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Geometrische Optik

Gegenseitige periodische. Elektrisches Feld. Magnetisches Feld. Anregung. Def.: Polarisationsrichtung. Ausbreitungsrichtung im Vakuum: Vakuum-Dispersionsrelation: Vakuum-Lichtgeschwindigkeit: Im isotropen Medium:. Brechungsindex. Geometrische Optik. 1. Grundlagen.

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Presentation Transcript

  1. Gegenseitige periodische Elektrisches Feld Magnetisches Feld Anregung Def.:Polarisationsrichtung • Ausbreitungsrichtung im Vakuum: • Vakuum-Dispersionsrelation: • Vakuum-Lichtgeschwindigkeit: • Im isotropen Medium: Brechungsindex Geometrische Optik 1. Grundlagen Licht elektromagnetische Welle (  Elektrodynamik ) nicht-ferromagnetische Stoffe:   

  2. Def.:Lichtstrahl  Ausbreitungsrichtung Isotrope Medien  Normale auf Wellenfront Strahlen Phasenflächen • Näherung( geometrische Optik )  Lichtstrahlen • Wellenlänge   Objektgrößen(Blenden, Löcher, Aperturgrenzen, ...) • Wellennatur unerheblich(Beugung, Interferenz unwichtig) • nur Ausbreitungsrichtung und ggf. Polarisation relevant Def.:Strahlenbündel  durch Blenden (Aperturen) berandete Lichtwelle Annahme: keine Absorption  lineare Superposition von Strahlen

  3. Ebene Welle erstes Beugungs-Minimum x  L>>x k Blende •  paralleles Strahlenbündel  • Beugungseffekte klein  • jedoch für :  Kugelwelle ! Fresnel-Zahl Beispiel: Beugung einer ebenen Lichtwelle am Spalt

  4. Fermatsches Prinzip: Lichtstrahlen zwischen zwei Punkten A und B durchlaufen Wege kürzester Zeit ( bzgl. benachbarter Wege ) WminW B A Wmin optische Weglängebzw. EikonalL Fermatsches Prinzip  Lichtstrahlen in isotropen, inhomogenen Medien Folgerung: Lichtwege sind umkehrbar.

  5. Fata Morgana Gradientenlichtleiter n n n n heiße Straße Isochronen Spezialfall:Ausbreitung im homogenen Medium, n  const. n·Weglänge minimal  kürzeste Verbindung von A und B Lichtstrahlen breiten sich im homogenen Medium geradlinig aus Anwendungen:

  6. 2. Reflexion und Brechung (x1,0,z1) A (x2,0,z2) z B n1 y x (x0,y0,0) n2 Grenzfläche zwischen zwei Medien Strahlebene  Grenzfläche Tafelrechnung  z y0 B 2 1 A n1 Reflexionsgesetz   ( Einfallswinkel  Ausfallswinkel )  x0 x2 x1 x n2 2.1. Reflexion

  7. • • 45 90-Ablenkung Umkehr Parallelverschiebung Anwendungen: Lichtumlenkung durch Winkelspiegel (Umlenkwinkel unabhängig von Orientierung der Spiegelsysteme) • Passive Lichtumkehr ( 3-D ) • Katzenauge ( Verkehrsschilder,... ) • Laserreflexion von Mondoberfläche • ...

  8. z y0 reflektierter Teilstrahl 1 A n1 x2 x0 x1 x 2 n2 (n1) B Tafelrechnung  Brechungsgesetz ( Snellius ) n1sin n2sin  2.2. Brechung analog zur Reflexion  Strahlebene  Grenzfläche

  9. z y0 1´ n1 • x reflektierter Strahl 2 2G 2 n2 (n1) Beispiel: Luft  n1  1 Wasser  n2  1,33 G Anwendung: Totalreflexion ( beim Übergang vom dichteren ins dünnere Medium ) n1sin n2sin Grenzwinkel2  G bei sin  Einfallswinkel G  Totalreflexion

  10. Reflexionen Brechungen Blenden ( Apertur ) Reflexionen Brechungen Blenden ( Apertur ) Objektpunkt Bildpunkt A B optisches System optisches System Spezialfall: A  Brennpunkt ( focal point ) BF parallele Strahlen 3. Die optische Abbildung ideale,d.h.scharfe Abbildung Fermat  a) alle Strahlen (A  B) haben gleiche Laufzeit  sind isochron b) Objekt- und Bildpunkt sind austauschbar (Lichtweg umkehrbar)

  11. reelles Bild A B darstellbar auf Bildschirm B A Fallunterscheidung: virtuelles Bild nur darstellbar mit zweitem abbildenden System ( z.B. Auge )

  12. A A Beispiele: • Ebener Spiegel: Spiegel • virtuelles Bild • aufrecht • Abbildungs-Maßstab 1  1 Der ebene Spiegel ist das einzige optische System, das jeden Raumpunkt P ideal in einen Raumpunkt P abbildet.

  13. Elliptischer Spiegel: Spiegel Brennpunkt Brennpunkt Der elliptische Spiegel bildet die Brennpunkte ( und nur die Brennpunkte ) ineinander ab. Spezialfall: Kugelspiegel  Selbstabbildung des Mittelpunkts

  14. P • Näherungsabbildung, Unschärfe d • invertiertes Bild • Abbildungsmaßstab b  a • große Schärfe • Loch d klein  große Tiefenschärfe • kleine Lichtstärke d d P a b Bildfleck: Beugungsfleck: Grenze der geometrischen Optik Optimum: abhängig von Wellenlänge! • Lochkamera: Schirm / Film

  15. y Zielsystem: Realisierung: y L  const. n F (x,y) x F x f D y a Übung xM x (Hyperbel) • Berechnung von Oberfächenformen ( Linsen ): (2) (1)

  16. y n F x f D y a xM x • Bemerkung: • x(y) nur für diesen einen Strahlengang (achsparallele Strahlen) korrekt  sonst Abbildungsfehler • Vereinfachte Herstellung:sphärischer Schliff  gute Näherung für Wölbungsdicke ≪ f Gute Abbildung für dünne Linsen undachsnahe Strahlen

  17. s1 y (x,y) s2 x f z.B. für Astronomie, Autoscheinwerfer etc. Parabolspiegel 4. Elementare optische Bausteine 4.1. Hohlspiegel • Achsparallele Srahlen: Fermat  • Bemerkung: • x(y) nur für diesen einen (achsparallelen) Strahlengang korrekt •  sonst Abbildungsfehler • Vereinfachte Herstellung:sphärischeHohlspiegel •  gute Näherung für achsnahe Strahlen

  18.  achsnahe Strahlen: h . R/2  F Brennweite des Hohlspiegels M f R achsferne Strahlen: sphärische Aberration Grenzfall: Sphärische Hohlspiegel:

  19.  R   M B b g Abbildungsgleichung: g: Gegenstandsweite b: Bildweite f: Brennweite • 0 vor dem Spiegel  0 hinter dem Spiegel • Punkt-zu-Punkt-Abbildung achsnaher Strahlen: S   Außenwinkel ASM         Außenwinkel MSB       h  A Rechnung bis O(h): gilt auch für Punkte jenseits (aber nahe) der optischen Achse

  20. Rb b B F gR Strahlensatz  g Abbildungsmaßstab: • Abbildung eines Gegenstandes: geometrische Konstruktion: • Parallelstrahl  Brennpunkt G • Mittelpunktstrahl  Selbstreflexion • Brennpunktstrahl  Parallelstrahl M

  21. B F G M reell (fbR2f) invertiert (BG0) verkleinert (BG1) Bild  Reelle und virtuelle Bilder des Hohlspiegels (achsnahe Strahlen): • g  R  2f :

  22. G M F B reell (bR2f) invertiert (BG0) vergrößert (BG1) Bild  Reelle und virtuelle Bilder des Hohlspiegels (achsnahe Strahlen): • R  g  f : Strahlengang von Fall 1) invertiert

  23. B G M F virtuell (b0) aufrecht (BG0) vergrößert (BG1) Bild  Reelle und virtuelle Bilder des Hohlspiegels (achsnahe Strahlen): • f  g  0 :

  24. virtuell (fb0) aufrecht (BG0) verkleinert (BG1) Bild  Umkehrung des Strahlengangs in 3)  Konkavspiegel F hinter Spiegel  f  0 B hinter Spiegel  b  0 G vor Spiegel  g  0 • g  0 : G B M F universell mit obiger Vorzeichenkonvention

  25. C   2 1 B 2 1 A n A,B,C: Bemerkung: Bemerkung:Umkehrbarkeit des Lichtweges 4.2. Prismen • Strahlablenkung • Farbaufspaltung durch Dispersion ( Spektrographie ) Ablenkwinkel :

  26.      Snellius n Bemerkung:Symmetrie    Extremum ( genauer: Minimum ) Beweis: Symmetrie Messung von   min Spezialfall: symmetrischer Strahlengang

  27. aus mikroskopischen Modellen (klassisch bzw. quantenmechanisch)  Normale Dispersion: (durchsichtige Medien, fern von Absorption)    (sonst: anomaleDispersion)   rot also:  grün weiß n blau Farbaufspaltung (bei minimaler Ablenkung):

  28. f  b  f  b  f  b  f  b  Licht Licht R  R  4.3. Linsen 4.3.1. Brechung an sphärischen Flächen sphärische Fläche  Grundelement der sphärischen Linse Vorzeichenkonvention:

  29. P A M B g R b n1 n2n1 (Analog: n2n1  divergierende Strahlen  virtuelles Bild) Rechnung bis Oh: Außenwinkel APM Außenwinkel BPM Snellius Abbildungsgleichung für achsnahe Strahlen:

  30. Brennweiten: g f2b b f1g  äquivalente Formulierungen der Abbildungsgleichung:

  31. nach à M2 D0 A M1 B  R2  R1 g n2 b n1 A (g) linke Fläche (R1)  à ( ): à ( ) rechte Fläche (R2)  B ( b ): Abbildungsgleichung 4.3.2. Dünne Linsen Dünne Linse  2 sphärische Grenzflächen; Dicke D≪ Brennweiten

  32. Linsenumkehr Lichtumkehr  f  Linsen-Eigenschaft f invariant Definition:Die Größe 1/fheißt Brechkraft. Abbildungsgleichung R1 0 R2  0 R1 0 R2  0 1/f  0 Sammellinse 1/f  0 Zerstreuungslinse Interpretation von f: f  (beidseitige) Brennweite Beispiel:n1 n2,5 R1  m R2  m  f  m

  33. Licht Typen von Grenzflächen: konvex R  plan R  konkav R  Bi-Linsen Plan-Linsen Menisken-L. Licht 2 1 Linsentypen: konvex f  0 bikonvex R1 R2 plankonvex R1 R2 konkavkonvex R1 R2 Licht 2 1 konkav f  0 bikonkav R1 R2 plankonkav R1 R2 konvexkonkav R1 R2

  34. D Parallelversetzung  0 für D  0 Parallelstrahl b Mittelpunktstrahl Brennpunktstrahl B 4.3.3. Abbildung durch dünne Linsen Sammellinse G F F g f f reelles Bild

  35. Parallelstrahl Brennpunktstrahl B b Mittelpunktstrahl Zerstreuungslinse G F F g f f Verwende rückwärtige Brennpunkte  virtuelles Bild

  36. Sammellinse Parallelstrahl x b x Mittelpunktstrahl Brennpunktstrahl B  Newtonsche Abbildungsgleichung G F F g f f Strahlensatz  Abbildungsmaßstab

  37. Sammellinse G Parallelstrahl x b x F F Mittelpunktstrahl g Brennpunktstrahl f f B • x  x  f   BG    eins-zu-eins-Abbildung • Abstand Quelle-Schirm  g  b fest, verschiebe Linse •  2 Stellungen mit scharfem Bild: x, x  x, x •  Brennweitenmessung ohne absolute Linsenposition

  38. Sammellinse G Parallelstrahl x b x F F Mittelpunktstrahl g Brennpunktstrahl f f B

  39. Zerstreuungslinse Parallelstrahl Brennpunktstrahl G B b F F Mittelpunktstrahl g f f • aufrechtes, verkleinertes, virtuelles Bild • 0  b  f

  40. y s Tangente 0  s0 Zustandsvektor Vollständige Beschreibung des Strahls: Transferabbildung: s0 beliebig 5. Matrixmethoden der geometrischen Optik 5.1. Definitionen Hier:Betrachte nur eine transversale Projektion y. Annahme: x und y Lichtaus-breitung sind voneinanander unabhängig (entkoppelt). x, y  transversale Abweichungen eines Lichtstrahls vom Referenzstrahl s  Entfernung entlang Referenzstrahl Referenzstrahl  Sollbahn  optische Achse

  41. Definition des Referenzstrahls  : ℝ ℝ Transferabbildung eines optischen Systems: y sa 0 se s

  42. Taylorentwicklung für achsnahe Strahlen: a11 a12 a21 a22 0 0 Transfermatrix linearisierte Transfergleichung • i.a. eine Transfermatrix pro transversale Projektion • falls x, y nicht entkoppelt  Formalismus mit 44-Transfermatrizen und • 4-komponentigen Zustandsvektoren ( x, x, y, y )

  43. y ya ye  0 s sa se d 5.2. Spezielle Transfermatrizen • Lichtausbreitung im homogenen, isotropen Medium (Driftstrecke):

  44. y 0 s Snellius  • Durchgang durch brechende Ebene: n1 n2 e ye ya sa se

  45. 4.3.1. • Durchgang durch sphärische Grenzfläche: n1 n2 y s 0 sa se

  46. y System 2 System 1 0 s1 s2 s0 s M1 M2 Matrixmultiplikation Mtot Allgemein: 5.3. Folge optischer Systeme

  47. n1 y R1 R2 0 s n2 1/f Beispiele: • Dünne Linse:

  48. f y d 0 sa se s für alle ye d.h. • Dünne Linse  Driftstrecke: Folgerung: d  rechtsseitige Brennweite falls gilt: • gleiches Resultat wie von obiger (uneleganter) geometrischer Betrachtung

  49. f y d 0 se s sa für alle d.h. • Driftstrecke  dünne Linse: Folgerung: d linksseitige Brennweite falls gilt: • gleiches Resultat wie von obiger (uneleganter) geometrischer Betrachtung

  50. f y d 0 se s sa f y F 0 s Folgerung: Strahlengang-Konstruktion für beliebige Strahlen Brennebene F parallelverschobener Mittelpunktstrahl Bemerkung: für alle Beliebig orientierte parallele Strahlen werden in die Brennebene abgebildet (Punkt-Winkel-Abbildung)

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