Logika 6. Logikai következtetések

1. Logika6. Logikai következtetések Miskolci Egyetem Állam- és Jogtudományi Kar Jogelméleti és Jogszociológiai Tanszék 2011. március 17.

2. Érvényes következtetések, következményreláció igaz premisszák  a logika szabályainak betartása esetén szükségszerűen • igaz konklúzió • Az érvényességet kizárólag 1. az állítások logikai szerkezete és 2. a logikai szavak jelentése biztosítja • Az állítások között feltárható viszony, kapcsolat 1. nem maguk az állítások között, hanem 2. az állítások – formulákkal, sémákkal kifejezett – logikai szerkezete között áll fenn. • Logikai következtetés: állítások logikai szerkezete közötti olyan viszony feltárása, amelyben az egyik állítás a többi logikai következményeként szerepel  ezt a viszonyt következményrelációnak nevezzük: P K, {A1, A2, …, An}  B

3. Érvényes következtetések A következtetési séma (mint formulák nem üres halmaza) • kielégíthető: lehetséges a benne szereplő paraméterek (betűjelek) olyan interpretálása, hogy a sémát alkotó formulák együttesen igazak legyenek • kielégíthetetlen: nem lehetséges ilyen interpretáció; logikai törvény zárja ki a kielégíthetőséget  logikai lehetetlenség, logikai ellentmondáson alapul • releváns: a konklúzióban szereplő valamennyi nem-logikai alkatrész paramétere (erős relevancia), de legalább egyikük (gyenge relevancia) előfordul a premisszák valamelyikében  tényleges kapcsolatteremtés: az a konklúzió azoknak a premisszáknak a következménye • érvényes: a premisszák igazsága – a logikai szerkezet és a logikai szavak jelentése folytán – szükségszerűen eredményezi a konklúzió igazságát  a premisszák igazsága és a konklúzió hamissága együttesen logikai lehetetlenség

4. Nevezetes következtetési formák • Elvileg végtelen számú következtetési forma eredményezhet érvényes következtetést • Néhányat korábban már említettünk: • logikai igazság: Abármely premissza mellett érvényes következtetéspl.: (p  p), (p  p),  (p & p) • logikai ekvivalencia: A Ba két formula kölcsönösen egymás következménye:A  B és A  B, azaz A B • Vannak a hagyomány által nevesített következtetési formák – középkori elnevezésekkel (ezeket vesszük sorra a következő oldalakon) • A következtetési sémákban formulák betűjelei szerepelnek a következtetések a formulák tetszőleges logikai sémákkal való behelyettesítésük esetén is érvényesek

5. Nevezetes következtetési formák • Modus ponendo ponens – „állítva állító mód”(T41) {A B, A}  BIgaz kondicionálisból az igaz előtagot leválasztva a következtetésként fennmaradó utótag is igaz.{„Ha esik az eső, sáros a mező.”, „Esik az eső.”}  „Sáros a mező.” • Modus tollendo tollens – „tagadva tagadó mód”(T42) {A B, B}  AIgaz kondicionálisból a hamis utótagot leválasztva a következtetésként fennmaradó előtag is hamis. {„Ha esik az eső, sáros a mező.”, „Nem sáros a mező.”} „Nem esik az eső.”

6. Nevezetes következtetési formák • Modus ponendo tollens – „állítva tagadó mód”(T43) {(A& B), A} B {A B, A}  B Állító előtagból és tagadó utótagból álló igaz kondicionálisból az állító előtagot leválasztva a következtetésként fennmaradó utótag tagadó.{„Nem igaz, hogy (esik az eső és süt a Nap).”(azaz: „Ha esik az eső, akkor nem süt a Nap.”),„Esik az eső.”} „Nem süt a Nap.”

7. Nevezetes következtetési formák • Modus tollendo ponens – „tagadva állító mód”(T44) {AV B, A} B {A B, A}  B Tagadó előtagból és állító utótagból álló igaz kondicionálisból a tagadó előtagot leválasztva a következtetésként fennmaradó utótag állító.{„Vagy esik az eső, vagy süt a Nap.”(azaz: „Ha nem esik az eső, akkor süt a Nap.”),„Nem esik az eső.”} „Süt a Nap.”

8. Nevezetes következtetési formák • Tiszta hipotetikus szillogizmus: olyan kétpremisszás következtetési forma, amelyek tisztán csak feltételes állításokat (hipotetikus állításokat) tartalmaz(T45) {A  B, B  C}  A  C(ez az ún. láncszabály, vagy tranzitív tulajdonság){„Ha esik az eső, sáros a mező.”,„Ha sáros a mező, haragszik a katona.”} „Ha esik az eső, haragszik a katona.”

9. Kategorikus szillogizmusok { (G, H), (F, G) }  (F,H) Példa: „Ha minden emberhalandó, és minden görögember, akkor az összes göröghalandó.” felső tétel (premissa maior) alsó tétel (premissa minor) konklúzió

10. Kategorikus szillogizmusok • Kategorikus szillogizmus: olyan kétpremisszás következtetési forma, amelyek kategorikus állításokat (a, e, i, o) tartalmaz { (G, H), (F, G) }  (F,H) • terminusok: a kategorikus állításokat felépítő predikátumok (F, G, H) • Az egyik premisszában H és G terminusok, közülük H a konklúzió állítmánya felső tétel (premissa maior) • A másik premisszában G és F terminusok, közülük F a konklúzió alanya  alsó tétel (premissa minor) • Kapcsolatteremtő G, az ún. középfogalom (tertiummedium)

11. Kategorikus szillogizmusok Lehet több lehetőség is, ezek csak példák! Módozatok: aaa : „Minden ember halandó. – Minden ember férfi – Minden férfi halandó.” eae : „Egy hüllő sem emlős. – Minden kígyó hüllő. – Egy kígyó sem emlős.” aii : „Minden tigris ragadozó. – Némely állat tigris. – Némely állat ragadozó.”

12. Kategorikus szillogizmusok • A szillogizmus alakzatán a középső terminus helyzetének megadását értették A II. alakzatra egy példa: „Minden becsületes ember fizeti az adókat. – XY nem fizeti az adókat. – XY nem becsületes ember.” felsőtétel (premissa maior) alsótétel (premissa minor) alany – állítmány

13. Kategorikus szillogizmusok A legegyszerűbb és legfontosabb szillogizmus az I. alakzat aaa (Barbara) módozata: „Ha minden emberhalandó, és minden görögember, akkor az összes göröghalandó.” { (G, H), (F, G) }  (F, H) { x.[G(x)  H(x)], x.[F(x)  G(x)] }  x.[F(x)  H(x)] ez a kvantifikációs láncszabály

14. Szillogizmusok és a JOG • A szillogizmusok alapja és modellje: a kategorikus szillogizmusok • Számunkra (= a jog számára) a hipotetikus szillogizmusok bírnak kiemelkedő jelentőséggel • A tiszta hipotetikus szillogizmus: mindkét premisszája és konklúziója is hipotetikus állítást tartalmaz(ezt vizsgáltuk a mai órán már: 8. slide)„Ha a gyerek lázas, akkor beteg. – Ha beteg, akkor orvost kell hozzá hívni. – Ha a gyerek lázas, akkor orvost kell hozzá hívni.” • Vagy pedig felső tétele tartalmaz hipotetikus állítást„Ha a lélek mindig mozog, akkor a lélek halhatatlan. – A lélek mindig mozog. – Tehát a lélek halhatatlan.”  a jogalkalmazás logikai szerkezete „Ha valaki (Aki) másnak vétkesen és jogellenesen kárt okoz, köteles azt megtéríteni. [normaszöveg, törvényi tényállás] – XY vétkesen és jogellenesen kárt okozott másnak. [történeti tényállás] – Tehát XY köteles a kárt megtéríteni. [jogalkalmazás]”

15. Következtetések ellenőrzéseAz analitikai táblázat módszere • A premisszákban és a konklúzióban szereplő igazságfunktorok egybevetésén alapuló módszer • A következtetés akkor érvényes, ha az igaz premisszákból és a hamis/negált konklúzióból álló formulahalmaz nem elégíthető ki (indirekt bizonyítás) • A módszer alkalmazása: • Logikai elemzés: a logikai szerkezet feltárása, betűjelekből és logikai jelekből álló formulákban való kifejezése • Az alternatív igazságfelvételeket sorra véve kell levezetni, hogy alkot-e logikai ellentmondást a premisszákkal a negált konklúzió – ha igen, akkor a konklúzió helyes, a következtetés érvényes

16. Következtetések ellenőrzéseAz analitikai táblázat módszere • Az analitikai táblázat módszerét mi is alkalmaztuk már, igaz egyszerűsített formában (erősebb alkalmazására nem is lesz szükségünk), logikai ekvivalenciákra (ahol, ha az egyik oldal premissza, akkor a másik oldal konklúzió – és természetesen megfordítva) • Mindkét oldal alternatív igazságfelvételeit sorra véve vezettük le, mutattuk meg a két oldal igazságértékeinek megfelelő egybeeséseit (direkt bizonyítás) (tehát mi a konklúziót nem negáltuk, és azt vezettük le, mutattuk meg, hogy nincs logikai ellentmondás) • A konjunkció és az alternáció duálisainál láttuk például, hogy: p V q  (p & q)

17. Következtetések ellenőrzéseAz analitikai táblázat módszere • Nézzünk meg egy olyan esetet, ahol a felírt/feltételezett ekvivalenciánk nem állja ki az analitikai táblázat módszerével történő ellenőrzés próbáját! • p V q p  q • Itt mindkét oldal alternatív igazságfelvételeit sorra véve igyekszünk megmutatni a két oldal igazságértékeinek megfelelő egybeeséseit (direkt bizonyítás), miközben logikai ellentmondásra jutunk. • A 4. előadás 11. diáján megtalálható a fenti törvény érvényes módosítása (T18), és annak táblázatos ellenőrzése/igazolása is.

18. Következtetések ellenőrzéseVenn-diagramok módszere • A logika és a halmazelmélet egymásra vonatkoztatása • Az elkészítendő ábrán egy négyzet jelképezi a tárgyalási univerzumot, az azon belül elhelyezett körök/oválisok a formulákban szereplő predikátumok terjedelmét. • Az egymást metsző alakzatok által kimetszett mezők jelzik a logikai kapcsolatokat (pl. a közös tartomány a predikátumok konjunkcióját) – a logikai műveletek tárgyalásánál (3. előadás)mi is minden esetben megnéztük az egyes műveletek halmaz-ábráit, Venn-diagramjait is • Ellenőrzés/bizonyítás menete: • Ábrázoljuk ilyen módon a premisszákat, és előáll a konklúzió ábrája, vagy • ábrázoljuk ekként a premisszákat és a konklúziót is, és ugyanazt az ábrát kapjuk.

19. Következtetések ellenőrzéseVenn-diagramok módszere • Nézzük meg most is p V q  (p & q) ellenőrzését! Mind a két módszert érdemes egyszerűbb logikai törvények, logikai következtetések ellenőrzésére/igazolására önállóan is kipróbálni.