La Universidad del Zulia Facultad de Ingeniería División de Estudios para Graduados

La Universidad del Zulia Facultad de Ingeniería División de Estudios para Graduados Asignatura: Tópicos Especiales en Computación Numérica • Ecuaciones diferenciales parciales • Diferencias finitas: ecuaciones elípticas • Diferencias finitas: ecuaciones parabólicas Prof. Luis Zerpa, M.Sc. Email: lzerpa@ica.luz.ve

Motivación • Dada una función u que depende de x y de y, la derivada parcial de u con respecto a x en un punto cualquiera (x,y) está definido como • La derivada parcial de u con respecto de y es • Una función que involucra derivadas parciales de una función desconocida con dos o más variables independientes, se denomina ECUACIÓN DIFERENCIAL PARCIAL, o EDP

Motivación • Ejemplos de ecuaciones diferenciales parciales • El orden de una EDP es el de la derivada más alta • Se dice que una ecuación diferencial parcial es lineal, si es lineal en la función desconocida y en todas sus derivadas, con coeficientes que dependen sólo de las variables independientes

Motivación • Por su amplia aplicación en ingeniería, nos concentramos en la solución de ecuaciones diferenciales parciales lineales de segundo ordendonde A, B, y C son funciones de x y yD es una función de x, y, u, u/x y u/y • Dependiendo de los valores de los coeficientes de los términos de la segunda derivada (A, B, y C) esta ecuación se puede clasificar en elíptica, parabólica o hiperbólica

Motivación Clasificación de ecuaciones diferenciales parciales lineales de segundo orden

Métodos empleados antes de la era de las computadoras • Antes de la llegada de las computadoras se utilizaban soluciones analíticas o exactas de ecuaciones diferenciales parciales • Aparte de los casos más simples, estas soluciones a menudo requieren gran esfuerzo y complicación matemática • Muchos sistemas físicos no pueden resolverse analíticamente, por lo que tienen que simplificarse usando linearización, representaciones geométricas simples, y otras idealizaciones • Estas soluciones aportan algún conocimiento del sistema que se está estudiando, sin embargo, están limitadas por la fidelidad con que representan la realidad

EDP y práctica de la ingeniería • Cada una de las categorías de ecuaciones diferenciales parciales conforman clases específicas de problemas de ingeniería • Las ecuaciones elípticas se usan para caracterizar sistemas de estado-estable (ausencia de una derivada con respecto al tiempo, o término transitorio) • Por lo general se emplean para determinar la distribución en estado estable de una incógnita en dos dimensiones Distribución de temperaturas Conducción estable con generación de calor

EDP y práctica de la ingeniería • Las ecuaciones parabólicas determinan cómo varía una incógnita tanto en espacio como en tiempo (presencia de derivadas especial y temporal) • Tales casos se conocen como problemas de propagación • Las ecuaciones hiperbólicas, también representan problemas de propagación, sin embargo, se diferencia de las ecuaciones parabólicas en que la incógnita se caracteriza por una segunda derivada con respecto al tiempo • En consecuencia, la solución oscila

Diferencias finitas: ecuaciones elípticas • Las ecuaciones elípticas se usan comúnmente para caracterizar problemas de estado estable y con valores en la frontera ECUACIÓN DE LAPLACE • La ecuación de Laplace puede ser usada para modelar diversos problemas que involucran el potencial de una variable desconocida • Ésta se puede deducir a partir de un problema físico sencillo • La transferencia de calor a través de una placa rectangular delgada

y q(y+Δy) q(x) q(x+Δx) Δy q(y) x Δx z Δz Diferencias finitas: ecuaciones elípticas q es el flujo de calor (cal/(cm2 s) ECUACIÓN DE LAPLACE • La placa esta aislada excepto en sus extremos • La transferencia de calor esta limitada a las dimensiones x y y • Considerando un elemento de la placa, el flujo de calor que entra en un periodo de tiempo debe ser igual al que sale • Dividiendo entre Δz y Δt

Diferencias finitas: ecuaciones elípticas • Ésta es una ecuación diferencial parcial, que es una expresión de la conservación de energía de la placa • La ecuación debe ser replanteada en términos de la temperatura • El enlace entre el flujo de calor y la temperatura está dado por la Ley de Fourier de conducción de calor • qi: flujo de calor en la dimensión i [cal/(cm2 s)] • k: coef. de difusividad térmica [cm2/s] • ρ: densidad del material [g/cm3] • C: capacidad calorífica del material [cal/(g ºC)] • T: temperatura [ºC] • k’: coef. De conductividad térmica [cal/s cm ºC]

Diferencias finitas: ecuaciones elípticas • Sustituyendo la Ley de Fourier en la ecuación de conservación de energía de la placa se obtiene la ecuación de Laplace • Para el caso donde hay fuentes o sumideros de calor dentro del dominio bidimensional, se agrega un término adicional Ecuación de Poisson

y m+1, n+1 0, n+1 i, j+1 i-1, j i+1, j i, j 0, 0 i, j-1 m+1, 0 x Técnica de solución • La solución numérica de las EDP elípticas procede en dirección inversa a la manera en que fue deducida la ecuación • Se sustituyen las derivadas parciales de la ecuación por diferencias finitas basadas en la discretización de la placa como una malla de puntos discretos, transformando la EDP en una ecuación algebraica de diferencias

i, j+1 i-1, j i+1, j i, j i, j-1 La ecuación de Laplace en diferencias • Las diferencias centrales basadas en el esquema de la malla son • Las cuales tienen errores de O[Δx2] y O[Δy2] • Sustituyendo en la ec. de Laplace • Para una malla cuadrada Δx = Δy Cumple para todos los puntos internos de la malla

y T = 100ºC m+1, n+1 0, n+1 (1, 3) (2, 3) (3, 3) (1, 2) (2, 2) (3, 2) T = 75ºC T = 50ºC (1, 1) (2, 1) (3, 1) 0, 0 m+1, 0 x T = 0ºC La ecuación de Laplace en diferencias • Las condiciones en la frontera en los extremos de la placa deben estar especificadas para obtener una solución única • Condición de frontera de Dirichlet  es el caso más simple, se especifican valores constantes de la variable dependiente (Temperatura) en los bordes • Para el nodo (1, 1) el balance de energía es, Cond. Borde  T0,1 = 75 T1,0 = 0

y T = 100ºC m+1, n+1 0, n+1 (1, 3) (2, 3) (3, 3) (1, 2) (2, 2) (3, 2) T = 75ºC T = 50ºC (1, 1) (2, 1) (3, 1) 0, 0 m+1, 0 x T = 0ºC La ecuación de Laplace en diferencias • Determinando el balance de energía en cada uno de los nodos internos se obtiene un sistema de nueve ecuaciones algebraicas lineales con nueve incógnitas

y T = 100ºC m+1, n+1 0, n+1 (1, 3) (2, 3) (3, 3) (1, 2) (2, 2) (3, 2) T = 75ºC T = 50ºC (1, 1) (2, 1) (3, 1) 0, 0 m+1, 0 x T = 0ºC La ecuación de Laplace en diferencias • Al resolver el sistema de ecuaciones se obtiene la distribución de temperatura en el interior de la placa

Método de Liebmann • En la práctica, las soluciones numéricas de la ecuación de Laplace involucran sistemas mucho más grandes • En el balance de energía de un nodo de la malla pueden haber hasta un máximo de cinco incógnitas  un número significativo de términos es cero • Por esta razón, se prefiere usar métodos aproximados para la solución del sistema de ecuaciones resultante • El método de Liebmann es un método para resolver EDP que utiliza el método de Gauss-Siedel para resolver el sistema de ecuaciones algebraicas lineales

Método de Liebmann • La ecuación para cada incógnita es, esta se resuelve de manera iterativa desde j = 1 a n, y de i = 1 a m • Como el sistema de ecuaciones es diagonalmente dominante, este procedimiento converge finalmente a una solución estable • Se puede usar sobrerrelajación para acelerar la razón de convergencia, aplicando la siguiente fórmula después de cada iteración • Criterio de paro s: error esperado

Condiciones en la frontera de Neumann • Otra condición en la frontera comúnmente utilizada, en lugar de fijar un valor constante para la variable dependiente, es el caso cuando la derivada esta dada (tasa de variación de la variable dependiente en la frontera) • Esta condición es conocida como condición en la frontera de Neumann • Para el caso de la placa calentada, equivale a especificar el flujo de calor en la frontera • Un ejemplo es cuando un extremo de la placa está aislado, en este caso la derivada es cero (condición en la frontera natural) • Otro podría ser cuando se especifica el flujo de calor, ya sea por radiación o conducción, en una frontera

0, j+1 -1, j 1, j 0, j 0, j-1 Condiciones en la frontera de Neumann • Supongamos que se especifica una condición de Neumann en la frontera izquierda de la placa, la ecuación de balance de energía en un punto de dicha frontera es • Se usa un punto imaginario fuera de la placa, que permite especificar la condición de frontera de la derivada • Sustituyendo Estas condiciones generan ecuaciones adicionales para caracterizar a los nodos frontera a los cuales se especifican las derivadas

Caliente Frio Diferencias finitas: ecuaciones parabólicas • Las ecuaciones parabólicas se emplean para caracterizar problemas dependientes del tiempo y el espacio ECUACIÓN DE CONDUCCIÓN DE CALOR • Se puede usar la conservación de calor para desarrollar un balance de energía en un elemento diferencial de una barra larga y delgada aislada, considerando la cantidad de calor que se almacena en un periodo de tiempo Δt Dividiendo entre el volumen Tomando el límite Sustituyendo la Ley de Fourier

Diferencias finitas: ecuaciones parabólicas • Las EDP parabólicas pueden ser resueltas sustituyendo las derivadas parciales por las diferencias divididas finitas • Sin embargo, ahora hay que considerar cambios en el tiempo así como en el espacio • Mientras las ecuaciones elípticas están acotadas en todas las dimensiones, las parabólicas están temporalmente abiertas en los extremos • Existen dos aproximaciones fundamentales para la solución de EDP parabólicas: • Esquema explícito • Esquema implícito

Métodos explícitos • La ecuación de conducción de calor requiere aproximaciones para la segunda derivada en el espacio y para la primera derivada en el tiempo • Sustituyendo Error de O[Δx2] Error de O[Δt]

Convergencia y estabilidad de los métodos explícitos • Convergencia: significa que conforme Δx y Δt tienden a cero, los resultados de la técnica por diferencias finitas se aproximan a la solución verdadera • Estabilidad: significa que los errores en cualquier etapa del cálculo no son amplificados, sino que son atenuados conforme el cálculo avanza • Se puede demostrar que el método explícito es convergente y estable si  < 1/2, o • Si   1/2  la solución oscila • Si   1/4  la solución no oscila • Si   1/6  los errores por truncamiento se minimizan

Métodos implícitos • Los métodos implícitos superan los problemas de estabilidad que presentan los métodos explícitos • Para la forma explícita, aproximamos la derivada espacial en el nivel de tiempo l • En los métodos implícitos, la derivada espacial es aproximada en un nivel de tiempo l+1 Error de O[Δx2] Esta ecuación se aplica en todos los nodos, excepto en el primero y en el último, los cuales deben ser modificados para contener las condiciones en la frontera

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