1 / 23

Aproxima ční a interpolační křivky

Aproxima ční a interpolační křivky. Interpolace. Křivka prochází přímo zadanými body. Interpolace polynomem. Lineární – 2 body Kvadratická – 3 body Polynom n-tého stupně – n+1 bodů. Lineární interpolace. Kvadratická interpolace. Interpolace polynomem 4 stupně. Interpolované body:

geona
Download Presentation

Aproxima ční a interpolační křivky

An Image/Link below is provided (as is) to download presentation Download Policy: Content on the Website is provided to you AS IS for your information and personal use and may not be sold / licensed / shared on other websites without getting consent from its author. Content is provided to you AS IS for your information and personal use only. Download presentation by click this link. While downloading, if for some reason you are not able to download a presentation, the publisher may have deleted the file from their server. During download, if you can't get a presentation, the file might be deleted by the publisher.

E N D

Presentation Transcript

  1. Aproximační a interpolační křivky

  2. Interpolace • Křivka prochází přímo zadanými body

  3. Interpolace polynomem • Lineární – 2 body • Kvadratická – 3 body • Polynom n-tého stupně – n+1 bodů

  4. Lineární interpolace

  5. Kvadratická interpolace

  6. Interpolace polynomem 4 stupně Interpolované body: (-2,4) (-1,0) (0,3) (1,1) (2,-5) Rovnice: 16a -8b +4c -2d + e = 4 a - b + c -d +e = -3 e = 3 a + b + c + d +e = 1 16a +8b +4c +2d +e =-5 Řešení: a=0.458 b=-0.75 c=-2.95 d=1.25 e=3 Funkce: 0.458*x^4-0.75*x^3-2.95*x^2+1.25*x+3

  7. Spline křivka • Křivka se skládá z úseků vyjádřených polynom nižšího stupně, než odpovídá počtu bodů. Křivky na sebe v hraničních bodech hladce navazují

  8. Lineární „spline“ • Polynomy prvního stupně. • V hraničních bodech na sebe navazují spojitě. • Není zaručena spojitost ani první derivace. • Česky se tomu říká lomená čára

  9. Kvadratický spline • Křivka jsou úseky parabol. • V hraničních bodech na sebe paraboly hladce navazují – mají spojitou první derivaci. • Další derivace nemusí být (a obvykle nejsou) spojité. • Je nejpoužívanější, pokud se řekne jen spline, myslí se obvykle kvadratický spline (viz AutoCAD)

  10. Kvadratický spline

  11. Spline křivky vyšších stupňů • Kubický – funkce po částech 3-tího stupně (kubika), zaručuje spojitost první a druhé derivace • Obecný (n-tého stupně), zaručuje spojitost (n-1). derivace.

  12. Aproximační křivky • Nemusí procházet přímo zadanými body. • Formálně lze za aproximační křivku považovat libovolnou křivku. • Problém je nalézt takové vyjádření, které bude • Jednoduché • Bude dostatečně dobře aproximovat danou křivku

  13. Aproximace metodou nejmenších čtverců • Zvolím typ funkce (obvykle polynom nižšího stupně, než by byl potřeba pro interpolaci bodů). • Vypočítám takové parametry, aby součet čtverců odchylek v zadaných bodech byl minimální. • ∑(yi-f(xi))2→ min

  14. Metoda nejmenších čtverců

  15. Bézierova aproximace (Bézierova křivka) • Aproximace polynomem daného stupně n-tý stupeň pro n+1 bodů P0,P1,…,Pn • Křivka prochází krajními body P0 a Pn • Tečna v počátečním bodě P0 je rovnoběžná s vektorem P0P1. • Tečna v koncovém bodě Pn je rovnoběžná s vektorem Pn-1 Pn • Celá křivka leží v konvexním obalu bodů P0, … ,Pn

  16. Pierre Ettiene Bézier (1910-1999)

  17. Vyjádření Bézierovy křivky

  18. Lineární Bézierova křivka • B(t) = (1-t).P0 + t.P1 • Parametrická rovnice úsečky

  19. Kvadratická Bézierova křivka • B(t) = (1-t)2P0 + 2t(1-t)P1 + t2P2

  20. Kubická Bézierova křivka B(t) = (1-t)3P0 + 3t(1-t)2P1 + 3t2(1-t)P2 + t3P3

  21. Bézierovy křivky vyšších řádů • Příklad vzorce pro křivku 5.stupně

  22. B-spline • Úseky Bézierových křivek nižších stupňů (obvykle kvadratické a kubické křivky) budou v krajních bodech na sebe hladce navázány.

  23. Příklad B spline křivky 6 řídících bodů → 2 paraboly (2 Bézierovy křivky 2, stupně)

More Related