Teoremi (di incompletezza) di G ödel

1. Teoremi (di incompletezza) di Gödel Presupposti logici Presupposti storici implicazioni logiche e logico-filosofiche … rilevanti in filosofia della mente e dell’I.A. … rilevanti in filosofia della matematica

2. Presupposti storiciHilbert e il programma hilbertiano Hilbert vs intuizionismo Matematica intuizionista: costruire mentale trasparente a se stesso Conseguenza: revisionismo aoppure a   a  a () a : disporre di una costruzione mentale che produca a (o chemostra a  assurdo)   a: disporre di una costruzione mentale che confuta  a (che mostra a  assurdo)

3. Presupposti storiciHilbert e il programma hilbertiano • Hilbert: 1922, Nuova fondazione della matematica. Prima comunicazione • Salvare la matematica classica dagli attacchi che la vorrebbero non legittima  porre la consistenzacome condizione necessaria e sufficiente della sua legittimità • Programma hilbertiano: formalizzazione delle teorie matematiche note e dimostrazione della loro consistenza (condizionata dalla dimostrazione della consistenza dell’aritmetica)

4. Presupposti storiciHilbert e… Consistenza dell’aritmetica?!? Aritmetica finitaria: dai contenuti immediatamente evidenti e dalle operazioni garantite nella loro affidabilità (inhaltlich, anschaulich cioè contenutistica, intuitiva) |, ||, |||, … Aritmetica non finitaria: implica un riferimento ad infinità attuali Sia p un numero primo sufficientemente grande. “esiste un numero primo tra p+1 e p!+1” è finitariamente significante Ma per n un numero naturale qualsiasi “esiste un numero primo tra n e n!+1” non è finitariamente significante

5. Presupposti storiciHilbert e… Dimostrare la consistenza: dimostrare che 0=1 non è derivabile logicamente dagli assiomi aritmetici Assiomi: configurazioni finite di segni Regole logiche: manipolazioni che constano di un numero finito di passaggi che si applicano alla forma dei segni A  (A B) si trasforma in B Dimostrare la consistenza: dimostrare che le manipolazioni finite di segni finiti che posso attuare non producono quale esito la configurazione 0 =1 Ciò è simile alle operazioni dell’aritmetica finitaria! La dimostrazione della consistenza della aritmetica è un problema risovibile con le procedure dimostrative dell’aritmetica finitaria!

6. Presupposti storiciHilbert e… 1931: Gödel dimostra (quale corollario) che la consistenza dell’aritmetica non è dimostrabile con gli strumenti deduttivi della aritmetica finitaria

7. Implicazioni del programma hilbertiano:la natura della mente L’idea fondamentale della mia teoria della dimostrazione non è nient’altro che descrivere l’attività del nostro intelletto, di creare un protocollo delle regole secondo le quali la nostra attività di pensiero di fatto procede. Pensare, si dà il caso, è analogo a parlare e scrivere: formiamo enunciati e li disponiamo uno dopo l’altro (Hilbert 1927) regole di pensiero = regole logiche Regole logiche: procedure che si attivano in virtù della forma dei segni a cui si applicano (A, AB si trasforma inB) Pensiero: trasformazioni di simboli che si applicano alla loro forma Se è possibile costruire un meccanismo materiale capace di sfruttare aspetti concreti dei segni, è possibile costruire una macchina pensante! Solo che…

8. Implicazioni del programma hilbertiano:consistenza La consistenza è dimostrabile e se non è dimostrabile, è conoscibile? Se è conoscibile come lo è? Tale conoscenza della consistenza è una modalità di conoscenza specificamente matematica? E se la consistenza non fosse conoscibile? E se le teorie matematiche fossero inconsistenti?

9. Presupposti logici Logica dei predicati del primo ordine: mostra il funzionamentodel linguaggio nella sua componente assertiva,il linguaggio corrente in quanto linguaggio in cui si dice che le cose stanno così e così, formalizzandolo e individuando regole

10. Presupposti logici • Formalizzare: • isolare le unità assertive minime del linguaggio ed esprimere le componenti di tali unità attraverso controparti simboliche • per rendere totalmente esplicita la forma del linguaggio nella sua componente assertiva • individuare regoledi derivazione che consentano di stabilire nessi o relazioniformali tra le proposizioni del linguaggio

11. Presupposti logici • Proposizioni complesse risultanti da proposizioni semplici: Parigi è la capitale della Francia e la Francia si trova in Europa • Struttura predicativa e quantificazionale delle proposizioni: Parigiè la capitale della Francia: C(P, F) Tutti gli uomini sono mortali: x (U(x)  M(x)) Qualche uomo è sapiente: x (U(x)S(x)) • Formalizzazione simbolica delle componenti predicative e quantificazionale degli enunciati Variabili per individui: x, y, z Costanti per predicati: … Pi1…, … Pi2…, … Pi3 … Quantificatori: ,  Connettivi:  (non),  (e),  (o),  (se… allora) Perché mancano costanti per individui e variabili per predicati?

12. Presupposti logici Linguaggiodella logicadei predicati del primo ordine L consta di: • un alfabeto (che include variabili individuali, costanti predicative e segni logici) • regole di formazione per formule(indicazioni su come costruire formule ben formate)… … che lo rendono al limite pensabile come “autonomo” rispetto alle sue controparti non formali, come linguaggio che si autocrea combinando segni nei modi indicati dalle regole di formazione. In più si pensi alle regole di derivazione come regole che consentono di stabilire nessi o relazioni formali tra proposizioni del linguaggio Lasintassi logica studia L come linguaggio che “si autocrea” indipendentemente dal suo significare

13. Presupposti logici Ma resta che… … le configurazioni di segni dell’alfabeto (formule) possono essere intese naturalmente come tali da avere un s i g n i f i c a t o (quello delle loro controparti non-formali) e come tali sono oggetto di studio della semanticalogica.

14. Presupposti logici Che una configurazione di segni abbia un significato viene precisato dicendo che tale formula può essere interpretatasu individui di un dominio oggettuale, ovvero che le sue variabili individuali possono essere viste come tali da stare perindividui del dominio, le sue costanti predicative per proprietà di individui o coppie, triple, quadruple ordinate di individui, ecc., che stanno tra loro in determinate relazioni Interpretazione: <dominio oggettuale, assegnazione>

15. Presupposti logici Esempio: x y Pi2(y, x) Interpretazione sul dominio dei numeri naturali ove x, y: stanno per numeri naturali Pi2:sta per la relazione “essere maggiore di” definitasu numeri naturali L’interpretazione rende vera la formula! Ma se Pi2 fosse intepretata sulla relazione “essere minore di” tra numeri naturali …

16. Presupposti logici Modello (di un insieme di L-formule ): Interpretazione nella quale tutte le formule di  sono vere Essere conseguenza logica: A è conseguenza logica di  ╞A se e solo se ogni modello di  è modello di A

17. Presupposti logici Domanda: dato  come ne derivo le conseguenze logiche? Le regole di derivazione possono essere intese come regole che consentano di stabilire nessi di conseguenza logica tra le L-formule? Riescono le regole di derivazione a “catturare” ovvero produrre meccanicamente tutte le conseguenze logiche di un insieme  di L-formule?

18. Presupposti logici Se  ├ A significa che A è derivabile da  applicando alle L-formule di  le regole D, ci si sta domandando se sia vero: se ╞A allora  ├ A (il calcolo è semanticamente completo) Ci si può anche domandare: se  ├ A allora ╞A (il calcolo è corretto)

19. Presupposti logici 5-7 Ottobre 1930, Koenigsberg: Dato un insieme  di L-formule è possibile derivare da  ogni conseguenza logica di  e, in particolare, ogni tesi logica ovvero il calcolo del primo ordine è semanticamente completo ovvero un computer, opportunamente programmato, è in grado di derivare ogni conseguenza logica di un insieme di L-formule e ogni tesi logica

20. Il teorema di Gödel Il calcolo logico del primo ordine è semanticamente completo ma… “Assumendo la consistenza formale della matematica classica uno può dare esempi di proposizioni (dello stesso tipo che quelle di Goldbach e di Fermat) che sono vere ma non provabili nel sistema formale della matematica classica” ovvero la matematica classica come sistema formale è incompleta

21. Il teorema di Gödel …ogni teoria matematica formale che includa l’aritmetica del primo ordine Aritmetica del primo ordine (A) teoria assiomatica espressa in un linguaggio formale LA che include, oltre a L e alle regole del calcolo logico, specifiche costanti non logiche, individuali e predicative (0, S, +, •) e i seguenti assiomi: x (S(x)  0) x y (S(x) = S(y)  x = y) (P(x)  x (P(x)  P(S(x)))  x P(x) x (x + 0 = x) x y (x + S(y) = S(x + y)) x (x • 0 = 0) x y (x • S(y) = x • y + x)

22. Il teorema di Gödel La dimostrazione dei teoremi di Gödel muove da due assunzioni: • che l’aritmetica del primo ordine sia consistente • che LApossa parlare, oltre che di numeri naturali, di se stesso come linguaggio e delle proprietà sintattiche sue e di A (codificare predicati come: “essere una variabile/costante di LA” “essere una formula di LA”, “essere una formula atomica/molecolare di LA”,“essere una prova in A”, “essere provabile in A”, …). Ovvero LA è capace di fungere da metalinguaggio di se stesso.

23. Il teorema di Gödel LA è capace di fungere comemetalinguaggio di se stessograzie alla definizione della funzione di gödelizzazione (¯ ¯) che, sulla scorta di una preliminare assegnazione di codici numerici ai simboli primitivi del linguaggio, attribuisce, in funzione di questi ultimi, codici numerici alle formule del linguaggio e consente la definibilità in LA dei predicati sintattici sopra indicati

24. Il teorema di Gödel Esempi di gödelizzazione (di “0+xi=xi”) ¯0¯ = (S(0)) = 1 ¯+¯ = (S(S(0)) = 2 ¯=¯ = … = 3 ¯xi¯ = … = <1, i> ¯0 + xi ¯ = … = (¯+¯, ¯0¯, ¯ xi ¯) = … = (2, 1, <1, i>) ¯0 + xi = xi ¯ = (¯=¯, ¯0 + xi ¯, ¯xi¯ ) = …= (3, (2,1, <1, i>), <1, i>)

25. Il teorema di Gödel Con ciò le formule aritmetiche vengono a poter giocare un doppio ruolo nel contesto di una teoria aritmetica in cui la funzione di gödelizzazione è definita, il ruolo di se stesse come formule aritmetiche e il ruolo di codici di formule aritmetiche, in analogia con attori di teatro che fuori dal palcoscenico sono le persone che sono e sul palcoscenico recitano una parte in genere diversa da ciò che essi sono.

26. Il teorema di Gödel Ad un attore può però anche capitare di dover recitare se stesso. Analogamente una formula aritmetica può venire a recitare il ruolo di codice aritmetico di se stessa, ovvero può codificare se stessa come formula aritmetica. Ciò è anzi assicurato dal lemma di diagonalizzazione seguente: Per ogni LA formula P(x) con esattamente la variabile x libera esiste una formula di LA n tale che n = P(¯ n¯ ) ovvero la formula ottenuta da P(x) sostituendo in essa la variabile x con ¯n¯parla di se stessa, è codice di se stessa

27. Il teorema di Gödel Anche il predicato “essere derivabile in A” è codificabile nel linguaggio dell’aritmetica. Data una formula a di LA, PrA(¯ a ¯ ) codifica l’esistenza di una prova per a in A (afferma l’esistenza di una relazione tra due formule aritmetiche di cui l’una viene ad essere il gödeliano di una derivazione in A e l’altra il gödeliano di a)

28. Il teorema di Gödel Sia PrA(x) la formula “x non è derivabile in A”. Si applichi ora a  PrA(x) il lemma di diagonalizzazione. Si otterrà come risultato un g tale che g = PrA(¯ g¯) Indichiamo ora con  la formula g ovvero PrA(¯ g¯) È  derivabile in A o no?

29. Il teorema di Gödel 1) A ├  ipotesi 2) A ├PrA(¯ g¯) prima condizione di derivabilità • A ├   PrA(¯ g¯)lemma di diagonalizzazione • A ├   PrA(¯ g¯)eliminazione  • A ├ PrA(¯ g¯)   contrapposizione • A ├  mp • A ├    Se A ├  allora A ├   cioè Cons (A)

30. Il teorema di Gödel Se Cons (A),  non è derivabile in A, ovvero Cons(A)  PrA(¯ g¯) Anche   non è derivabile in A (sotto un’assunzione più forte della consistenza di A) A ⊬ A ⊬ A è sintatticamente incompleta!

31. Il teorema di Gödel (corollario) Cosa accadrebbe se A ├ Cons (A)? A ├ Cons (A) A ├ Cons (A)  PrA(¯ g¯) A ├ PrA(¯ g¯) A ├  Quindi: A ⊬Cons (A)

32. Il teorema di Gödel PrA(¯ g¯)dice della formula g che non è derivabile in A La formula g è PrA(¯ g¯) PrA(¯ g¯)non è derivabile in A, quindi PrA(¯ g¯)è vera! A è semanticamente incompleta!

33. Implicazioni logico-filosofiche Interpretazione “inflazionista” Esiste una formula aritmetica vera ma non derivabile in A attraverso gli strumenti del calcolo logico La verità aritmetica sporge sulla derivabilità logica in A Esistono accessi di tipo non derivativo alla verità aritmetica…

34. Implicazioni logico-filosofiche Interpretazione “deflazionista” La formula PrA(¯ g¯)gioca un doppio ruolo: • è una formula dell’aritmetica (PrA(¯ g¯)) • parla di una formula dell’aritmetica, è un “messaggio sintattico in codice” (PrA(¯ g¯)) (Si pensi all’espressione S.O.S. È, come tale, un’espressione del nostro linguaggio corrente formulato in italiano, ma è anche il codice di un’espressione più lunga formulata in inglese “save our souls”)

35. Implicazioni logico-filosofiche PrA(¯ g¯), presa nel suo ruolo di formula aritmetica, si configura come una formula aritmetica non decidibile in A, che non riusciamo a dimostrare né a confutare. Con ciò essa si configura come un “esempio di proposizioni (dello stesso tipo che quelle di Goldbach e di Fermat) che sono […] non provabili nel sistema formale della matematica classica” Ma gli inflazionisti non si limitano a considerare PrA(¯ g¯) una formula aritmetica né derivabile né refutabile, dicono che è una verità aritmetica non dimostrabile né refutabile

36. Implicazioni logico-filosofiche è vera PrA(¯ g¯)? PrA(¯ g¯)è laformula aritmetica g di cuiPrA(¯ g¯)dice che non è derivabile in A. È PrA(¯ g¯) derivabile in A? No Allora PrA(¯ g¯)è vera … …ma il codice PrA(¯ g¯)parla di se stesso perché la formula aritmetica gèPrA(¯ g¯)che è notazionalmente identico a PrA(¯ g¯); PrA(¯ g¯)è ad un tempo codice e codificato, è ad un tempo vero e non dimostrabile, è una verità indimostrabile!

37. Implicazioni logico-filosofiche Davvero si possono identificare PrA(¯ g¯)e PrA(¯ g¯)? PrA(¯ g¯)come codice non è PrA(¯ g¯)come formula aritmetica PrA(¯ g¯)non parla di sé, parla di una formula aritmetica, è riconosciuto da noi come vero ma non propriamente come non derivabile … PrA(¯ g¯)è non derivabile ma non vero, per essere vero dovrebbe essere inteso come codice L’incompletezza semantica scaturisce per illusione!

38. Implicazioni logico-filosofiche Come si caratterizza la formula di cui parla PrA(¯ g¯)?  PrA(¯S(S(0)) + S(0) = S(S(S(S(0))))¯ )parla della formula S(S(0)) + S(0) = S(S(S(S(0)))) intepretabile su 2+1=4 PrA(¯ g¯) parla di PrA(¯ g¯) dato che g = PrA(¯ g¯) È PrA(¯ g¯) una proposizione aritmetica come S(S(0))+ S(0) = S(S(S(S(0))))”? Sì e no.

39. Implicazioni logico-filosofiche È PrA(¯ g¯) una proposizione aritmetica come “S(S(0)+ S(0) = S(S(S(0)))”? Si e no. È una formula espressa nel linguaggio dell’aritmetica, esprime una relazione tra gödeliani e i gödeliani sono formule di LA interpretabili su numeri naturali A differenza di “S(S(0)+ S(0) = S(S(S(0)))”, PrA(¯ g¯) non è “semanticamente” esaurita da un’intepretazione sui numeri naturali ché i numeri naturali su cui è interpretata sono codici di oggetti sintattici, PrA(¯ g¯) è una proposizione naturalmente sintattica e non naturalmente aritmetica. PrA(¯ g¯) è una formula aritmetica solo per illusione, l’incompletezza sintattica dell’aritmetica è solo un’illusione!

40. Implicazioni logico-filosofiche In più: PrA(¯ g¯)dice  PrA(¯PrA(¯ g¯) ¯) PrA(g) quando la interpreto, la interpreto come formula non aritmetica bensì sintattica parla della formula codificata da ¯ g¯… per cui ho  PrA(¯ PrA(¯ PrA(¯ g¯) ¯) ¯) … … PrA(¯ g¯)è una formula metaritmetica solo per illusione!

41. Implicazioni logico-filosofiche • non si può confondere il codice col codificato, PrA(¯ g¯) con PrA(¯ g¯) : l’incompletezza semantica scaturisce per illusione • PrA(¯ g¯) non si può trattare come genuina formula aritmetica: l’incompletezza sintattica scaturisce per illusione • PrA(¯ g¯) non si può trattare come una formula, è una formula solo per illusione! Il teorema di Gödel è un teorema solo per trucco

42. Implicazioni logico-filosoficheL. Wittgenstein, Grammatica filosofica La matematica consiste tutta di calcoli Ho detto “calcolo” non è un concetto matematico. Questo vuol dire che la parola “calcolo” non è una pedina della matematica. Non c’è bisogno che compaia in matematica In matematica non si può parlare di sistemi in generale ma solo entro sistemi. Questo sono proprio ciò di cui non si può parlare In matematica tutto è algoritmo, niente è significato; anche là dove par così è perché ci sembra di stare parlando delle cose matematiche con parole. Anzi allora costruiamo un algoritmo proprio con queste parole. La proposizione dice che questo numero non può essere ottenuto da questi altri numeri in questo modo. Ma sei sicuro di averla tradotta bene […]? Certo sembra di sì. – Ma non è possibile che ti sia sbagliato?

43. Implicazioni logico-filosofiche Interpretazione “inflazionista” Esiste una formula aritmetica vera ma non derivabile in A attraverso gli strumenti del calcolo logico La verità aritmetica sporge sulla derivabilità logica in A Esistono accessi di tipo non derivativo alla verità (meta)aritmetica… …allora… …mente umana è diversa dalla macchina

44. L’interpretazione “teologica” di Gödelripresa da Lucas e Penrose Così è inevitabile la seguente disgiunzione: o la matematica è incompleta nel senso che i suoi assiomi evidenti non possono mai essere compresi in una regola finita, cioè la mente umana (persino nell’ambito della matematica) sorpassa infinitamente la potenza di qualsiasi macchina finita, oppure esistono problemi […] del tipo specificato assolutamente indecidibili […] Gödel 1951

45. L’intepretazione di Gödel Ha comunque significato “anti-materialistico” • rispetto alla natura della mente («l’attività della mente non può essere ridotta all’attività del cervello, il quale ha tutte le sembianze di una macchina finita con un numero finito di parti, vale a dire i neuroni e loro connessioni») • Rispetto alla matematica, che non sarebbe solo una creazione nostra («infatti il creatore conosce necessariamente tutte le proprietà delle sue creature, perché queste non possono averne altre da quelle ricevute. Così questa alternativa, secondo la quale esistono proposizioni matematiche assolutamente indecidibili sembra implicare che gli oggetti e i fatti matematici […] esistono oggettivamente e indipendentemente dai nostri atti e decisioni mentali, vale a dire, sembra implicare, qualche forma di Platonismo o realismo nei confronti degli oggetti matematici»)

46. L’interpretazione di Gödel In che senso la mente sorpassa la potenza di qualsiasi macchina? Che la mente sia assimilabile ad una macchina significa dire che: • esiste un sistema formale T che rappresenta tale macchina • conoscere P da parte della mente significa conoscere che P è derivabile in T • La mente conosce formule come PrT (¯ g¯) e sa che essa non è derivabile in T, e quindi vera, se T è consistente • La mente sorpassa la macchina…

47. L’intepretazione di Gödel La mente sorpassa la macchina… … se conosce la consistenza di T La mente conosce: Cons(T) PrT(¯ g¯) , Conosce PrT(¯ g¯) , e la sua verità, se conosce Cons(T)

48. L’interpretazione di Gödel Conosce la mente umana Cons (A)? Esistono dei mezzi formali per dimostrare Cons (A) collocabili ad un livello formale più complesso di A (a livello di qualche teoria più potente T che include A come sottoteoria) ma comunque accessibili anche alla macchina! Quindi, riguardo ad A, la mente umana non conosce di più della macchina! T (e la macchina) può dimostrare la consistenza di A non quella di T. In generale, la macchina non può sapere nulla della sua consistenza. Sapere o credere per la macchina significa derivare e derivare la consistenza è precluso dal secondo teorema di Gödel… … mentre la mente sa di essere consistente Davvero la mente sa di essere consistente? Può darsi che la mente non sappia di più ma che sappia diversamente? la macchina dimostra la consistenza di A, la mente intuisce la consistenza di A…

49. Intuizione matematica Che cosa significa intuire la consistenza di A? Intuire il modello di A, intuire un’infinità attuale Quale teorie dell’intuizione matematica rendono ragione dell’intuizione del modello di A?

50. Che cosa significa intuirein matematica? intuizione platonista vs. intuizione quasi-costruttiva vs. credenza nella consistenza