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PLANO CARTESIANO

PLANO CARTESIANO. Produção: Patrizia Lovatti. Representando pares ordenados de reais. Nº do aluno. Nota. 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 8. 9. 10. 6. 7. 6. 5. 7. 8. 4. O professor de Matemática construiu um quadro com as notas de seus alunos, na

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Presentation Transcript

  1. PLANO CARTESIANO Produção: Patrizia Lovatti

  2. Representando pares ordenados de reais

  3. Nº do aluno Nota 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 8 9 10 6 7 6 5 7 8 4 O professor de Matemática construiu um quadro com as notas de seus alunos, na última prova que ele aplicou.

  4. Nº do aluno 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Nota 8 9 10 6 7 6 5 7 8 4 Os dados desse quadro podem ser representados, também, pelos pares ordenados

  5. Nº do aluno Nota Os dados desse quadro podem ser representados, também, pelos pares ordenados 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 8 9 10 6 7 6 5 7 8 4 (1,8)

  6. Nº do aluno Nota Os dados desse quadro podem ser representados, também, pelos pares ordenados 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 8 9 10 6 7 6 5 7 8 4 (1,8) (2,9)

  7. Nº do aluno Nota Os dados desse quadro podem ser representados, também, pelos pares ordenados 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 8 9 10 6 7 6 5 7 8 4 (3,10) (1,8) (2,9)

  8. Nº do aluno Nota Os dados desse quadro podem ser representados, também, pelos pares ordenados 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 8 9 10 6 7 6 5 7 8 4 (3,10) (4,6) (1,8) (2,9)

  9. Nº do aluno Nota Os dados desse quadro podem ser representados, também, pelos pares ordenados 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 8 9 10 6 7 6 5 7 8 4 (3,10) (4,6) (1,8) (2,9) (5,7)

  10. Nº do aluno Nota Os dados desse quadro podem ser representados, também, pelos pares ordenados 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 8 9 10 6 7 6 5 7 8 4 (3,10) (4,6) (1,8) (2,9) (6,6) (5,7)

  11. Nº do aluno Nota Os dados desse quadro podem ser representados, também, pelos pares ordenados 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 8 9 10 6 7 6 5 7 8 4 (3,10) (4,6) (1,8) (2,9) (6,6) (7,5) (5,7)

  12. Nº do aluno Nota Os dados desse quadro podem ser representados, também, pelos pares ordenados 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 8 9 10 6 7 6 5 7 8 4 (3,10) (4,6) (1,8) (2,9) (6,6) (7,5) (8,7) (5,7)

  13. Nº do aluno Nota Os dados desse quadro podem ser representados, também, pelos pares ordenados 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 8 9 10 6 7 6 5 7 8 4 (3,10) (4,6) (1,8) (2,9) (6,6) (7,5) (8,7) (5,7) (9,8)

  14. Nº do aluno Nota Os dados desse quadro podem ser representados, também, pelos pares ordenados 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 8 9 10 6 7 6 5 7 8 4 (3,10) (4,6) (1,8) (2,9) (6,6) (7,5) (8,7) (5,7) (9,8) (10,4)

  15. Nessa representação, convencionamos que o 1º elemento de cada par indica o número do aluno e o 2º elemento, a nota que ele tirou. Os pares (5,7) e (7,5), por exemplo, são diferentes. Apesar de serem constituídos pelos mesmos elementos, eles estão dispostos numa ordem diferente.

  16. Em um par ordenado qualquer (a,b), chamamos a - abscissa b - ordenada a e b - coordenadas No par ordenado (5,7), por exemplo, a abscissa é 5, a ordenada é 7, e as coordenadas são 5 e 7.

  17. Qual a condição para que os pares ordenados (a,b) e (b,a) sejam iguais? R: a deve ser igual a b

  18. Pode ocorrer a igualdade (3, x+y) = (x-y,-5) ? R: Sim

  19. Para que valores de x e y ? R: Para x = -1 e y = -4

  20. 3 = x-y y = x-3 x+y=-5 Substitui-se na 2ª: y=-1-3 x+(x-3)=-5 y=-4 2x=-2 x=-1 Observe: (3, x+y) = (x-y,-5)

  21. -3 e R e 2 e R (-3,2) e R2 Vamos estudar agora, de modo especial, o conjunto dos pares ordenados de nos reais. Ele é representado por R2 e pode ser definido assim: R2 = {(x,y); x e R e y e R} Por exemplo,

  22. Você já sabe que os nos reais podem ser associados a pontos de uma reta - a reta real ou eixo real. Os pares ordenados de números reais podem,também, ser associados a pontos. Essa correspondência se dá por meio do plano cartesiano. O plano cartesiano é determinado por dois eixos perpendiculares, que se interceptam na origem O de cada um deles.

  23. y Ordenadas b Abscissas . x O (0,0) a Origem . P (a,b) O eixo horizontal (x) é o eixo das abscissas, orientado para a direita; e o eixo vertical (y) é o eixo das ordenadas, orientado para cima.

  24. A (-7,4) D (9/2,1) G (p,5) B (-3,-2) E (7,0) H (-3,0) C (2,-1) F (0,3) I (-6,-7/2) Observe os pares ordenados abaixo. Na figura seguinte, vamos marcar os pontos correspondentes a esses pares ordenados.

  25. . . y G . A F . . . D . H . x E C . B I A (-7,4) D (9/2,1) G (p,5) B (-3,-2) E (7,0) H (-3,0) C (2,-1) F (0,3) I (-6,-7/2)

  26. y x Observe que os pontos do eixo x têm ordenada nula (E e H) e os pontos do eixo y têm abscissa nula (F). . . G . A F . . . D . H . E C . B I

  27. y x Os eixos coordenados dividem o plano em quatro regiões, chamadas quadrantes. 2º quadrante (-,+) 1º quadrante (+,+) 3º quadrante (-,-) 4º quadrante (+,-)

  28. A cada ponto do plano está associado um único par ordenado de reais; A cada par ordenado de reais está associado um único ponto do plano. O plano cartesiano estabelece, portanto, uma correspondência entre ponto e par ordenado de reais, de forma que

  29. (-a,b)=(-1,2) 2º Q (-a,b)=(-1,-2) 3º Q (-a,b)=(1,2) 1º Q (-a,b)=(1,-2) 4º Q Sendo a e b nos reais não-nulos, em que quadrante está o ponto (-a,b) ? R: Não é possível saber. Observe os quatro exemplos: a=1 e b=2 a=1 e b=-2 a=-1 e b=2 a=-1 e b=-2

  30. Podem dois pares ordenados distintos serem representados pelo mesmo ponto do plano cartesiano ? R: Não

  31. INTRODUÇÃO ÀS FUNÇÕES No universo as coisas dependem umas das outras. É essa relação de dependência que faz do mundo um organismo vivo, dinâmico, cujos elementos se comunicam, se relacionam e interagem continuamente.

  32. Estudar, representar e analisar as relações de dependência entre as grandezas é o objetivo básico da Ciência, desde os seus primeiros momentos. GRANDEZAS Velocidade Altura Peso

  33. Quando se solta uma pedra, ela cai. Por que ela cai? O que provoca sua queda? O que ocorre com sua velocidade durante a queda? E ao se soltar uma pedra mais pesada? Muda alguma coisa? E se a mesma experiência fosse feita na superfície da Lua?

  34. Ao estudar um fenômeno natural, a preocupação básica da Ciência é descobrir os fatores que nele influem e analisar de que forma essa influência se dá.

  35. Nesse processo, as variáveis envolvidas são geralmente relacionadas por meio de fórmulas, tabelas ou gráficos.

  36. y -2 x 1 -3 0 2 0 4 8 6 y -2 x Ex.1: Fórmula: y = 2x + 4 . Tabela: Gráfico: Função de 1º grau: Reta . . . .

  37. y 2 x 1 -2 0 -1 5 1 2 2 y 5 x Ex.2: Fórmula: y = x2 + 1 Tabela: Gráfico: Função de 2º grau: Parábola . . . . .

  38. 1 6 -2 0 4 0 2 8 -3 -2 Domínio Contra-domínio Função – uma lei Fórmula: y = 2x + 4

  39. Domínio Contra-domínio Função – representação f: A B

  40. Ex.: Dados os conjuntos A={1;2;3} e B={2;4;6;8} e a função f: A B representada por f(x)=2x. Observe o diagrama que representa f. 1 2 8 2 4 3 6 E a imagem?

  41. 1 2 8 2 4 3 6 Imagem E a imagem? Domínio = A={1;2;3} Contra-domínio = B={2;4;6;8} Imagem = {2;4;6}

  42. Função – uma máquina

  43. 2 • 7 Máquina de dobrar 2 4 14

  44. O que é? • É um modo especial de relacionar grandezas. • Nesse tipo de relação, duas grandezas, x e y, • se relacionam de tal forma que: • x pode assumir qualquer valor em um conjunto • A dado; • a cada valor de x corresponde um único valor • de y em um dado conjunto B; • os valores que y assume dependem dos valores • assumidos por x.

  45. x1 y1 x2 y2 x3 y3 x1 y1 x2 x3 y3 É função. É função.

  46. x1 y1 y2 x3 y3 x1 y1 x2 y2 x3 Não é função. Não é função.

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