INTEGRALE (DI RIEMANN)PER FUNZIONI DI DUE E TRE VARIABILI SU RETTANGOLI

1. INTEGRALE (DI RIEMANN)PER FUNZIONI DI DUE E TRE VARIABILI SU RETTANGOLI

2. Argomenti della lezione • Definizione di integrali doppi e tripli secondo Riemann • Proprietà dell’integrale. Classi di funzioni integrabili

3. DEFINIZIONE DI INTEGRALI DOPPI E TRIPLI SECONDO RIEMANN

4. Introdurremo ora la nozione di integrale multiplo (secondo Riemann) in modo simile a quanto è stato fatto per funzioni di una sola variabile. I casi di funzioni di due o tre variabili sono quelli che c’interessano di più, ma, in via di principio, lo stesso metodo è applicabile a funzioni di più variabili reali (m > 3).

5. Sia dunque dato un intervallo o rettangolo chiusoI in R2 o R3 (più in generale in Rm). I = [a,b][c,d] inR2 I = [a,b][c,d]  [e,f] inR3 I = [a1,b1][a2,b2] … [am,bm] inRm

6. Diremo scomposizione (decomposizione) del rettangolo I un insieme finito di punti di suddivisione sugli assi x, y, z (in generale sugli assi x1, x2, .. , xm) disposti come segue a = x0 < x1 < … < xp = b c = y0 < y1 < … < yq = d e = z0 < z1 < … < zr = f

7. Alternativamente si può dire decomposizione di I la famiglia finita dei sottorettangoli Iijk =[xi-1,xi][yj-1,yj][zk-1,zk], i = 1, .. , p; j = 1, .. , q; k = 1, .. , r Qui abbiamo descritto la situazione in R3; successivamente rappresentiamo graficamente la situazione in R2

8. I y d = yq yq-1 I12 y2 y1 c = y0 x a = x0 x1 x2 xp-1 xp = b

9. Sia ora data una funzione a valori reali e limitata f: I  Rs R (s = 2, 3, .. , N) Poiché f è limitata su tutto I, lo sarà su ogni Iij(consideriamo da ora in poi, per maggiore semplicità, il caso bidimensionale).

10. Sia mij = inf {f(x,y): (x,y)T Iij} e sia Mij = sup {f(x,y): (x,y)T Iij} Indicheremo con la lettera  una decomposizione finita di I e con D(I) l’insieme di tutte le decomposizioni finite di I

11. å s ( f , ) m ( x x )( y y )  = - - i j i i j j 1 1 - - i , .., p 1 = j , .., q 1 = å S ( f , ) M ( x x )( y y )  = - - i j i i j j 1 1 - - , .., 1 i p = j ,.., q 1 = Data una decomposizione  di I, considereremo le somme inferiori relative alla funzione f e a  Diremo poi somme superiori

12. Come si è fatto nel caso di dimensione 1, si può introdurre fra le decomposizioni di I una relazione di “finezza”: 1 è più fine di 2 se, su ogni asse, i punti di suddivisione di 1 sono un soprainsieme dei punti di decomposizione di 2 .

13. Cioè, se 2 è individuata dai punti di suddivisione sull’asse x e y rispettivamente {a = x”0 < x”1 < … < x”p” = b} e {c = y”0 < y”1 < … < y”q” = d} , mentre 1 è individuata da {a = x’0 < x’1 < … < x’p’ = b} e {c = y’0 < y’1 < … < y’q’ = d}, diremo che 2 è meno fine di 1 (e scriveremo 2 1 e 1  2) se

14. {a = x”0 < x”1 < … < x”p” = b}   {a = x’0 < x’1 < … < x’p’ = b} e {c = y”0 < y”1 < … < y”q” = d}   {c = y’0 < y’1 < … < y’q’ = d} La relazione introdotta è una relazione d’ordine tra decomposizioni di I, che è un ordine parziale. Infatti esistono decomposizioni inconfrontabili

16. Le due decomposizioni precedenti sono inconfrontabili; nessuna è più fine dell’altra Si verifica, come nel caso unidimensionale, che date due decomposizioni 1 e 2 ne esiste una  che è più fine di entrambe.

17. Basta prendere quella che ha, su ogni asse, l’unione dei punti di decomposizione di 1 e 2. Inoltre, se 1  2 si verifica che s(f, 1) ≥ s(f, 2) e S(f, 1) ≤ S(f, 2) Questo fatto ci permette di riconoscere che le due classi delle somme inferiori e superiori sono separate:

18. Cioè, per ogni 1 e 2 in D(I), vale s(f, 1) ≤ S(f, 2) Infatti è ovvio che per ogni  data sia s(f,) ≤ S(f,) Date poi 1 e 2 e detta  una decomposizione più fine di entrambe, si ha s(f,1) ≤ s(f,) ≤ S(f,) ≤ S(f,2)

19. Allora potremo considerare sup { s(f,) :  D(I)} Il numero reale così ottenuto si dice l’integrale inferiore (secondo Riemann) di f esteso a I Analogamente inf { S(f,) :  D(I)} è detto integrale superiore di f esteso ad I.

20. Gli integrali inferiore e superiore si indicano talvolta con i simboli - - = òò òò f(x,y) dxdy f(x,y) dm I I e rispettivamente + + = òò òò f(x,y) dxdy f(x,y) dm I I nel caso di integrali doppi

21. Qui dxdy è posto per ricordare l’area o misura del sottorettangolo Iij . Allo stesso scopo si scrive più genericamente dm. Se accade che le classi delle somme inferiori e superiori siano contigue, cioè se accade che l’integrale superiore e inferiore siano uguali, allora la funzione si dice integrabile secondo Riemann e il valore comune si dice l’integrale (s.R.) di f esteso a I

22. - =òò f(x,y) dxdy = I + òò òò f(x,y) dxdy f(x,y) dxdy = I I Scriveremo

23. + - x = òòò f ( , y , z ) d m f ( x , y , z ) d m òòò = I I Analogamente definiremo ( x , y , z ) d m f ( x , y , z ) d x d y d z f òòò òòò = = I I

24. Nel caso dell’integrale triplo dm è indicato anche con dx dy dz e ricorda il volume del sottorettangolo Iijk Come nel caso unidimensionale vale la seguente condizione d’integrabilità di Riemann

25. Teorema (condiz. d’integrabilità di Riemann) f: I  Rm R, (m =2,3,..) è integrabile se e solo se per ogni  > 0 esiste  D(I) tale che S(f,) - s(f,) < 

26. m w < e D å a a a Data la decomposizione = {Ia} e posto ma = inf {f(x): x  Ia} e Ma = sup{f(x): x  Ia} , diremo oscillazione di f su Ia a = Ma - ma Allora la condizione d’integrabilità diviene Per ogni  > 0 esiste  D(I) t.c.

27. Dove sta a al posto di ij o ijk e D ma =(xi-xi-1)(yj-yj-1) e simili Si prova allora immediatamente che

28. Teorema Ogni funzione f: I  Rm R, (m =2,3,..) se è continua è integrabile su I

29. Infatti sappiamo che se f è continua su I chiuso e limitato, allora, per ogni > 0 esiste un  > 0 (dipendente da ) tale che se x, y  I e |x-y| < è |f(x) - f(y)| < /m(I) . (Teorema di Heine - Cantor, Matematica I) Data una decomposizione , diciamo diam() = max{ diam (Ia): Ia  }

30. Se  è una qualsiasi decomposizione avente diam() <, poiché per Weierstrass ma = min {f(x): x  Ia} = f(xa’) e Ma = max {f(x): x  Ia} = f(xa”), allora a =f(xa”)-f(xa’) < /m(I) Perciò å awaDma < /m(I) å a Dma = 

31. ( g d m m g d ) d m f ò ò f ò m l + = l + m I I I Si possono poi dimostrare i soliti teoremi sulla struttura dell’insieme delle funzioni integrabili su I Teorema (di linearità) Se f e g sono integrabili su I e ,  sono numeri reali, allora  f +  g è integrabile su I e vale

32. f d m g d m ò ò £ I I f d m ≥ 0 ò I Teorema (di monotonia) Se f e g sono integrabili su I e f(x) ≤ g(x) x  I, allora In particolare, se f(x) ≥ 0 x  I, allora

33. m d ò f d m f ò £ I I Teorema (del valore assoluto) Se f è integrabile su I lo è anche |f| e si ha

34. f d m ≤ ò I f d m = f(c)m(I) ò I Teorema (della media) Se f è integrabile su I e l = inf { f(x): x  I}, L = sup { f(x): x  I}, allora si ha lm(I) ≤ Lm(I) In particolare, se f è continua su I

35. 1 f d m ò m = m ( I ) I dove c I e m(I) è la misura (area o volume) del rettangolo I Il numero si dice la media integrale di f su I.

36. Teorema (del prodotto) Se f e g sono integrabili su I allora lo è f  g. Teorema (diadditività sul dominio) Se f è integrabile su I1 e su I2, che hanno solo una faccia in comune, allora è integrabile su I =I1I2 e l’integrale è la somma degli integrali

37. INSIEMI TRASCURABILI

38. Un insieme limitato T Rm si dice trascurabile (o di misura elementare nulla) se, detto I un rettangolo che lo racchiude, per ogni > 0 esiste una decomposizione  di I, tale che m ( I ) å < e b b

39. dove sono stati indicati con Ib quei sottorettangoli tali che Ib T ≠  Si può allora dimostrare che una funzione limitataf: I  Rm R, è R-integrabile se l’insieme Df dei suoi punti di discontinuità è trascurabile Questo risultato amplia notevolmente la classe delle funzioni R-integrabili.