CONTROLO 3º ano – 1º semestre 2011-2012

1. CONTROLO 3º ano – 1º semestre 2011-2012 Transparências de apoio às aulas teóricas Capítulo– Projecto Nyquist/Bode Maria Isabel Ribeiro António Pascoal Todos os direitos reservados Estas notas não podem ser usadas para fins distintos daqueles para que foram elaboradas (leccionação no Instituto Superior Técnico) sem autorização dos autores

2. Projecto no domínio da frequência Sistema a controlar Controlador EXEMPLO + _ C(s) G(s) Diagrama de Bode da f.t.ca.=1/s2 K=1 frequência de cruzamento margem de fase sistema marginalmente estável

3. EXEMPLO Sistema a controlar Controlador + _ C(s) G(s) Critério de Nyquist Contorno de Nyquist A imagem do contorno de Nyquist passa pelo ponto crítico -1 A x x -1 pólo duplo sistema marginalmente estável é um pólo em malha fechada

4. EXEMPLO Sistema a controlar Controlador + _ C(s) G(s) Root-Locus Estratégia de Controlo efeito estabilizador x x (PD) pólo duplo o x x 2 pólos da f.t.c.f. no eixo imaginário Introdução de amortecimento artificial devido ao termo derivativo sistema marginalmente estável

5. EXEMPLO Sistema a controlar Controlador + _ exemplo C(s) G(s) K=1, z=0.1rad/s sistema em c.f. estável -1 Pode aumentar-se o ganho indefinidamente sem que se perca estabilidade

6. Análise do compensador PD arg C(s) 90º 45º benefício de avanço de fase z compensador por avanço de fase sistema original Diagrama de Nyquist O compensador de avanço de fase afasta o diagrama do ponto -1 -1 sistema compensado nova margem de fase

7. Compensador de avanço de fase Compensador PD sistema realizável (com um pólo e um zero) Sistema a controlar Controlador + _ avanço de fase C(s) G(s)

8. Compensador por Avanço de Fase Ganho estático = K zero = - 1/T pólo = - 1/bT x

9. Compensador por Avanço de Fase Máximo (benefício) do AVANÇO DE FASE Cálculo de Em escala logarítmica, equidistante das frequências de corte do zero e do pólo

10. Compensador por Avanço de Fase

11. Compensador por Avanço de Fase Máximo AVANÇO DE FASE 90º x

12. Porque é importante conhecer ? • O compensador de avanço de fase usa-se para aumentar a margem de fase, ou seja somar fase na frequência em que o ganho da f.t.c.a. é unitário. • Ao somar fase em wmax, também se aumenta o ganho. De quanto? • É o preço a pagar pelo avanço de fase Compensador por Avanço de Fase

13. Compensador por Avanço de Fase

14. + _ EXEMPLO 1 Sistema de controlo (Motor de c.c. com amplificador) motor com carga controlador amplificador • K(s) estabiliza o sistema motor c.c. com amplificador • Erro de seguimento a rampa unitária • Margem de fase • Margem de ganho posição angular velocidade Objectivos a atingir

15. + _ EXEMPLO 1 G(s) a projectar ganho estático unitário 2. Erro de seguimento a rampa unitária escolha-se

16. a projectar EXEMPLO 1 + _ diagrama de Bode de Os valores seriam diferentes se tivesse sido usado o diagrama de Bode assimptótico Só com este ganho, o sistema em cadeia fechada é estável, embora não satisfaça a margem de fase pretendida

17. a projectar EXEMPLO 1 + _ Confirmação da estabilidade em cadeia fechada usando critério de Nyquist com Contorno de Nyquist x x x -36 -100 -1 34º P=0 N=0 módulo=1 Z=P+N=0

18. a projectar EXEMPLO 1 + _ 3. Margem de fase Aumento nominal de 48º - 34º = 14º Para No entanto é necessário “dar” FASE ADICIONAL Compensador de avanço sistema original nova frequência de cruzamento 0 db figura não à escala. Apenas ilustrativa Como a frequência de cruzamento aumenta é preciso + aumento de fase Não basta um aumento de 14º 34º -180º sistema original

19. a projectar EXEMPLO 1 + _ 3. Margem de fase Aumento nominal de 48º - 34º = 14º Para Aumento total de fase = Nominal + “Factor de Segurança” = 14º + 10º = 24º Determinação das características do compensador de avanço de fase avanço O parâmetro b define o afastamento entre o zero e o pólo do compensador

20. EXEMPLO 1 preço a pagar pelo avanço de fase Ganho estático do compensador unitário Todo o ganho necessário já foi considerado onde se coloca • Conhecendo b • Escolhendo wmax • Calcula-se T wmax é a frequência a que o avanço de fase é maior

21. onde se coloca EXEMPLO 1 +3.77dB f.t.c.a sistema compensado -3.77dB f.t.c.a sistema original Frequência à qual o ganho de malha

22. a projectar EXEMPLO 1 + _ f.t. do compensador com ganho estático unitáro f.t.c.a. do sistema compensado f.t.c.a. do sistema original*1440

23. + _ EXEMPLO 1 f.t.c.a. do sistema original f.t. do compensador f.t.c.a. do sistema compensado Se não for satisfatório, refaça os cálculos

24. + _ EXEMPLO 1 nova margem de fase Repita o projecto com base no diagrama de Bode assimptótico

25. Compensador de avanço - Sumário • Introduz fase positiva na vizinhança da frequência de cruzamento a 0dB do sistema original, aumentando a margem de fase e melhorando assim a estabilidade relativa • Preço a pagar é um aumento do ganho de alta frequência • O compensador de avanço é equivalente ao controlador PD no intervalo de frequências em que o efeito do pólo é pouco significativo • O compensador de avanço é uma representação mais realista do controlador PD em que o pólo tem a função de limitar o ganho de altas frequências do controlador

26. Diagrama de Bode de 0 dB Compensador de Atraso de Fase O compensador que vai ser apresentado tem ganho estático unitário Ganho estático = 1 zero = - 1/T pólo = - 1/aT x

27. Compensador de atraso – Princípio de utilização • Tirar partido da atenuação do ganho de modo a deslocar a frequência de cruzamento a 0dB para a frequência que conduz à margem de fase desejada. • Preço a pagar é uma diminuição da fase na zona de influência do compensador • Até uma década após o zero • Procura-se que a característica de fase original não seja significativamente alterada na vizinhança da nova frequência de cruzamento a 0dB. • Zero do compensador colocado, pelo menos, uma década antes da frequência de cruzamento a 0dB desejada.

28. Compensador de Atraso de Fase Diagrama de Bode de 0 dB

29. + _ EXEMPLO 2 Sistema de controlo (Motor de c.c. com amplificador) motor com carga controlador amplificador • K(s) estabiliza o sistema motor c.c. com amplificador • Erro de seguimento a rampa unitária • Margem de fase • Margem de ganho posição angular velocidade Objectivos a atingir

30. + _ EXEMPLO 2 G(s) a projectar ganho estático unitário 2. Erro de seguimento a rampa unitária escolha-se

31. a projectar EXEMPLO 2 + _ diagrama de Bode de Qual terá que ser a frequência de cruzamento a 0dB para ter a margem de fase pretendida? Chegará diminuir o ganho de 20dB nesta frequência com um compensador de atraso?

32. a projectar EXEMPLO 2 + _ diagrama de Bode de factor de segurança Porque é necessário o factor de segurança? O compensador de atraso deve providenciar um ganho de -24dB à frequência de 9.8rad/s

33. Dimensionamento do compensador de atraso EXEMPLO 2 0 dB -24dB define o afastemento entre o pólo e o zero Fase negativa = preço a pagar pela diminuiçãode ganho -90º Onde “colocar” o compensador?

34. EXEMPLO 2 Várias hipótess possíveis de “colocação” do compensador 0º

35. Estratégia de “colocação” do compensador de atraso EXEMPLO 2 Zero do compensador 1 década abaixo da frequência de cruzamento desejada Na frequência de cruzamento desejada, a fase negativa introduzida pelo compensador já é pequena, embora não nula 0 dB -24dB Isto justifica a introdução de fase adicional no cálculo da margem de fase desejada Fase negativa = preço a pagar pela diminuiçãode ganho -90º

36. Bode Diagram 100 System: sys 50 Frequency (rad/sec): 10 Magnitude (dB): -0.175 0 Magnitude (dB) -50 -100 0 System: sys Frequency (rad/sec): 10 Phase (deg): -116 -90 Phase (deg) -180 -270 -2 -1 0 1 2 3 10 10 10 10 10 10 Frequency (rad/sec) a projectar EXEMPLO 2 + _ f.t.c.a. do sistema original*5839 f.t.c.a. do sistema original*5839 f.t.c.a. do sistema compensado f.t. do compensador f.t. do compensador f.t.c.a. do sistema compensado especificações verificadas