ZEROS REAIS DE FUNÇÕES REAIS

ZEROS REAIS DE FUNÇÕES REAIS

-b + b2 – 4ac 2a x = PROBLEMA “determinar um número que somado ao seu quadrado é igual a 12”. x + x2 = 12 Equações como esta são de fácil solução pois, após um árduo trabalho, matemáticos já descobriram uma fórmula para resolve-la. Entretanto, equações como x6 + 2x – 1 = 0, não é possível resolver por meio de fórmula. (ainda não foi descoberta uma fórmula). Já existe fórmula para solução de equações do terceiro grau. Faça uma pesquisa na Internet.

r2 r3 r1 RAÍZES OU ZEROS DE UMA FUNÇÃO REAL Seja f(x) = 0 uma função com coeficientes reais, domínio R ou parte de R e contradomínio R ou parte de R. Tais funções são denominadas funções reais. Exemplo: f(x) = 6x + ln x2 é uma função real; f(x) = 3iz2 + 4z + 2i com i = -1 não é função real. Definição 1 – Dizemos que r é raiz ou zero da equação f(x) = 0 se f(r) = 0. Análise gráfica

DETERMINAÇÃO DE RAÍZES REAIS 1ª fase: - Localização ou isolamento das raízes. Nesta fase procura-se obter um intervalo que contenha a raiz. Usa-se um intervalo para cada raiz. 2ª fase: - Refinamento. Nesta fase, escolhida uma aproximação inicial no intervalo estabelecido na fase 1, melhora-se a aproximação por processo iterativo (usando a aproximação anterior) até que se obtenha uma raiz dentro da aproximação ou precisão prefixada.

x1 x3 x4 x2 x5 f(x4) < 0 f(x1) < 0 f(x2) > 0 f(x3) <0 f(x5) > 0 ISOLAMENTO DAS RAÍZES “se f(x) é uma função contínua no intervalo [a, b] e f(a).f(b) < 0 então existe pelo menos um valor r entre a e b que é zero de f(x)”. f(x1) . f(x2) < 0  existe pelo menos uma raiz entre x1 e x2. f(x3) . f(x4) > 0  não existe raiz. f(x2) . f(x5) > 0  existe um número par de raízes.

USANDO TABELAS f(x) = x3 – 8x + 6 Observando a tabela verifica-se que ocorre mudança de sinal nos intervalos [-4, -3], [0, 1] e [2, 3]. Como a função é polinomial do terceiro grau, teremos apenas 1 raiz em cada um dos intervalo. f(x) = 50x3 – 65x2 + 26x – 3. Observa-se na tabela apenas uma mudança de sinal no intervalo [0, 1]. Pode-se esperar que exista 1ou 3 raízes nesse intervalo.

0,31 0,554 Devido a incerteza, vamos analisar os intervalos onde a função é estritamente crescente ou decrescente. Para isso, podemos derivar a função e fazer uma análise da mesma. Derivando f(x) = 50x3 – 65x2 + 26x – 3. f’(x) = 150x2 – 130x + 26. Estudando a variação do sinal de f'(x):  = 1302 – 4.150.26 = 1300 x1  (130 + 36,05)/300 = 0,554 e x2 = (130 - 36,05)/300 = 0,31. Como, na derivada a > 0, teremos: f’(x) > 0 (função crescente) para x < 0,31 ou x > 0,554 e f’(x) < 0 (decrescente) para 0,31 < x < 0,554. Vamos completar a tabela com os valores de x e f(x) para 0,31 e 0,554. Da nova tabela pode-se concluir que existe uma raiz em cada um dos intervalos [0, 031], [0,31; 0,554] e [0,554; 1].

1 USANDO GRÁFICOS f(x) = 50x3 – 65x2 + 26x – 3 No intervalo [0, 1] existem três raízes.

MODIFICANDO A FUNÇÃO Uma equação do tipo f(x) = 0 pode ser escrita na forma f(x) = g(x) - h(x) = 0.Em conseqüência teremos g(x) = h(x). Construindo os gráficos de g(x) e h(x) em um mesmo sistema de eixos, as interseções dos dois gráficos fornecem as raízes de f(x). Seja, por exemplo: f(x) = x2 – 6x - ln (2x + 8). Fazendo g(x) = x2 – 6x (em azul) e h(x) = ln(2x + 8) (em vermelho), Teremos f(x) = g(x) – h(x).Fazendo f(x) = 0, g(x) = h(x). Analisando o gráfico observa-se que as curvas se interceptam nos intervalos [-1, 0] e [6, 7]. Existindo portanto, uma raiz em cada um dos intervalos.

MÉTODO DA BISSECÇÃO f(x) = x2 – 6x + 5,76 Tem uma raiz no intervalo [1, 2] e outra no intervalo [4, 5].

Vamos determinar a raiz no intervalo [1, 2]. Toma-se como primeira aproximação o ponto médio do intervalo [1, 2]. Raiz = 1,21875

3 - Observe intervalo onde está localizada a raiz a ser determinada. 2 7 Digite aqui: 2x - 6 Resolução da equação 2x = 6 1- Escreva a equação na forma f(x) = 0. (no caso 2x – 6 = 0) 2 – No construtor gráfico construa o gráfico de f(x). Usaremos o intervalo [2, 7]. Pode ser qualquer outro.

4 - Substitua as células C5 e E5 pelos limites do intervalo. 5 - Preencha a célula F5 com a fórmula da função. O “x” da equação é substituído pela Identificação da célula. No caso, C5. Na célula deve ser digitado: =2*C5 - 6 6 - Copie a célula F5 para as células G5 e H5. 7 - Copie as células F5, G5, H5 para as linhas seguintes até o final. 7 - Marque na célula K5 a precisão desejada. 8 - Se na coluna J for exibida a informação "raiz exata", não considerar as linhas seguintes. A raiz, dentro da precisão estabelecida é: 3,00. Como a precisão é 0,01, o resultado deve ser dado com duas casas decimais.

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