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Estadística

Estadística. Tema 4: Introducción a Probabilidad. B. A. A. B. A B=. A B = S. Reglas de Probabilidad. Eventos Exclusivos o Mutuamente Excluyentes son aquellos cuyos conjuntos no se intersecan. Es decir que un dato no aparece en ambos a la vez.

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  1. Estadística Tema 4: Introducción a Probabilidad Tema 4: Introducción a Probabilidad

  2. B A A B AB= AB = S Reglas de Probabilidad • Eventos Exclusivos o Mutuamente Excluyentes son aquellos cuyos conjuntos no se intersecan. Es decir que un dato no aparece en ambos a la vez. • Eventos Exhaustivos son aquellos cuya Unión es el Espacio Muestral, es decir que cada dato aparece al menos en un evento. Tema 4: Introducción a Probabilidad

  3. Sistema exhaustivo y excluyente de sucesos A2 A1 Son una colección de sucesos A1, A2, A3,A4… Tales que la unión de todos ellos forman el espacio muestral, y sus intersecciones son disjuntas. A3 A4 Tema 4: Introducción a Probabilidad

  4. B A 0.24 0.06 0.14 Reglas de Probabilidad • Eventos independientes son aquellos que no afectan en el resultado del otro. • Cumplen la propiedad: P(AB) = P(A)P(B) P(A) = 0.20 P(B) = 0.30 P(AB) = 0.06 P(A)P(B) = 0.06 Nótese al graficar que: P(A) = 0.14+0.06 = 0.20. P(B) = 0.24+0.06 = 0.30. Tema 4: Introducción a Probabilidad

  5. Reglas de Probabilidad • Regla Complementaria. • P(A’) = P(S) - P(A) = 1 – P(A). • Regla Multiplicativa. Similar a Inclusión-Exclusión. • P(AB) = P(A)P(B|A) • P(AB) = P(B)P(A|B) • Esto significa que la probabilidad que sucedan A y B a la vez es equivalente a la probabilidad que suceda A por la probabilidad que suceda B, dado que ya sucedió A. • Qué sucede si A y B son Independientes? • Puesto que P(AB) = P(A)P(B) • Entonces P(A)P(B) = P(B)P(A|B) • Entonces P(A) = P(A|B) • Lo mismo sucede con P(B) = P(B|A). Tema 4: Introducción a Probabilidad

  6. Reglas de Probabilidad • Regla Aditiva. Similar a Inclusión-Exclusión. • P(AB) =P(A) +P(B) –P(AB). • Qué sucede si A y B son Exclusivos? • Puesto que P(AB) = P() = 0. • Entonces P(AB) =P(A) +P(B). • Qué sucede si A y B son Independientes? • Puesto que P(AB) = P(A)P(B) • Entonces P(AB) =P(A) +P(B) –P(A)P(B). • Qué sucede si A y B son Exhaustivos? • P(AB) = P(S) = 1. Tema 4: Introducción a Probabilidad

  7. E espacio muestral A B Probabilidad condicional • Despejemos de la Regla Multiplicativa. • Se llama probabilidad de A condicionada a B, o probabilidad de A sabiendo que sí sucede B. “tamaño” de uno respecto al otro Tema 4: Introducción a Probabilidad

  8. EJEMPLO: En una muestra de 1000 individuos elegidos al azar, entre una población de enfermos de osteoporosis 760 eran mujeres. • ¿Qué porcentaje de mujeres hay en la muestra? • 760/1000 = 0,76  76% • Si elegimos a un individuo de la población, qué probabilidad hay de que sea mujer: • Es equivalente a medir la proporción de mujeres  P(Mujer) = 0.76 • ¿Cuál es la probabilidad de que elegido un individuo de la población sea hombre: • P(Hombre) = P(Mujer’) = 1 -0,76 =0,24 Se sabe de otros estudios que entre los individuos con osteoporosis, aprox. la cuarta parte de las mujeres fuman y la tercera parte de los hombres. Elegimos a un individuo al azar de la población de enfermos. • ¿Qué probabilidad hay de que sea mujer fumadora? • P(Mujer ∩ Fumar) = P(Mujer) P(Fumar|Mujer) = 0,76 x ¼ = 0,19 • ¿Qué probabilidad hay de que sea un hombre fumador? • P(Hombre ∩ Fumar) = P(Hombre) P(Fumar|Hombre) = 0,24 x 1/3 = 0,08 Tema 4: Introducción a Probabilidad

  9. B Teorema de la probabilidad total A2 A1 Si conocemos la probabilidad de B en cada uno de los componentes de un sistema exhaustivo y excluyente de sucesos, entonces… … podemos calcular la probabilidad de B. A3 A4 P(B) = P(B∩A1) + P(B∩A2) + P( B∩A3) + ( B∩A4) =P(B|A1) P(A1) + P(B|A2) P(A2) + … Tema 4: Introducción a Probabilidad

  10. Ejemplo: En este aula el 70% de los alumnos son mujeres. De ellas el 10% son fumadoras. De los varones, son fumadores el 20%. • ¿Qué porcentaje de fumadores hay en total? • P(F) = P(F∩H) + P(F∩M) = P(F|H) P(H) + P(F|M) P(M)=0,2 x 0,3 + 0,1 x 0,7 = 0,13 =13% • ¿Se elije a un individuo al azar y resultafumador. ¿Cuál es la probabilidad de que sea un hombre? • P(H|F) = P(F ∩ H)/P(F) = P(F|H) P(H) / P(F) = 0x2 x 0,3 / 0,13 = 0,46 = 46% T. Prob. Total. Hombres y mujeres forman Un Sist. Exh. Y Excl. De sucesos Mujeres Varones T. Bayes fumadores Tema 4: Introducción a Probabilidad

  11. Fuente http://oasis.cisc-ug.org/letzhune/cisc/tutoriales/tercero/esta_04.ppt Tema 4: Introducción a Probabilidad

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