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Motivaci?n. En el tema anterior (Ra?ces de ecuaciones) se estudiaron m?todos para determinar el valor de x que satisface a una sola ecuaci?n, f(x) = 0Ahora, nos ocuparemos del caso para determinar los valores de x1, x2,? xn que en forma simult?nea satisfacen a un conjunto de ecuaciones algebraica
E N D
2. Motivación En el tema anterior (Raíces de ecuaciones) se estudiaron métodos para determinar el valor de x que satisface a una sola ecuación, f(x) = 0
Ahora, nos ocuparemos del caso para determinar los valores de x1, x2,… xn que en forma simultánea satisfacen a un conjunto de ecuaciones algebraicas lineales
3. Motivación Estudiaremos métodos para resolver conjuntos de ecuaciones algebraicas lineales que son de la forma general,
4. Métodos empleados antes de la era de las computadoras Para pocas ecuaciones (n = 3), las ecuaciones lineales se pueden resolver con rapidez mediante técnicas simples
Método gráfico
Para n = 2 ? la solución corresponde a la intersección de líneas rectas
Para n = 3 ? cada ecuación representa un plano. La solución corresponde al punto donde se intersectan los 3 planos
Para n > 3 ? los métodos gráficos no funcionan
Caso que pueden ocasionar problemas
5. Métodos empleados antes de la era de las computadoras Determinantes y Regla de Cramer
Determinante de una matriz de coeficientes 2?2
Determinante de una matriz de coeficientes 3?3
6. Métodos empleados antes de la era de las computadoras
7. Métodos empleados antes de la era de las computadoras Regla de Cramer
Cada incógnita en un sistema de ecuaciones algebraicas lineales puede ser expresada como una fracción de dos determinantes
El denominador es el determinante de la matriz de coeficientes
El numerador es el determinante de una matriz en la cual se reemplaza la columna de coeficientes de la incógnita por el vector de constantes {B}
8. Ecuaciones algebraicas lineales y práctica de la ingeniería Muchas de las ecuaciones fundamentales de ingeniería están basadas en leyes de conservación
En términos matemáticos, esos principios conducen a ecuaciones de balance que relacionan el comportamiento del sistema con las propiedades o características y los estímulos externos que actúan sobre el sistema
En el capítulo anterior se trabajó con sistemas de un solo componente que resultaba en una sola ecuación que se resolvía con métodos de cálculo de raíces
Los sistemas multicomponentes resultan en un conjunto agrupado de ecuaciones matemáticas que deben ser resueltas simultáneamente
9. Ecuaciones algebraicas lineales y práctica de la ingeniería Problemas multicomponentes surgen tanto de modelos matemáticos de variables agrupadas como de variables distribuidas
Los problemas de variables agrupadas involucran componentes finitos acoplados
Armaduras
Reactores
Circuitos eléctricos
Los problemas de variables distribuidas intentan describir detalles espaciales de los sistemas sobre una base continua
Las ecuaciones diferenciales derivadas a partir de leyes de conservación especifican la distribución de la variable dependiente para tales sistemas
Esas ecuaciones se pueden resolver numéricamente al convertirlas en un sistema equivalente de ecuaciones algebraicas simultáneas
10. Ecuaciones algebraicas lineales y práctica de la ingeniería
Además de los problemas físicos, las ecuaciones algebraicas lineales simultáneas surgen también en diferentes contextos de problemas matemáticos
Algunas técnicas numéricas de uso general que emplean ecuaciones simultáneas son el análisis de regresión y la interpolación segmentaria
11. Antecedentes matemáticos necesarios Notación matricial
En la solución de ecuaciones algebraicas lineales
No. de ecuaciones = No. de filas
No. de variables = No. de columnas
12. Antecedentes matemáticos necesarios Operaciones de matrices
Suma
Multiplicación de una matriz por un escalar: se multiplica cada elemento de la matriz por el escalar
Multiplicación de dos matrices
13. Antecedentes matemáticos necesarios Operaciones de matrices
División: la división de una matriz no es una operación definida sin embargo, si una matriz A es cuadrada y no singular, existe otra matriz A-1, llamada inversa de A para la cual A?A-1 = A-1?A=I
Transpuesta de una matriz: consiste en transformar sus filas en columnas y viceversa
Traza de una matriz: es la suma de los elementos de su diagonal principal
14. Representación de ecuaciones algebraicas lineales en forma matricial
Una manera formal para obtener la solución usando algebra matricial es multiplicando cada lado de la ecuación por la inversa de A
15. Métodos numéricos para la solución de ecuaciones algebraicas lineales Eliminación de Gauss
Descomposición LU ? valiosa para casos donde se necesita evaluar muchos vectores del lado derecho. Permite hacer eficiente el cálculo de la matriz inversa
Técnicas eficientes para la solución de sistemas tridiagonales (matrices en banda)
Método de Gauss-Seidel ? método iterativo
16. Eliminación de Gauss Este método involucra una combinación de ecuaciones para eliminar las incógnitas
Es uno de los métodos más antiguos y sigue siendo uno de los algoritmos de mayor importancia
17. Eliminación de Gauss Eliminación de incógnitas
La estrategia básica es multiplicar las ecuaciones por constantes, de tal forma que se elimine una de las incógnitas cuando se combinen las ecuaciones
El resultado es una sola ecuación que se puede resolver para la incógnita restante
Este valor se sustituye en las ecuaciones originales para calcular la otra variable
Este método representa la base para la eliminación de Gauss
Se puede extender a grandes sistemas de ecuaciones desarrollando un esquema sistemático para eliminar incógnitas y sustituir hacia atrás
18. Eliminación de Gauss Eliminación de Gauss simple ? el método consiste en dos fases
Eliminación de incógnitas
Reduce el conjunto de ecuaciones a un sistema triangular superior
Primero se elimina la primera incógnita, x1, desde la segunda hasta la n-enésima fila, multiplicando por a21/a11 a la primera ecuación, luego restando ésta a la segunda
El procedimiento es repetido para las ecuaciones restantes
Para este paso la ecuación 1 es la ecuación pivote y a11 es el coeficiente pivote
Solución por sustitución hacia atrás
Al finalizar la eliminación, la ecuación n puede resolverse para xn
19. Eliminación de Gauss Seudo código
DO k = 1, n-1
DO i = k+1, n
Factor = ai,k/ak,k
DO j = k+1, n
ai,j = ai,j - factor * ak,j
END DO
bi = bi -factor * bk
END DO
END DO
xn =bn / an,n
DO i = n-1, 1, -1
sum = 0
DO j = i+1, n
sum = sum + ai,j * xj
END DO
xi = (bi - sum) / ai,i
END DO
20. Eliminación de Gauss Ejemplo
Eliminación
21. Eliminación de Gauss Número de operaciones de punto flotante para Gauss simple
Para un sistema que se hace cada vez más grande, el tiempo de cálculo se incrementa considerablemente
La mayor parte del esfuerzo ocurre en el paso de la eliminación. Por lo que se hace necesario hacer más eficiente el procedimiento
22. Desventajas del método de eliminación de Gauss División entre cero
Durante las fases de eliminación y sustitución es posible que ocurra división entre cero
También se pueden presentar problemas cuando el coeficiente es muy cercano a cero
Para evitar estos problemas se utiliza una técnica de pivoteo
23. Desventajas del método de eliminación de Gauss Errores de redondeo
Debido a que las computadoras manejan sólo un número limitado de cifras significativas, pueden ocurrir errores de redondeo y se deben considerar al evaluar los resultados
Estos errores pueden ser importantes para sistemas con un gran número de ecuaciones
Debido a que cada resultado depende del anterior, el error de los primeros pasos tiende a propagarse
Una regla general es la de suponer que los errores de redondeo son importantes cuando n = 100
Siempre se debe sustituir los resultados en las ecuaciones originales y verificar si ha ocurrido un error sustancial
24. Desventajas del método de eliminación de Gauss Sistemas mal condicionados
Sistemas bien condicionados son aquellos en los que un pequeño cambio en uno o más coeficientes provoca un pequeño cambio en la solución
Sistemas mal condicionados son aquellos en donde pequeños cambios en los coeficientes generan grandes cambios en la solución
Es decir un amplio rango de soluciones puede satisfacer las ecuaciones en forma aproximada
Los errores de redondeo pueden inducir pequeños cambios en los coeficientes, si el sistema está mal condicionado estos cambios artificiales pueden generar grandes errores en la solución
25. Desventajas del método de eliminación de Gauss Sistemas mal condicionados
Ejemplo
Cambiando a21 de 1.1 a 1.05
sustituyendo en las ecuaciones originales
26. Desventajas del método de eliminación de Gauss Sistemas mal condicionados
Esta situación se puede caracterizar de forma matemática, escribiendo las ecuaciones en su forma general
Arreglando las ecuaciones en un formato de líneas rectas
Si las pendientes son casi iguales
27. Desventajas del método de eliminación de Gauss Sistemas singulares
Son aquellos donde dos o más ecuaciones son iguales
En el caso donde dos ecuaciones son iguales se pierde un grado de libertad siendo imposible resolver el problema de n-1 ecuaciones con n incógnitas
Tales casos podrían no ser obvios cuando se trabaja con grandes conjuntos de ecuaciones
Se hace necesario tener una forma que de manera automática detecte la singularidad del sistema
Esto se logra debido al hecho de que el determinante de un sistema singular es cero
Durante el proceso de eliminación se chequea si un elemento de la diagonal es cero, al descubrir uno se puede terminar inmediatamente y generar una excepción o mensaje de error
28. Técnicas para mejorar las soluciones del método de eliminación de Gauss Uso de más cifras significativas
La solución más simple para el mal condicionamiento es usar más cifras significativas en los cálculos
El uso de la precisión expandida tiene un precio que se eleva en forma de tiempo de cálculo y cantidad de memoria
Pivoteo
Ocurren problemas de división por cero cuando el coeficiente pivote es cero
Cuando el coeficiente pivote es cercano a cero se pueden introducir errores de redondeo, porque su magnitud puede ser muy pequeña al compararla con la de los demás coeficientes
Para evitar esto se utiliza el pivoteo parcial
29. Técnicas para mejorar las soluciones del método de eliminación de Gauss Pivoteo parcial
Antes de normalizar cada fila, se determina el mayor coeficiente pivote disponible en la columna que está por debajo del elemento pivote
Las filas se intercambian de manera tal que el coeficiente más grande sea el pivote
Ventajas del pivoteo parcial
Evita la división entre cero
Minimiza el error de redondeo
30. Técnicas para mejorar las soluciones del método de eliminación de Gauss Pivoteo parcial
Ejemplo
31. Seudo código para implementar el pivoteo parcial Se puede usar como una subrutina que podría ser llamada directamente después del inicio del primer ciclo de eliminación
Aquí se intercambian de forma física las filas. Para grandes matrices esto puede consumir mucho tiempo
Lo que se hace es no intercambiar las filas sino que se guarda el orden de los pivotes en un vector, y según este orden se llevan a cabo las operaciones de eliminación y sustitución SUB pivot(a, b, n, k)
p = k
big = abs(ak,k)
DO ii = k+1, n
dummy = abs(aii,k)
IF (dummy > big)
big = dummy
p = ii
END IF
END DO
IF (p ? k)
DO jj = k, n
dummy = ap,jj
ap,jj = ak,jj
ak,jj = dummy
END DO
dummy = bp
bp = bk
bk = dummy
END IF
32. Técnicas para mejorar las soluciones del método de eliminación de Gauss Escalamiento
El escalamiento revela si el pivoteo es necesario
Si es necesario, se pivotea pero se retienen los coeficientes originales de la ecuación escalada
El escalamiento se usa para calcular los valores escalados de los coeficientes que servirán como un criterio de pivoteo
Ejemplo
33. Descomposición LU e Inversión de matrices Descomposición LU
El principal atractivo de este método es que el paso de eliminación, que consume tiempo, se puede reformular de tal manera que involucre sólo operaciones sobre los elementos de la matriz de coeficientes, A
De esta forma, es muy adecuado para aquellas situaciones donde se debe evaluar muchos vectores {B}
El método de eliminación de Gauss puede implementarse como una descomposición LU
La descomposición LU proporciona un medio eficaz para calcular la matriz inversa, la cual a su vez permite evaluar la condición de un sistema
34. Descomposición LU Partiendo de un sistema de ecuaciones lineales de la forma,
Este se puede ordenar como,
El primer paso de la eliminación de Gauss resulta en un sistema con una matriz triángular superior
Que puede ser expresada como, Ahora, suponga que existe una matriz triangular inferior con números 1 sobre la diagonal
que tiene la siguiente propiedad
si esta propiedad se cumple, de las reglas de multiplicación de matrices se obtiene,
35. Descomposición LU Estrategia para resolver el sistema
Paso de descomposición LU: la matriz [A], se factoriza o descompone en matrices triangulares inferior [L] y superior [U]
Paso de sustitución: [L] y [U] se usan par determinar una solución {X} para un vector {B}. Este paso consta de dos subpasos:
Se determina el vector intermedio {D} resolviendo [L]{D}={B} por sustitución hacia delante, debido a que [L] es una matriz triangular inferior
Se determina {X} resolviendo [U]{X}={D} por sustitución hacia atrás
36. Descomposición LU Descomposición LU con base en la eliminación de Gauss
Partiendo de una matriz de coeficientes, se llega a una matriz triangular superior
Para llegar a esta matriz [U]
37. Descomposición LU Descomposición LU con base en la eliminación de Gauss
Paso de descomposición LU: la matriz [A], se factoriza o descompone en matrices triangulares inferior [L] y superior [U]
Paso de sustitución: [L] y [U] se usan par determinar una solución {X} para un vector {B}. Este paso consta de dos subpasos:
Se determina el vector intermedio {D} resolviendo [L]{D}={B} por sustitución hacia delante
Se determina {X} resolviendo [U]{X}={D} por sustitución hacia atrás
38. Seudo código para descomposición LU
39. Seudo código para descomposición LU
40. Seudo código para descomposición LU
41. Matriz inversa Para una matriz cuadrada [A], hay otra matriz [A]-1 conocida como la inversa de [A], para la cual se cumple,
[A] [A]-1 = [A]-1[A] = I
La matriz inversa se puede calcular en una forma de columna por columna a partir de vectores unitarios como vector de constantes del sistema de ecuaciones lineales algebraicas
Por ejemplo, para determinar la primera columna de la matriz inversa se resuelve el sistema con el vector de constantes B=[1 0 0]T
para determinar la segunda columna se usa B=[0 1 0]T
y así sucesivamente
42. Matriz inversa La descomposición LU representa la mejor forma para implementar el cálculo de la matriz inversa, ya que una vez obtenida la descomposición LU de la matriz A se puede calcular su inversa resolviendo cada columna con los vectores unitarios como constantes
Ejemplo: Determinar la inversa de
43. Análisis de error y condición del sistema La matriz inversa permite determinar si un sistema está mal condicionado, para esto existen 3 métodos:
Escalar la matriz de coeficientes [A], de tal manera que el elemento más grande en cada fila sea 1. Si al invertir la matriz escalada existen elementos de la inversa [A]-1 que sean varios ordenes de magnitud mayores que la unidad, es probable que el sistema esté mal condicionado
Multiplicar la inversa por la matriz de coeficientes original y verificar que [A][A]-1 ? I. Si no es así, indica que el sistema está mal condicionado
Invertir la matriz inversa y verificar que el resultado está lo suficientemente cercano a la matriz original. Si no es así, indica que el sistema está mal condicionado
44. Número de condición de una matriz
Este número mide la sensibilidad de la solución de un sistema de ecuaciones lineales a errores en los datos
Valores cercanos a 1 indican que el sistema está bien condicionado
Valores grandes indican que la matriz es casi singular
45. Número de condición de una matriz
Norma 2, o normal espectral
?max es el eigenvalor más grande de [A]T[A]. Esta es la la norma mínima, por lo tanto proporciona la medida de tamaño más ajustada
46. Matrices especiales Matrices banda
Matrices simétricas
Una matriz banda es una matriz cuadrada en la que todos sus elementos son cero, con excepción de una banda centrada sobre la diagonal principal
47. Matrices especiales La eliminación de Gauss o la descomposición LU pueden emplearse para resolver sistemas de banda, pero si el pivoteo no es necesario resultan ineficientes, porque se utilizaría tiempo y espacio innecesario en el almacenamiento y manejo de ceros
Si se sabe de antemano que el pivoteo es innecesario, se pueden desarrollar algoritmos muy eficientes que no involucren los elementos cero fuera de la banda
48. Sistemas tridiagonales Un sistema tridiagonal (ancho de banda = 3) se puede expresar como
Se cambia la notación
a ? e, f, g
b ? r
para evitar guardar ceros, ahorrando espacio
49. Sistemas tridiagonales Ejemplo
50. Algoritmo de Thomas (TDMA, tridiagonal matrix algorithm) El algoritmo consiste en tres pasos:
Descomposición
Sustitución hacia delante
Sustitución hacia atrás
Manteniendo todas las ventajas de la descomposición LU
51. Seudo código para algoritmo de Thomas a) Descomposición
DO k = 2, n
ek = ek/fk-1
fk = fk - ek*gk-1
END DO
b) Sustitución hacia adelante
DO k = 2,n
rk = rk - ek*rk-1
END DO
c) Sustitución hacia atrás
xn = rn/fn
DO k = n-1,1,-1
xk = (rk - gk*xk+1)/fk
END DO
52. Descomposición de Cholesky La descomposición o factorización de Cholesky expresa una matriz simétrica como el producto de una matriz triangular y su transpuesta
A = L·LT ? L: matriz triangular inferior
No todas las matrices simétricas se pueden factorizar de esta forma
Las matrices que tienen este tipo de factorización son las matrices simétricas definidas positivas. Esto implica que todos los elementos de la diagonal sean positivos y que los elementos fuera de la diagonal no sean muy grandes
53. Descomposición de Cholesky Los términos de la descomposición se pueden multiplicar entre si. El resultado se puede expresar en forma simple por relaciones recurrentes
Para la fila k
54. Descomposición de Cholesky Ejemplo,
55. Seudo código para la descomposición de Cholesky for k = 1:n
for i = 1:k-1
sum = 0;
for j = 1:i-1
sum = sum + A(i,j)*A(k,j);
end
A(k,i) = (A(k,i) - sum)/A(i,i);
end
sum = 0;
for j = 1:k-1
sum = sum + A(k,j)^2;
end
A(k,k) = sqrt(A(k,k) - sum);
end
56. Método de Gauss-Seidel Este es un método iterativo
Dado un conjunto de ecuaciones, AX = B
Si los elementos de la diagonal son diferentes de cero, se puede resolver la ecuación i para la variable i, donde i = 1…n
Se puede empezar el proceso de solución al escoger los valores iniciales de las variables x (xi = 0)
57. Método de Gauss-Seidel Los valores iniciales se sustituyen en la primera ecuación para calcular un nuevo valor para x1
Este nuevo valor de x1 junto con los demás valores iniciales se sustituyen en la segunda ecuación para calcular un nuevo valor para x2
Este proceso se repite hasta calcular los nuevos valores de las n variables
Después se regresa a la primera ecuación y se repite todo el procedimiento hasta que la solución converja a la solución real
La convergencia se puede verificar usando el criterio,
58. Criterio de convergencia del método de Gauss-Seidel Este método es similar en esencia al método de iteración de punto de fijo que se usa para el cálculo de raíces de una ecuación
Presenta las mismas desventajas:
En algunos casos no converge
En algunos casos la convergencia es lenta
Las condiciones suficientes para la convergencia de dos ecuaciones no lineales también aplican para ecuaciones lineales cuando se usa Gauss-Seidel
59. Criterio de convergencia del método de Gauss-Seidel En el caso de dos ecuaciones el método de Gauss-Seidel se expresa como
Las derivadas parciales de estas ecuaciones con respecto a las variables son
Para que se cumplan las condiciones suficientes de convergencia
60. Criterio de convergencia del método de Gauss-Seidel El valor absoluto de la pendiente de las ecuaciones rectas debe ser menor que la unidad para asegurar convergencia
Rerformulando,
El elemento diagonal debe ser mayor que el elemento fuera de la diagonal para cada fila (sistemas diagonal dominantes)
Generalizando para n ecuaciones
El criterio es suficiente pero no necesario para convergencia
61. Mejoras a la convergencia por medio de relajación La relajación representa una ligera modificación al método de Gauss-Seidel y está diseñada para mejorar la convergencia
Después de calcular cada nuevo valor de x, ese valor se modifica por un promedio ponderado de los resultados de las iteraciones anterior y actual:
?: es el coeficiente de relajación que tiene un valor entre 0 y 2
Si ? = 1 ? el resultado no se modifica
Si 0 < ? < 1 ? el resultado es un promedio ponderado de xinuevo y xianterior (subrelajación), se usa para hacer que un sistema no convergente, converja o converja más rápido al amortiguar sus oscilaciones
Si 1 < ? < 2 ? se le da una ponderación extra al valor actual (sobrerelajación), acelera la convergencia de un sistema que ya es convergente. También es conocida como sobrerelajación simultánea o sucesiva, SOR
62. Seudo código para el método de Gauss-Seidel con relajación SUBROUTINE Gseid(a,b,n,x,imax,es,lambda)
for i = 1:n
dummy = a(i,i);
for j = 1:n
a(i,j) = a(i,j)/dummy;
end
b(i) = b(i)/dummy;
end
for i = 1:n
sum = b(i);
for j = 1:n
if i ~= j
sum = sum - a(i,j)*x(j);
end
end
x(i) = sum;
end
iter = 1; while iter < maxIteraciones
sentinel = 1;
for i = 1:n
old = x(i);
sum = b(i);
for j = 1:n
if i ~= j
sum = sum - a(i,j)*x(j);
end
end
x(i) = lambda * sum +(1.0-lambda)*old;
if sentinel == 1 AND x(1) ~= 0.0
ea = abs((x(i)-old)/x(i))*100;
if ea > es
sentinel = 0;
end
end
end
iter = iter + 1;
if sentinel == 1
break
end
end
