Véletlen logikai hálózatok

1. Véletlen logikai hálózatok

2. Bevezető • Logikai változó:Bináris változó. Két lehetséges értéke van: 0 és 1, néha ±1 {σ1, σ2, . . . , σN}, σi : {0,1}, i = 1,2, . . . ,N • Logikai függvény:{0,1}K→ {0,1} • Példa: ÉS, VAGY függvények • Logikai hálózat: Logikai függvények egy halmaza, amely kapcσolatban áll N logikai változóval. σzemléleteσen egy irányított gráfot (határoz meg) határoz meg.

3. Ellenőrző (Kontroll) elemek: Olyan σj1(i) , σj2(i) , . . ., σjKi(i) logikai változók, amelyek meghatározzák, hogy σi milyen értéket vesz föl a következő időpontban: σj(t+1) = fi(σj1(i) (t), σj2(i) t), ..., σjK(i) (t)) . f: logikai függvény • Időfüggés: Az idő definit diszkrét: σi = σi(t +1) t = 1,2, … • Rendszer állapota:Σt = {σ1(t), σ2(t), . . . , σN(t) egy t időpontban • N dimenziós vektor, • Ω = 2N: konfigurációk száma • 0 < Σt < 2N

4. Két példa

5. Példa: • N=4 • σ1(t +1) –t a σ2(t), σ3(t) és σ4(t) határozza meg (K = 3). • σ2 ellenőrző elemei: σ1 és σ3 (K = 2). • σ4 konektivitása σK= 1.

6. Modell definíció • 1. Konnektivitás (Connectivity): Ki az i. elem (változó) mennyi változóval van kapcsolatban.Várható értéke (átlag): Ki = K, i=1,2,…N • 2. Linkages, Kontroll elemek • 3. „Evolúciós szabály” : Logikai függvények létrehozása, melyek egyértelműen meghatározzák σ1(t +1) –tσj1(i) (t), σj2(i) t), ..., σjK(i) (t) - ből

7. Coupling functions • Logikai függvények: fi s {σj1(i) , σj2(i) , ..., σjK(i)}  σi- Argumentumainak a száma: 2K- Adott K-hoz tartozó ~ száma: • Típusai • Egységes disztribúció (Uniform distribution) • „Mágneses egyoldalúság” (Magnetization bias)A függvény találati valószínűsége p ha a kimenet 0 és 1-p ha a kimenet 1 • Erő függvények (Forcing Functions)A függvény értéke meghatározott, mikor egy argumentuma (m=1,…,K) egy adott specifikus érték (σm = 0) • Additív függvények

8. Páros függvények osztályai(Classification of coupling functions) • K konnektivitás szerint: • K=0 Két konstans függvény: f = 1 , f = 0 • K=1  • K=2  4 osztály jelenik meg f(σ1, σ2) • A: konstans függvények • B1: Teljes irányító függvény, ahol egy argumentum meghatározza a kimenetet • B2: Normál irányító függvény • C: Nem irányító függvények (reverzibilis függvények)

9. N-K hálózat - =Kauffman hálózat vagy Erdős – Rényi véletlen gráf z := átlagos fokszám p := összekötési valószínűségmegj.: az élek száma |E| = Nz/2 - N logikai váltózó pontosan K másik véletlenül választott logikai változó hat egymásra - Egy függvény véletlenül kiválasztja az összes lehetséges elemet a logikai függvények közül, K logikai inputra képezi le őket, majd ebből áll elő a logikai kimenet.

10. Modell megvalósítás • Egyidejű frissítés:Az összes (σi)változó egyszerre frissül • Nem egyidejű frissítés:Csak egy változó frissül minden lépésben. Ez a változó lehet véletlenül kiválasztott vagy előre meghatározott ~ok típusai: • Quenched modell: Kezdteben csak egy függvényt választunk ki és tartunk meg az idő folyamán • Annealed modell • Genetikai algoritmus

11. Körök és attraktorok • Trajketóriát bármilyen dinamikai rendszer tud generálni (állandó szabályokkal) • Quenched modell  Körkörös viselkedés • Kör trajektória Egy fixpont • Példa: N=3, K=2, Σtegyidejűleg frissül

12. A logikai hálózat dinamikája • Két különböző kezdő állapot • Hamming distance (Két állapot közötti távolság) • Példa: • D(t)1-2=4 • D(t)1-3=4

13. Normált átfedés: két különböző konfiguráció között van, definíciója: • Információs veszteség két különböző kezdő állapot között: • Veszteség (Összes információ elvész, ami a kezdeti állapotban volt) • Megtartás(Emlékezik rá)

14. Információ áramlás rövid idő alatt • Kérdés: Hogyan lehet rövid idő alatt üzenni? • Vizsgáljuk meg a „távolságot”: D(t) ≈ D(0)exp(λt), λ: Lyapunov exponens 0< D(0) << N • Lyapunov exponenstől függően 3 tartomány jön létre • λ > 0: Kaotikius: D exponenciálisan növekszik • λ < 0: Fagyott: Két közeli trajketória közelít egymáshoz • λ =0: Kritikus

15. Fázis diagram • N-K modellben valamennyi logikai változó függ valamennyi logikai változótól. Ezért változik a „távolság” definíciója: • Kaotikus: K>2 • Fagyott: K<2 • Kritikus: K=2

16. Bifurkáció fi értéke 0 p valószínűséggel és 1 1-p valószínűséggel (sokszor p = 1/2)

17. Átfedés időfejlődése • Átfedés két állapot között: a(t)=1-D(t)/N, • Annak a valószínűsége, hogy az fi argumentum-ai megegyeznek két konfigurációban: ρK = [a(t)]K • Ahogy láttuk a Hamming distance esetén 2p(1-p) valószínűségű, hogy két érték eltér a következő lépésben • Ugyanígy egy elem eltérési valószínűsége a többi elemetől Σt és Σ~t-ben: 1- ρK , és (1- ρK)2p(1-p), hogy mindegyik eltér

19. Bifurkáció

20. A Kauffmann – hálózat merevsége • Kaotikus tartomány K>Kc:A két trajektória kezdőpontja nagyon közel van egymáshoz • Figure 3.6: Phase diagram for the N-K model. The curve separating the chaotic • from the ordered (frozen) phase is Kc =[2p(1−p)]−1. The insets are simulations • for N = 50 networks with K = 3 and p = 0.60 (chaotic phase), p = 0.79 (on the • critical line) and p = 0.90 (frozen phase). The site-index runs horizontal, the • time vertical. Notice the fluctuations for p = 0.79 (from Luque & Sole, 2000). • Fagyott tartomány K<Kc

21. Rács kontra Véletlen hálózat • Rács: - Nincs információ vesztés, ha a*<1 és K>0 • Lehetőség Numerikus Szimulációk készítéséhez • „Linkages” véges skálájú  A hálózat sem végtelen

22. Skálafüggetlen hálózatok

25. Fázis diagram a skála független hálózatról • Az átlagos konnektivitás divergens , ha γ < 2 és a rendszer kaotikus minden p-re

26. Boole dinamika

28. A Kauffman hálózat

31. K = N • Teljes • Megpróbáljuk meghatározni a körök számát és hosszát átlagosan Véletlen lépések: qt: Annak a valószínűsége, hogy a trajektória nem zárt

33. <Nc(L)> annak a valószínűsége, hogy rendszer tartalmaz L hosszúságú kört: Körök átlagos száma: Körök átlagos hossza:

34. Alkalmazások • Gén állomány feltérképezése • Sejtek csoportba sorolása Gén állomány hálózat Zöld pöttyök Ω – nak az elemei (állomásai) alkotnak egy (biológiai) attraktort