitt.

34. Experimente zum Goldenen Schnitt Gegeben: logarithmische Spirale mit der Gleichung r()=ek(k>0) Forderung: Bogenlänge: Frage:Gibt es eine logarithmische Spirale, bei der der Punkt S den Spiralbogen von A bis B im Goldenen Schnitt teilt? Ergebnis:

35. Experimente zum Goldenen Schnitt Untersuchung der entdeckten Spirale:r()=/ Ergebnisse: Radien: Bogenlängen: NeueFragen:• Werden auch die Radien im Goldenen Schnitt geteilt?• Werden sogar Sektorflächen im Goldenen Schnitt geteilt? Sektorflächen:

36. Experimente zum Goldenen Schnitt Die Goldene Spirale:r()=2/ Das Goldene Rechteck: Eigenschaften der Goldenen Spirale: Radien: Bogenlängen: Die Polarkoordinaten der Punkte A, B, C, D, E, ... erfüllen die Gleichung r()=2/. Die dazugehörige Spirale heißtGoldene Spirale. Sektorflächen:

37. Nachlese: 4a+2b = c²(c=3,5) Cartesische Ovale:

38. Zentrische Streckung des inneren Ovals Streckzentrum S, Streckfaktor : Die pythagoreische Osterei-Kurve teilt die Fläche des größeren Ovals im Goldenen Schnitt.

39. Literatur [1] Müller-Sommer, H.: Variationen zum Satz des Pythagoras. In: MU Heft 4, 2004 [2] Müller-Sommer, H.: Entdeckungen an der Goldenen Spirale. In: MU Heft 1, 2012 [3] Schmidt, H.: Ausgewählte höhere Kurven. – Wiesbaden: Kesselring 1949. [4] Schupp, H.; Dabrock, H.: Höhere Kurven. – Mannheim: B. I. Wissenschaftsverlag 1995. [5] Weth, Th.: Kreativität im Mathematikunterricht – Begriffsbildung als kreatives Tun. – Hildesheim: Franzbecker 1999 Internet: www.liebfrauenschulevechta.de/mueso/