Theoretical Mechanics

第一篇静力学 Theoretical Mechanics 第三章力偶系主讲教师黄璟返回总目录

第三章力偶系 目录 § 3-1力矩 § 3-2　力偶 § 3-3　力偶系的合成 § 3-4　力偶系的平衡

3.1 力矩 3.1.1 力对点之矩力F 对O点之矩:矢径 r 与力F 的矢积即 MO(F) = r×F 其大小为在直角坐标系Oxyz中 r = xi + yj + zkF = Fxi+Fyj +Fzk 则

3.1 力矩 3.1.1 力对点之矩若力F作用在Oxy 平面内，即Fz≡0，z≡0 则 MO(F) = r×F= (Fxy – Fyx)k 力F对O点之矩总是沿着z轴方向，可用代数量来表示 MO(F) = Mz(F) = ±Fh = ±2△OAB 在平面问题中，力对点之矩为代数量，一般规定逆时针为正，顺时针为负。 Theoretical Mechanics

3.1 力矩 3.1.2 力对轴之矩力对轴之矩：力对轴之矩等于力在与轴垂直平面上的投影对轴与该平面交点之矩。力对轴之矩是代数量，它的正负号则由右手螺旋规则来确定。即当力与轴平行（Fxy = 0）或相交时（h = 0），力对轴之矩等于零。 Theoretical Mechanics

3.1 力矩 3.1.3 力矩关系定理力矩关系定理：力对点之矩在过该点任意轴上的投影等于力对该轴之矩。力F对O点之矩、力F对通过 O点的z轴之矩的大小分别为式中为两三角形平面之间的夹角，即MO(F)与z轴之夹角。 Theoretical Mechanics

3.1 力矩 3.1.3 力矩关系定理设过任一点O之直角坐标轴为x、y、z，

3.1 力矩 3.1.4 合力矩定理合力矩定理：作用于同一点的两个力的合力对一点（或轴）之矩等于这两个分力对同一点（或轴）之矩的矢量和（或代数和）。 MO(FR) = MO(F1) + MO(F2) Mz(FR) = Mz(F1) + Mz(F2) Theoretical Mechanics

3.1 力矩 例题例3-1求力 F对三坐标轴的矩。已知A、B两点位置如图，单位为cm；F=30N。解：

3.1 力矩 例题例3-2 求力 P在三轴上的投影和对三轴的矩。解：

3.1 力矩 例题例3-3 如图所示，长方体棱长为a、b、c，力F沿BD，求力F对AC之矩。解：

3.1 力矩 例题例3-3 求F对A点的矩。解一：应用合力矩定理解二：由定义

3.2 力偶 3.2.1 力偶的概念力偶：大小相等、方向相反、作用线平行但不重合的两个力称为力偶。两力作用线所决定的平面称为力偶的作用面，两力作用线间的距离称为力偶臂。力偶是一种基本力学量,力偶对刚体产生转动效应.

设rBA和rAB分别表示图中的矢径和 ，矢量 3.2 力偶 3.2.1 力偶的概念力偶的作用效果取决于力偶矩的大小、力偶转向和作用面方位。因此可用一矢量表示；用的模表示力偶矩的大小；的指向按右手法则表示力偶的转向；的作用线与力偶作用面的法线方位相同。如图所示。称为力偶矩矢。 M = rBA×F = rAB×F  称为力偶(F, F)的力偶矩矢量简称为力偶矩矢。 Theoretical Mechanics

3.2 力偶 3.2.1 力偶的概念特例：力偶矩在平面问题中视为代数量，记为M， M = ±Fd 正负号分别由力偶的转向决定。逆时针为正，顺时针为负。平面力偶对任一点的力矩： Theoretical Mechanics

3.2 力偶 3.2.1 力偶的概念在图中空间任取一点O，则A、B两点的矢径，用rA、rB表示， rBA = rA – rB。力偶对O点之矩 MO(F,F ') = MO (F) + MO (F ') = rA×F + rB×F ' = (rA – rB)×F = rBA×F ∴MO (F, F')=M Theoretical Mechanics

3.2 力偶 3.2.1 力偶的概念力偶对刚体的作用完全决定于力偶矩矢。（1）力偶矩矢量M与矩心的选择无关，因而是一个自由矢量；（2）决定力偶矩矢的三要素为：力偶矩的大小、力偶作用面的方位及力偶的转向；（3）因为力偶矩矢是自由矢量，在保持这一矢量的大小和方向不变的条件下，可以在空间任意移动力偶矩矢量而不改变力偶对刚体的作用效果，称为力偶的等效性。 Theoretical Mechanics

3.2 力偶 3.2.2 力偶的性质力偶的性质力偶是具有特殊关系的力组成的力系，虽然力偶中每个力仍具有一般的力的性质，但作为一个整体又有它本身的特性，现归纳如下：性质1：力偶无合力，即力偶不能简与一个力等效。性质2：力偶对于作用面内任一点之矩的和恒等于力偶矩，与矩心位置无关。性质3：力偶中两力在任一轴上投影的代数和等于零。性质4：力偶矩矢相等的两力偶等效。性质5：力偶作用平面可以在同一刚体内平行移动，而不改变原力偶对刚体的效应。

3.3 力偶系的合成 设刚体上作用力偶矩矢M1、M2、…、Mn，根据力偶的等效性，将各力偶矩矢平移至图(b)中的任一点A，力偶系合成结果为一合力偶。 Theoretical Mechanics

3.3 力偶系的合成 其力偶矩M等于各力偶矩的矢量和：合力偶矩矢在各直角坐标轴上的投影：对于平面力偶系M1、M2、…、Mn，合成结果为该力偶系所在平面内的一个力偶，合力偶矩M为各力偶矩的代数和 Theoretical Mechanics

因为： 所以： 3.4 力偶系的平衡力偶系平衡的必要与充分条件是：合力偶矩矢等于零。即上式即为力偶系的平衡方程。

3.4 力偶系的平衡 特例：平面力偶系平衡的必要与充分条件是：力偶系中各力偶矩的代数和等于零。即：上式称为平面力偶系的平衡方程。

3.4 力偶系的平衡 例题例1：求图示简支梁的支座反力。解：以梁为研究对象，受力如图。解之得：

3.4 力偶系的平衡 例题例2：如图杆AB上有一导槽，套在杆CD上的销子E上，在两杆上各有一力偶作用。已知，若杆重和摩擦不计，求机构平衡时应为多大。解：先以AB为研究对象，受力如图。再以CD为研究对象，受力如图。于是得：

3.4 力偶系的平衡 例题例3：系统如图，AB杆上作用矩为M的力偶，设AC=2R，R为轮C的半径，各物体的重量及摩擦不计。求绳子的拉力和铰A对AB杆的约束反力及地面对轮C的反力。解：先以AB杆为研究对象，受力如图。由几何关系：所以：

3.4 力偶系的平衡 例题再以轮C为研究对象，受力如图，建立如图坐标。其中：解之得：讨论：本题亦可以整体为研究对象求出：

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