“Funzioni di Affidabilità ”

1. Università degli Studi di Bologna D.I.E.M – Dipartimento di Ingegneria delle Costruzioni Meccaniche, Nucleare, Aeronautiche edi Metallurgia “Funzioni di Affidabilità” Elementi teorici di analisi di affidabilità Relatore: Dr. Ing. Cristiano Fragassa cristiano.fragassa@unibo.it

2. Inferenza Carico Resistenza Nei casi in cui le caratteristiche della sollecitazione e della resistenza sono distribuite con andamento normale, per questo motivo una piccola probabilità di cedimento è sempre presente La differenza tra le due variabili aleatorie distribuite normalmente carico e resistenza è anch’essa una variabile normale detta esito avente i seguenti parametri:

3. Inferenza Carico Resistenza Si ha cedimento quando L > S ovvero quando la variabile Y < 0. Definiamo affidabilità R la probabilità che la variabile esito sia maggiore di zero: La normalizzazione della variabile Y porta alla seguente : Il valore di Z per il quale Y = 0 è detto margine di sicurezza Z*: Quindi l’affidabilità può essere calcolata come l’area sottesa sotto la curva normale standard a destra del margine di sicurezza:

4. Funzioni affidabilistiche: DENSITA’ DI GUASTO (Probability Density Function) f(t’) = Probabilità di Rottura tra t’e t’+dt’ N0· f(t’) = Numero di Rotture tra t’e t’+dt’

5. Integrale della densità

6. Funzioni affidabilistiche:INAFFIDABILITA’ (UnReliability) (CDF - Cumulate Density Function) F(t) = Probabilità di Rottura prima di t N0· F(t) = Numero di Rotture prima t

7. Funzioni affidabilistiche:AFFIDABILITA’ (Reliability) R(t) = Probabilità di NON Rottura prima di t = Probabilità di sopravvivenza fino a t N0· R(t) = Numero di sopravvissuti prima di t

8. Tempo medio al guasto (MTTF) MTTF = Mean Time to Failure

9. Affidabilità & Disponibilità Istante di guasto Istante di inizio servizio Istante di riavvio Tempo al guasto (MTTF) SISTEMA ON tempo SISTEMA OFF Tempo di riparazione (MTTR) MTBF = MTTF + MTTR MTBF = Mean Time Between Failures MTTR = Mean Time To Repair

10. Funzioni affidabilistiche:RATEO DI GUASTO (Failure Rate) (Hazard Rate) h(t) = Probabilità di Rottura tra t e t+dt dei sopravvissuti fino a t

11. DENSITA’ DI GUASTO Funzioni affidabilistiche(RIEPILOGO) INAFFIDABILITA’ AFFIDABILITA’ RATEO DI GUASTO

12. Relazioni analitiche tra i parametri affidabilistici

13. Modello di Rateo a“Vasca da Bagno” (Bathtub Model) GUASTI PER RODAGGIO o PER MORTALITA’ INFANTILE: si manifestano nelle prime ore di funzionamento, il fenomeno tende ad esaurirsi nel tempo GUASTI PER USURA: il deterioramento fisico è indicato dall’andamento crescente. I guasti risultano di natura omogenea, hanno una distribuzione ben approssimabile (modello normale o log-normale) GUASTI CASUALI: il numero di guasti è costante per intervalli di tempo costante (modello esponenziale)

14. MODELLO BATHTUB Andamento A DUNE DI SABBIA(“roller-coaster”) Modelli di rateo meno ideali Esempio reale

15. Distribuzioni di probabilità di guasto • Esponenziale • Normale (Gaussiana) • LogNormale • Weibull • Gamma La scelta della distribuzione di probabilità più idonea è fatta di solito confrontando la forma dell’istogramma dei dati sperimentali con la forma della funzione di densità di probabilità f(x)

16. Esponenziale • modello con assenza di memoria • approssima bene il periodi di guasti casuali • molto utilizzata (spesso a volte a sproposito) • parametro unico • MTTF facile da trovare = 1/l

17. Normale Il dominio è t =]-,+ [ Calcolo semplice dei parametri (nel metodo dei momenti) •  coincide con valor medio •  coincide con dev. standard • Si può utilizzare quando coesistono numerosi effetti e nessuno risulta marcato (teorema del limite centrale) • Approssima bene la zona dove prevale invecchiamento e usura

18. LogNormale È una Normale rispetto alla variabile Log[t] • Rateo di guasto decrescente: • si può utilizzare nella coda inferiore (es. guasti infantili)

19. Parametri: di Forma, di Scala, vita senza rotture. Molto Flessibile e valida in tutte le zone Modello di sistema complesso, dove rottura avviene quando si rompe il primo sottosistema Weibull

20. Parametri di Weibull • Parametro di Forma  (dispersione) • =1 vita utile (esponenziale) • <1 guasti infantili • >1 invecchiamento • =3.5 diventa molto simile alla Normale • Parametro di Scala (valore atteso) • per t=t0+ il 63.2 % dei componenti sono rotti • Failure Free Life • t0 non ci sono guasti prima

21. Gamma • Parametri • rateo degli eventi • a numero di eventi a rottura • per a=1 Distribuzione Esponenziale • t0 Failure Free Life • Modello per la rottura dopo a eventi

22. Riepilogo funzioni densità f(t) inaffid. F(t) rateo h(t) • Esponenziale • Normale • LogNormale • Weibull • Gamma

23. Un rateo di guasto reale ETM Volvo anno 2003

24. FASE 3 A partire dai dati si imposta un procedimento tipo i minimi quadrati che consente di determinare i parametri della distribuzione (è basato sulla minimizzazione di una funzione errore) Metodo del BEST FIT Metodo della funzione di MASSIMA VEROSIMIGLIANZA Si utilizza una funzione che dipende dal modello probabilistico scelto che viene massimizzata al fine di determinare i parametri del modello stesso Metodi più utilizzati per la scelta del modello probabilistico a partire dai dati dal campo A partire dai dati si calcolano i momenti statistici (media, deviazione standard, …) grazie ai quali si determinano i parametri della distribuzione Metodo dei momenti

25. Esempio di analisi di affidabilità: METODO DEI MOMENTI Rappresentazione per istogrammi di frequenza dei dati di guasto Calcolo momenti statistici MTTF dati di guasto densità di guasto Calcolo dei parametri del modello Scelta del modello modelli di guasto tecniche specifiche

26. CARTA DI WEIBULL RETTA DI BEST FIT SINGOLA MISURA SPERIMENTALE ASSI MODIFICATI Esempio di analisi di affidabilità: BEST FIT con uso delle “carte”

27. Utilizzo carta di WEIBULL

28. Utilizzo carta di LOGNORMALE