CALCOLO DIFFERENZIALE PER FUNZIONI DI PIÙ VARIABILI. ESTREMI VINCOLATI, ESEMPI.

1. CALCOLO DIFFERENZIALE PER FUNZIONI DI PIÙ VARIABILI. ESTREMI VINCOLATI, ESEMPI.

2. Argomenti della lezione • Estremi vincolati. • Esempi.

3. ESTREMI VINCOLATI

4. Abbiamo appreso come calcolare gli estremi liberi di funzioni di più variabili. Spesso tuttavia si debbono cercare i valori massimi o minimi di una funzione quando le variabili non sono libere di muoversi in un aperto A  Rm ma sono soggette a vincoli, rappresentati da certe funzioni definite in A.

5. Per esempio, si cerca la posizione d’equilibrio di una particella soggetta a un campo di forze di potenziale f(x,y) vincolata a stare su una linea piana espressa da g(x,y) = 0. Se l’equazione della linea piana si può esplicitare nella forma y = h(x), x  Iallora si potrà sostituire nella f(x,y) e cercare il minimo “libero” di F(x) = f(x, h(x)) al variare di in un intervallo I di R.

6. Sia f : A  Rm R una funzione e K  Rm un sottoinsieme proprio non vuoto di A. x0 è punto d’estremo vincolato o condizionato per f su K se x0 è punto d’estremo per la restrizione di f a K.

7. Teorema (moltiplicatori di Lagrange ) (m=2) Siano f, g : A  R2 R, A aperto, funzioni di classe C1(A). Sia (x0,y0) punto d’estremo per f,

8. sotto il vincolo g(x,y) = 0 e sia g (x0,y0) ≠ 0 , allora esiste un numero reale 0, tale che f (x0,y0) + 0 g (x0,y0) = 0.

9. Ossia (x0, y0, 0) è soluzione del sistema fx(x0,y0) + 0 gx(x0,y0) = 0 fy(x0,y0) + 0 gy(x0,y0) = 0 g(x,y) = 0

10. Teorema (moltiplicatori di Lagrange ) Siano f e g1, .. , gn: A  Rm+n R, A aperto, funzioni di classe C1(A). Sia (x10,…, xm0,y10,…, yn0)T punto d’estremo

11. e sia det J( )(x0,y0) ≠ 0 , allora g1 g2..gn y1 y2..yn per f, sotto i vincoli gi(x,y) = 0 ,i = 1,.., n esistono n numeri reali i0, tali che f (x0,y0) + ni=1i0 gi(x0,y0) = 0.

12. g1 g2..gn det J( )(x1,…, xm,xm+1,…, xm+n) ≠ 0 y1 y2..yn Interpretazione geometrica Sia data la funzione f(x10,…, xm0,xm+10,…, xm+n0) : A  Rm+n R e il vincolo K A sia descritto dalle equazioni gi (x1,…, xm,xm+1,…, xm+n) = 0 i = 1,.., n , con

13. Sia xi(t) = hi(t), i= 1,… , m+n una curva regolare, cioè h12(t)+ .. + hm+n2(t) ≠ 0 , che giace su K, allora Gi(t) =gi(h1(t),…, hm(t),…, hm+n (t)) = 0 i=1,…, n e quindi 0 = G’i(t) =gi ,h’(t)  Dunque il vettore tangente alla curva h(t) che giace su K è ortogonale ciascuno dei vettori gi .

14. Se (x10,…, xm0,y10,…, yn0)T è punto d’estremo vincolato, la condizione f (x0,y0) + ni=1i0 gi(x0,y0) = 0, afferma che anche f (x0,y0) è ortogonale al vincolo.

15. ESEMPI