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CALCOLO DIFFERENZIALE PER FUNZIONI DI PIÙ VARIABILI.

CALCOLO DIFFERENZIALE PER FUNZIONI DI PIÙ VARIABILI. Argomenti della lezione. Il teorema del “differenziale totale” . Regole di derivazione e differenziazione. Derivate successive. IL TEOREMA DEL “DIFFERENZIALE TOTALE” . Teorema. Se f : A  R n  R , A aperto, .

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CALCOLO DIFFERENZIALE PER FUNZIONI DI PIÙ VARIABILI.

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Presentation Transcript

  1. CALCOLO DIFFERENZIALE PER FUNZIONI DI PIÙ VARIABILI.

  2. Argomenti della lezione • Il teorema del “differenziale totale” . • Regole di derivazione e differenziazione. • Derivate successive.

  3. IL TEOREMA DEL “DIFFERENZIALE TOTALE” .

  4. Teorema Se f : A  Rn R, A aperto, ha derivate parziali continue in A, allora è differenziabile in ogni punto x0  A.

  5. Calcoli a parte…

  6. REGOLE DI DERIVAZIONE E DI DIFFERENZIAZIONE.

  7. Vista la definizione di derivata parziale e il suo legame con la nozione di differenziale messa in evidenza precedentemente, possiamo concludere che le regole di derivazione già note continuano a valere per le derivate parziali, direzionali e per il differenziale. Dunque:

  8. Dk(f + g) = Dkf + Dkg d(f + g) = df + dg Dk(fg) = (Dkf)g + f(Dkg) d(fg) = (df)g + f(dg) Dk(f/g) = ((Dkf)g - f(Dkg))/(g2) d(f/g) = ((df)g - f(dg))/(g2)

  9. DERIVAZIONE DI FUNZIONE COMPOSTA

  10. Teorema Sia f : A  Rn R, A aperto, differenziabile in x0  A, e sia g(t)=(x1(t),…, xn(t))Tderivabile in t0: g’(t0)=( x1’(t0) ,…, xn’(t0))T, g(t0) =x0 , allora è derivabile in t0 F(t) =f(g(t)), e vale

  11. F ’(t0) = D1f(x0)x1’(t0) +…+ + Dnf(x0)xn’(t0) con g(t): I  Rn.

  12. Calcoli a parte ...

  13. DERIVATE SUCCESSIVE.

  14. Sia f : A  R2 R, A aperto, dotata di derivate parziali rispetto a x e a y in tutto A o in una sua parte aperta A1. Allora D1f:A1R e D2f:A1R , sono funzioni delle quali ci si può chiedere se sono derivabili rispetto a x o a y.

  15. ∂ ∂x ∂f ∂x ( ) ∂ ∂x ∂ ∂y ∂ ∂y ∂f ∂y ∂f ∂x ∂f ∂y ( ( ( ) ) ) ∂2f ∂x2 ∂ ∂x ∂f ∂x ___ ( ) (x0,y0) (x0,y0) Si potranno considerare , , e Si indicherà =

  16. ∂2f ∂2f ____ ____ (x0,y0) (x0,y0) ∂x∂y ∂y∂x ∂2f ____ ∂ ∂xi ( ∂f ∂xk ) (x10,…,xn0) (x10,…, xn0) ∂ ∂x ∂ ∂y ∂f ∂y ∂f ∂x ( ( ) ) (x0,y0) (x0,y0) ∂xi∂xk = = Più in generale =

  17. ∂2f ∂2f ____ ____ (x0,y0) (x0,y0) ∂x∂y ∂y∂x ∂2f ∂2f ____ ____ (x10,…,xn0) (x10,…,xn0) ∂xi∂xk ∂xk∂xi Ci chiediamo: quale relazione c’è tra ? e O tra e , (i≠k) ?

  18. ∂2f ____ (x0,y0) ∂x∂y ∂2f ____ (x10,…,xn0) ∂xi∂xk Altre notazioni per indicare le derivate successive: = fxy(x0,y0) = = D2xyf(x0,y0) = D212f(x0,y0) = = ∂2xyf(x0,y0) = ∂212f(x0,y0) E notazioni analoghe per

  19. Teorema (Sull’inversione dell’ordine delle derivate (di K.H.A. Schwarz) ) Siano fxye fyxdefinite su unaperto A, e siano continue in (x0,y0) A. Allora fxy (x0,y0)= fyx (x0,y0).

  20. In generale, per il teorema di Schwarz, ammesso che siano continue in un aperto A  Rn , due derivate, calcolate nello stesso punto, che differiscono solo per l’ordine di derivazione sono uguali.

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