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ELG3575 Introduction aux systèmes de télécommunication. Révision des systèmes LIT, convolution et s érie de Fourier. Introduction. Le diagramme bloc d’un système de télécommunication est démontré ci-dessous. Source. Émetteur. Canal. Récepteur. Destination.
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ELG3575 Introduction aux systèmesde télécommunication Révisiondes systèmes LIT, convolution et série de Fourier
Introduction • Le diagramme bloc d’un système de télécommunication est démontré ci-dessous Source Émetteur Canal Récepteur Destination Présentation 1
Éléments d’un système de télécommunication • Source • Produit un message d’information • Destination • Récipiendaire qui va utiliser l’information produite. • Canal • Le lien physique qui porteral’information de la source à la destination. Présentation 1
Éléments d’un système de télécommunication • Émetteur • L’émetteur transforme le message de sa forme actuel à une forme qui permettra sa transmission sur le canal. • Récepteur • Le récepteur fait l’opération inverse de l’émetteur et, si possible, du canal. • Erreur quadratique • Taux d’erreurs. Présentation 1
But de l’ingénieur • Concevoir des émetteurs et des récepteurs qui • ne sont pas dispendieux à produire • minimisent la largeur de bande requise • maximisent le transfert d’information (la similarité du signal reçu au signal transmis) • utilisent efficacement la puissance • Parfois les buts sont contraire aux autres • Par exemple, on améliore le transfert d’information en augmentant la puissance du signal transmis • Il faut parfois échanger des qualités désirées contre des autres Présentation 1
Signauxutiles L’impulsion 1 t Présentation 1
Signauxutiles • L’impulsionrectangulaire 1 t -0.5 0.5 Présentation 1
Signauxutiles • L’impulsiontriangulaire 1 -1 1 t Présentation 1
Signauxutiles • sinc Présentation 1
Signauxutiles • Sinccarré Présentation 1
Révisiondes systèmes LIT • Un système avec x(t) comme entrée produit une sortie y(t) = H(x(t)). x(t) y(t) = H(x(t)) H(•) Présentation 1
Systèmes linéaires • Un système est linéaire si la propriété de superposition s’applique • Supposons le système produit la sortie y1(t) pour l’entrée x1(t) et la sortie y2(t) pour l’entrée x2(t). Alors • y1(t) = H(x1(t)) et • y2(t) = H(x2(t)) • le système H est linéaire si pour x3(t) = ax1(t)+bx2(t), y3(t)=H(x3(t)) = aH(x1(t))+bH(x2(t)) = ay1(t)+by2(t). Présentation 1
Exemple 1 • y(t) = x2(t). • Pour l’entrée x1(t), la sortie est y1(t) = x12(t) et pour l’entrée x2(t), la sortie est y2(t) = x22(t). • Pour x3(t) = ax1(t) + bx2(t), la sortie est y3(t) = x32(t) = (ax1(t) + bx2(t))2 = a2x12(t) + 2abx1(t)x2(t) + b2x22(t). • Si le système est estlinéaire, y3(t) doit être ay1(t) + by2(t) = ax12(t) + bx22(t) ≠ y3(t) ; alors ce système n’est pas linéaire. Présentation 1
Exemple 2 • y(t) = tx(t). • Pour x3(t) = ax1(t) + bx2(t), la sortie est y3(t) = t(ax1(t) + bx2(t)) = a(tx1(t)) + b(tx2(t)) = ay1(t) + by2(t). • Alors ce système est linéaire. Présentation 1
Système invariant en temps • Un système est invariant en temps si un délai à l’entrée ne cause que le même délai à la sortie.. • Si y1(t) est la sortie qui correspond à l’entrée x1(t) et x2(t) = x1(t-t) est l’entrée qui produit une sortiey2(t). • Le système est invariant en temps si y2(t) = y1(t-t). Présentation 1
Exemples • y(t) = tx(t)? • y(t) = 3+4x2(t)? Présentation 1
SystèmesLIT • Un systèmeest LIT s’ilest linéaire et invariant en temps • Un système LIT est décrit par sa réponse impulsionnelle. • Réponse impulsionnelle , h(t), est la sortie qui correspond à l’entréex(t) = d(t). • Propriétés du signal d(t). • . • . • . Présentation 1
La sortie d’un système LIT • Si x(t) est l’entrée d’un système LIT, la sortie correspondante esty(t) = x(t)*h(t), où * indique la convolution. Présentation 1
Propriétés • x(t)*(y1(t) + y2(t)) = x(t)*y1(t) + x(t)*y2(t). Présentation 1
Convolution avec l’impulsion Présentation 1
Exemple • y(t) = P(t) *P(t) • Utilisez des dessinsafin de trouver les limitesd’intégration. Présentation 1
Causalité • Un système est causal si la sortie ne dépend pas des valeurs futures de l’entrée. • Pour un système LIT • Quandl < 0, y(t) depend de x(t-l)=x(t+|l|). Pour que le système LIT soit causal ilfautqueh(l)=0 quandl <0. Présentation 1
Stabilité • Un système est stable si, pour n’importe quelle entrée bornée, la sortie est aussi bornée. • Pour qu’unsystème LIT soit stable, ilfautque Présentation 1
Représentation des signaux dans le domaine fréquentiel: Série de Fourier généralisée • Supposons que nous ayons un jeu de fonctions {fn(t)}n=0,1,2,…,Noù • Si cn= 1 pour n’importe quelle valeur de n, on dit que le jeu est un jeu de fonctions orthonormales. Présentation 1
Série de Fourier généralisée • Prenons une fonction x(t). On veut approximer la fonction x(t) sur l’intervalle (to, to + T) par la fonction xa(t) qui est donnée par : • L’erreur quadratique moyenne (mean square error – MSE) est donnée par :
Série de Fourier généralisée • La meilleure approximation, xa(t), est la fonction qui minimise l’erreur quadratique moyenne.
Série de Fourier généralisée • le terme est 0 quand n ≠ i et c’est |Xn|2cn quand n = i. • Soit
Série de Fourier généralisée eN est minimisée quand Xn = (1/cn)yn.
Série de Fourier généralisée • Alors la meilleure approximation est • Où • Et
Exemple 2 Le signal x(t) = t2. Nous voulons trouver la meilleure approximation pour x(t) sur l’intervalle 0 ≤ t ≤ 1 avec les fonctions orthogonales démontrées ci-dessous. Trouvez et pour N = 2 et 3.
Exemple 2: Solution eN diminue en augmentant N.
Introduction à la série de Fourier exponentielle complexe Il existe des jeux de fonctions orthogonales {fn(t)}-∞ ≤ n ≤ ∞, pour lequel l’approximation s’approche au signal originale sur l’intervalle to ≤ t ≤ to + T.
La fonction exponentielle complexe n est un entier La fonction est périodique avec période Tp. Donc Tp = m/nfo et la période fondamentale, Tf, est la plus petite valeur positive de Tp. Donc la période fondamentale est Tf = 1/|n|fo.
Orthogonalité et la constante cn Sur l’intervalle to ≤ t ≤ to+T, pour fo = 1/T. = Pour m≠n Pour m=n
La série de Fourier exponentielle complexe La série de Fourier exponentielle complexe du signal x(t) sur l’intervalle to ≤ t ≤ to + T est où
La Série de Fourier exponentielle complexe pour les signaux périodiques • Considérons le signal sur l’intervalle -∞ ≤ t ≤ ∞. • Nous savons que les fonctions exponentielles complexes sont périodiques. • La période fondamentale d’une fonction exponentielle complexe est T/|n|. • La sommation des fonctions périodiques est aussi périodique s’il existe un plus petit commun multiple des périodes des fonctions individuelles. • Dans ce cas, le plus petit commun multiple des périodes est T.
La Série de Fourier exponentielle complexe pour les signaux périodiques 2 • est périodique avec période T = 1/fo. • La fréquence fondamentale est l’inverse de la période fondamentale, donc fo est la fréquence fondamentale. • Donc si x(t) est aussi périodique avec période T, =x(t) pour -∞ < t < ∞ • Alors un signal périodique, x(t), avec période T a une série de Fourier x(t) =
La Série de Fourier exponentielle complexe pour les signaux périodiques 3 • Nous pouvons déterminer les coefficients de Fourier en faisant l’intégral sur n’importe quelle période de x(t)
Exemple Trouvez la série de Fourier exponentielle complexe du signal périodique x(t)
Solution • Il faut déterminer • La période de x(t) ainsi que fo. • Les coefficients Xn • La série de Fourier
Solution 2 • Dans notre exemple, la période est 0.5, alors fo = 2. • Le jeu de fonctions est ej4pnt. • Alors
Solution 3 • Pour n = 0, nous avons X0 = 0/0.
Les propriétés de la série de Fourier exponentielle complexe • Supposons que le signal x(t) est un signal réel. • C'est-à-dire que Im{x(t)} = 0. • Le conjugué complexe du coefficient de Fourier Xn* est donné par :