Dérivation implicite et Taux de variation instantané

1. Dérivation implicite etTaux de variation instantané Jacques Paradis Professeur

2. Plan de la rencontre • Taux de variation instantané (exemple) • Définition : équation implicite • Exemples d’équations implicites • Dérivées de base • Technique de dérivation implicite • Exemples de dérivation implicite

3. Taux de variation instantané (exemple) • Du haut d’un pont, une pierre est lancée verticalement vers le haut. La position de la pierre au-dessus du fleuve, en fonction du temps t, est donnée par x(t) = 58,8 + 19,6t – 4,9t2, où t est en secondes et x(t), en mètres. • a) Déterminer la fonction donnant la vitesse de la pierre en fonctiondu temps. • b) Déterminer la vitesse initiale de la pierre. • c) Déterminer le temps nécessaire pour que la pierre cesse de monter. • d) Calculer la vitesse de la pierre après 4 secondes. • e) Déterminer la hauteur maximale qu’atteindra la pierre.

4. Exemple (suite) • Du haut d’un pont, une pierre est lancée verticalement vers le haut. La position de la pierre au-dessus de la rivière , en fonction du temps t, est donnée par x(t) = 58,8 + 19,6t – 4,9t2, où t est en secondes et x(t), en mètres. • f) Déterminer la hauteur du pont. • g) Déterminer la distance totale parcourue par la balle. • h) Déterminer à quelle vitesse la balle touche à l’eau. • i) Déterminer la fonction donnant l’accélération de la pierre en fonction du temps. • k) Représenter la fonction x(t) sur [0 , 6].

5. Définition • Une équation impliciteest une relation entre différentes variables où une variable n’est pas explicitée en fonction des autres. • Équations explicites (habituelles): • y = x2 - 2x + 3 • x = 3y2 – y + 2 • Équations implicites: • x2 – 2xy + 2y3 = 5x2y • (y2 +x)/(y2 – 2xy) =0 • Remarque :Il faut noter qu’une équation implicite n’est pas nécessairement une fonction.

6. Exemples • Soit x2 – xy + y2 = 3 : • Soit x2 + y2 =25 • Soit x3 + y3 = 9xy • Soit x2 – y2 = 16 • Remarque : À l’époque de la création du calcul différentiel, presque toutes les expressions algébriques représentant des courbes prenaient la forme implicite.

7. Dérivées de base (1 de 2) • Dérivée de x par rapport à x : • Dérivée de y par rapport à y : • Dérivée de y par rapport à x : • Dérivée de x2 par rapport à x :

8. u = y2 dy/dx du/dx du/dy u u u’ v v v’ Dérivées de base (2 de 2) • Dérivée de y2 par rapport à y : • Dérivée de y2 par rapport à x : • Dérivée de x2 y2 par rapport à x :

9. Technique de dérivation implicite • Soit une équation implicite : F(x,y) = G(x,y) • Exemple : x2 + y2 = 3 + xy • Étape 1 : Calculer la dérivée des deux membres de l’équation • Exemple : • Étape 2 : Isoler dy/dx de l’équation obtenue à l’étape 1. • Exemple :

10. Exemple • Trouver la dérivée de y par rapport à x si x3 + y3 – 3xy2 = 4.

11. Exemple • Trouver l’équation de la tangente et de la normale à la courbe x2 +y2 = 25 au point (3 , -4). tangente normale

12. Exercice • Trouver la pente de la tangente au point (1 , 4) de la courbe y3 + x4 – x2y + y3 = 69.

13. Devoir • Exercices 5.1, page 189, nos 1 à 3, 4 (sauf d et e). • Exercices 4.4, page 161, nos 1 à 7 • Exercices récapitulatifs, page 164, nos 6 (f est facultatif), 7a, 7b, 7e et 15 • Réponses pour le no 6 : d) y’ = –x/y; e) y’ = • Réponse pour le no 7 e) • Exercices récapitulatifs, page 200, no 1 • Réponses : a)1 225 m; b) v(t)=-9,8t + 4,9 m/s et a(t) = -9,8 m/s2; c) 4,9 m/s, -14,7 m/s et -9,8m/s2; d) 1 226,225; e) -155 m/s.

14. Exemples de roses et de cardioïde