¿Los conejos se comen a los lobos? Juan Pablo Pinasco

1. ¿Los conejos se comen a los lobos?Juan Pablo Pinasco Semana de la Matemática FCEyN – UBA - 2009

3. NO! • Los conejos comen zanahorias • Los lobos se comen a los conejos

4. Esto no nos dice mucho(es lógica pura) Queremos predecir fenómenos, anticiparnos, saber qué va a ocurrir.

5. ¿Qué pasó? ¿Por qué pasó? ¿Qué pasará si…? Describir los sucesos Entender las causas Saber cuánto influyen Modelos matemáticos

6. Fibonacci (1170-1250) Estudia cómo se reproduce una pareja de conejos, suponiendo que nunca mueren, y que a partir del segundo mes, cada pareja engendra otra pareja de conejos.

8. X(n)= cantidad de conejos en el mes n X(n+1) = X(n) + X(n-1) X(1) = 1 X(2) = 1

9. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 1 2 3 5 8 13 21 34 55 89 144 233 377 Mes n – Parejas de conejos

10. Crece muy rápido! X(n) es aproximadamente a × bn a = 1 / √5 y b ≈ 1,6 Crecimiento exponencial

11. ¿Es un buen modelo?

12. ¡NO! No se muere nadie Está todo muy pautado Muy poco real

13. Modelo nuevo X(n+1) = X(n) + tnat X(n) - tmort X(n) X(n+1) = (1 + tnat - tmort)X(n)

14. tnat = tasa de natalidad • tmort = tasa de mortalidad • Hacemos T = 1 + tnat - tmort y queda X(n+1) = T X(n)

15. Vamos a resolverla Sea X(1) la población inicial X(2) = T X(1) X(3) = T X(2) = T T X(1) = T2 X(1) X(4) = T X(3) = T T2 X(1) = T3 X(1) X(5) = T X(4) = T T3 X(1) = T4 X(1) … = … X(n+1) = T X(n) = T Tn-1 X(1) = Tn X(1)

16. Crece muy rápido! El crecimiento sigue siendo exponencial, es un mejor modelo. Pero.….

17. Thomas Malthus (1798) • La población crece en forma exponencial • Los recursos crecen en forma lineal

18. Crecimiento lineal: 2n • Crecimiento exponencial: 2n 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20… 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 512, 1024…

19. Entonces, el modelo anterior tiene que estar mal • Se observan crecimientos exponenciales • Pero los recursos no alcanzan (Un buen modelo tiene que considerar esto)

20. Pierre Francois Verhulst (1838) • Propone una ecuación nueva para el crecimiento • Crecimiento logístico X(n+1) = X(n) + r X(n) [C – X(n)] • C es la capacidad del medio

21. Mejor que antes, pero no del todo. Hay dos clases de soluciones: i) X(n) se acerca al valor C ii) X(n) oscila alrededor de C

23. El comportamiento es complicado. Uno no puede predecir con facilidad si la solución será del tipo i) o del tipo ii)

24. Volvamos a los conejos • Los navegantes europeos los “sembraron” entre 1500 y 1600. • En especial, en la Patagonia y en Australia. • Se transformaron en plaga para los cultivos.

25. ¿Qué se puede hacer con una especie molesta? ¿Introducir un predador (o un virus) para controlarla?

26. ¿Cómo controlar una especie con otra? Hay que entender cómo compiten entre sí

27. Lotka-Volterra (en diferencias) X(n+1) – X(n) = TX X(n) + a X(n) Y(n) Y(n+1) – Y(n) = TY Y(n) - b X(n) Y(n) • Es posible que ambas especies convivan, que se extinga una, o ambas.

28. Lotka y Volterra

29. Ciclo

30. Linces y conejos (i)

31. Pero…

33. ¿¡Las liebres se comen a los linces!?

34. NO!!

35. Pero no se sabe bien qué pasó. • Estos no son datos poblacionales, sino de capturas. • Ese período fue malo en términos de alimentos (aún para los humanos). • Fue un período de cambios políticos y sociales (se trazan los límites de los estados del norte de EEUU; se fija la frontera EEUU-Canadá; y se produce la última gran rebelión Sioux).

36. Buena noticia: Sigue habiendo problemas para investigar!

37. Gracias!

38. Imágenes y datos de: • J. Epstein, Non Linear Dynamics, Math. Biology and Social Science. • J.C. Bastos de Figueiredo, Sistemas Dinâmicos não Lineares em Biologia e Fisiologia • Adolfo Castillo Meza, Ecuaciones de Lotka Volterra • J. D. Murray, Mathematical Biology I. An Introduction. • M. Iskin da Silveira Costa, Introdução aos Modelos em Ecologia Populacional • M.E. Gilpin, Do hares eat lynx? Amer. Nat. 107:727-730, 1973.