Dane INFORMACYJNE

2. Dane INFORMACYJNE • Nazwa szkoły: Gimnazjum nr 2 im. Władysława Sikorskiego w Złocieńcu • ID grupy: 98_58_mf_g1 • Opiekun: Agnieszka Włodarczyk • Kompetencja: Matematyka – Fizyka • Temat projektowy: Liczba PI • Semestr/rok szkolny: 2010/11

4. DEFINICJA LICZBY π Liczba Pi jest liczbą niewymierną, określającą stosunek długości okręgu do długości jego średnicy. π=3,141592... Liczba Pi nazywana bywa często „ludolfiną”. Nazwa „ludolfina” pochodzi od imienia matematyka holenderskiego Ludolfa van Ceulena, który w 1610 roku obliczył wartość liczby Pi z dokładnością do 35 cyfr po przecinku.

5. ROLA LICZBY π Liczby pi używa się głównie do obliczeń dotyczących koła. Wzór na długość okręgu Wzór na pole koła d = 2 π r d – długość okręgu r – promień okręgu

6. Architektura W piramidzie Cheopsa stosunek sumy dwóch boków podstawy do wysokości wynosi 3,1416, czyli przybliżenie pi z dokładnością do czterech miejsc po przecinku! Dziś nie można stwierdzić czy był to zadziwiający przypadek, czy wynik geniuszu nieznanych nam z imienia uczonych.

7. Liczba π w poezji, czyli mnemotechnika Jeszcze słów kilka należy poświęcić mnemotechnice liczby Pi. Zapamiętanie kilkunastu początkowych cyfr po przecinku w rozwinięciu dziesiętnym liczby Pi, nie jest sprawą łatwą, lecz tutaj matematyce przychodzi na pomoc poezja. Znane są wiersze, które bardzo prosto rozwiązują ten problem. Licząc litery w poszczególnych wyrazach otrzymujemy kolejne cyfry Pi. Liczba Pi weszła także do języka potocznego: "pi razy oko".

8. Oto niektóre z wierszy i powiedzeń: Inwokacja Witolda Rybczyńskiego do Mnemozyny „Daj, o pani, o boska Mnemozyno, pi liczbę, którą też zowią ponętnie ludolfiną, pamięci przekazać tak, by jej dowolnie oraz szybko do pomocy użyć, gdy się zadania nie da inaczej rozwiązać, pauza - to zastąpić liczbami.” Polska trawestacja wiersza rosyjskiego„Kto z woli i myśli zapragniePi spisać cyfry, ten zdoła...” Liczba Pi [Wiersz Wisławy Szymborskiej]Podziwu godna liczba Pitrzy koma jeden cztery jeden.Wszystkie jej dalsze cyfry też są początkowe,pięć dziewięć dwa ponieważ nigdy się nie kończy.Nie pozwala się objąć sześć pięć trzy pięć spojrzeniemosiem dziewięć obliczeniemsiedem dziewięć wyobraźnią,a nawet trzy dwa trzy osiem żartem, czyli porównaniemcztery sześć do czegokolwiekdwa sześć cztery trzy na  świecie…

9. ZASTOSOWANIE MASZYN LICZĄCYCH Poniższa tabela obrazuje postęp w obliczeniach kolejnych cyfr rozwinięcia liczby Pi za pomocą maszyn cyfrowych.

10. Zadziwiająca liczba 

11. Jaką tajemnicę kryją w sobie piramidy ? • Badacze słynnej piramidy Cheopsa dostrzegli w stosunkach jej wymiarów wyraźne ślady tego wielkiego symbolicznego stosunku obwodu koła do jego średnicy. Mianowicie, iloraz otrzymany z podziału sumy dwóch boków podstawy przez wysokość piramidy wyraża się liczbą 3,1416 – to znaczy liczbą „ ” z dokładnością czterech cyfr po przecinku. BOK I + BOK II = 3,1416 WYSOKOŚĆ PIRAMIDY

12. kolejno cyfry liczby pi. Liczba pi ma nie tylko długą, 4000 lat liczącą historię, ale warto też dodać, że przeszła do literatury. Dla łatwiejszego jej zapamiętania zostały ułożone specjalne wiersze, w których ilość liter każdego słowa daje

13. Dla tych, którzy chcą wiedzieć więcej…

14. Czy taka konstrukcja jest możliwa ? Kwadratura koła… - czy jest możliwa ? Z liczbą  związany jest nierozerwalnie najsłynniejszy problem geometryczny w dziejach matematyki, czyli kwadratura koła -- konstrukcja za pomocą cyrkla i linijki kwadratu o polu równym polu danego koła. Dziś już wiemy, że nie, ale niegdyś wydawało się inaczej. Przez całe wieki matematycy uzbrojeni w cyrkle i linijki biedzili się nad kwadraturą koła. Cały problem sprowadzał się w istocie do wykreślenia odcinka o długości .

15. Adam Adamandy Kochański… Swój wkład w rozwiązanie problemu kwadratury koła mają także Polacy. Znaną na całym świecie przybliżoną kwadraturę koła przeprowadził pod koniec XVII w. Adam Adamandy Kochański, nadworny matematyk króla Jana III Sobieskiego. Jest ona prosta i elegancka,a zarazem niezwykle dokładna. Daje  = 3,14153, czyli z dokładnością do czterech cyfr dziesiętnych.

16. Ferdynand Lindemann(1852 – 1939) Ferdynand Lindemann… W 1883 r. niemiecki matematyk Ferdynand Lindemann udowodnił,że ludolfina jest tzw. liczbą przestępną,tzn. niemożna wykonać konstrukcji odcinka o długości  za pomocą cyrkla i linijki. Był to kres nadziei na możliwość kwadratury koła. Od tamtego czasu zainteresowanie tym problemem spadło niemal do zera.Pracują nad nim tylko ci, którzy wierzą też w możliwość konstrukcji perpetuum mobile.

17. Albert Einstein(1879 – 1955) Święto liczby  … Czy liczba może mieć swoje święto? Okazuje się, że tak. Święto liczby  przypada 14 marca, bo pisząc tę datę po angielsku otrzymujemy 3,14, a więc  z dokładnością do dwóch cyfr po przecinku. Przypadkiem 14 marca jest również dniem urodzin Alberta Einsteina.

18. Słynny pi – emat… Przez wiele lat ludzie zastanawiali się, jak najprościej zapamiętywać liczbę .Najczęściej używaną sztuczką mnemotechniczną jest zapamiętanie wierszyka, w którym liczba liter kolejnego słowa to cyfra w rozwinięciu dziesiętnym . Znane są takie wierszyki w języku angielskim, francuskim, rosyjskim...Po polsku rozpowszechniony jest wierszyk z 1930 rokuautorstwa Kazimierza Cwojdzińskiego: „Kuć i orać w dzień zawzięcie, bo plonów niema bez trudu! Złocisty szczęścia okręcie, Kołyszesz...Kuć! My nie czekajmy cudu. Robota to potęga ludu. Uwaga, „niema” pisało się wówczas razem.

19. Liczba  jest liczbą niewymierną, określającą stosunek długości okręgu do jego średnicy i jest ona równa 3,141592… . • Symbol  został pierwszy raz użyty w 1706 roku przez matematyka angielskiego Williama Jonesa. W powszechne użycie wszedł dopiero w połowie XVIII wieku po wydaniu przez L. Eulera dzieła pt. „Analiza”. Najważniejszym w historii liczby , prawdziwie przełomowym był rok 1882, w którym niemiecki matematyk F. Lindemann wykazał ostatecznie, że liczba  jest liczbą przestępną ( to znaczy, że nie może ona być pierwiastkiem równania algebraicznego o współczynnikach całkowitych ). Wykazał on w ten sposób nierozwiązywalność słynnego w starożytności zagadnienia kwadratury koła. • Liczba  nazywana bywa często „ludolfiną”. Nazwa ta pochodzi do imienia matematyka holenderskiego Ludolfa van Ceulena, który w roku 1610 obliczył wartość liczby  z dokładnością do 35 cyfr po przecinku.

20. Ciekawostki… Liczba 31415926535897932384626433832795028841, zestawiona z początkowych 38 cyfr rozwinięcia dziesiętnego liczby , jest pierwsza. Rok świetlny równa się  * 107 * c (km), gdzie c oznacza prędkość światła (w km na sekundę). Liczba sekund w roku jest równa 365 * 24 * 60 * 60 = 31 536 000 (liczba dni w roku * liczba godzin podczas doby * liczba minut podczas godziny * liczba sekund podczas minuty), co w przybliżeniu jest równe  * 107 * c. Uczeni, którzy szukali kontaktu z cywilizacjami pozaziemskimi, wysyłali w kosmos drogą radiową informację o wartości liczby  . Wierzyli, że inteligentne istoty spoza Ziemi znają tę liczbę i rozpoznają ten komunikat…

21. Archimedes… • Archimedes (ok. 287-212 p.n.e.) - jeden z najwybitniejszych greckich matematyków i fizyków starożytności, odkrył wiele praw matematycznych i fizycznych, sformułował ważne zasady mechaniczne. • Zajmował się różnymi dziedzinami nauki, m. in. hydrostatyką, arytmetyką, geometrią, astronomią, mechaniką, optyką. Część pism Archimedesa zachowała się do naszych czasów.

22. Archimedes zginął przypadkowo w r. 212 przy zdobywaniu Syrakuz przez Rzymian pod wodzą Marcellusa, w drugiej wojnie punickiej. Mówi się, że jeden z żołnierzy wtargnął do jego domu dla rabunku i zastał 75­letniego starca, prawdopodobnie kiedy zmęczony walką, rozwiązywał jakiś dręczący go problem matematyczny. Zatopiony w pracy uczony rysował pałeczką figury w piasku. Zapytany o ukryte skarby, odpowiedział tylko: "noli turbare circulos meos" (nie psuj moich kół), po czym padł przebity przez Rzymianina - mimo wyraźnego rozkazu Marcellusa by go ująć żywego. W blisko sto lat później Cyceron odnalazł jego grób, który poznał po wyrytej na nagrobku kuli z opisanym na niej walcem. • Do najważniejszych zdobyczy matematycznych Archimedesa należy dowód istnienia stałego stosunku między średnicą, a obwodem koła, a więc liczby ("liczba pi"), którą oznaczył pierwszą literą greckiego wyrazu "perímetros" - obwód koła. Ob. = 22/7 = 3,14

23. Obliczenia związane z liczbą 

24. Okrąg a koło – różnica…? Okręgiem o środku O i promieniu r nazywamy zbiór punktów płaszczyzny, które leżą w tej samej odległości od punktu O, zwanego środkiem okręgu. Kołem o środku O i promieniu r nazywamy część płaszczyzny ograniczoną okręgiem. Okrąg ten jest brzegiem koła.

25. WYZNACZENIE LICZBY PI METODĄ MONTE CARLO • Liczba π jest potrzebna do obliczania pola koła, co zostało wykorzystane w naszym algorytmie. • W dowolnej płaszczyźnie zostaje wydzielony kwadrat o długości boku d, a następnie w dany kwadrat zostaje wpisane koło. Średnica koła jest równa długości boku kwadratu. Załóżmy, że na dany kwadrat (i tylko na niego) zaczyna padać deszcz. Prawdopodobieństwo, że dowolna kropla spadnie w obszarze koła wynosi π/4 (wg prawdopodobieństwa klasycznego). Stąd wiemy, że wartość liczby π można wyliczyć przy pomocy tego prawdopodobieństwa Średnica = długość boku d d

26. Wynik losowania punktów (krople deszczu) w obszarze wydzielonym przez kwadrat • Wynikiem działania algorytmu jest przybliżenie liczby π, które obliczamy ze wzoru: • Należy podkreślić, że dokładność wyników algorytmu jest mała dla małej liczby próby losowej. Zasada ta obowiązuje dla wszystkich metod z grupy Monte Carlo. W celu zwiększenia dokładności należy więc zwiększyć wielkość próby losowej. Przyczyną niedokładności może być nieodpowiednio dobrany zakres, z którego dokonuje się losowania (w powyższym przypadku jest to pole kwadratu). Stosując metody Monte Carlo należy zwrócić szczególną uwagę na wspomniane czynniki. • Przykład zastosowania metody Monte Carlo w inżynierii materiałowej można znaleźć w dziale modelowanie wieloskalowe.

27. Symulacja P koła = pkt w kole \ wszystkie pkt * Pole Kwadratu Liczba pi = 16 \ 27 * 4

28. Igła Buffona

29. Georges Leclerc de Buffon (1707-1788) to francuski przyrodnik i filozof, który wywarł istotny wpływ na rozwój przyrodoznawstwa XVIII wieku. Sformułował poglądy kosmogoniczne, w których rozwinął hipotezę pochodzenia Ziemi od Słońca w wyniku jego zderzenia z kometą; zmiany rozmieszczenia fauny i flory na Ziemi wiązał ze stopniowym ochładzaniem się klimatu wskutek stygnięcia planety. Przyjmował możliwość ograniczonej zmienności gatunków pod wpływem środowiska.

30. CO TO JEST? W statystyce matematycznej igła Buffona jest jednym z najpopularniejszych problemów prawdopodobieństwa geometrycznego. Problem został sformułowany w 1733 przez Georges'a-Louisa Leclerca, hrabiego Buffon, a w 1777 podał on jego rozwiązanie. Opisany w problemie eksperyment jest statystyczną symulacją pozwalającą oszacować liczbę π. Otrzymana metoda estymacji liczby π należy do klasy metod Monte Carlo.

31. Mamy planszę z zaznaczonymi poziomymi liniami odległymi od siebie o t . Upuszczamy na nią igłę o długości l , przy czym l ≤ t. Eksperyment powtarzamy n razy, i zliczamy ile razy igła przecięła którąś z linii siatki, otrzymując wartość R . Jak oszacować stosunek , czyli prawdopodobieństwo, że igła przetnie którąś z linii?

32. Zadanie Buffona o igle Narysujmy na płaszczyźnie rodzinę prostych równoległych co 1 cm. Rzucajmy teraz na płaszczyznę całkowicie przypadkowo igłę o długości 1 cm. Jakie jest prawdopodobieństwo, że igła ta przetnie którąś z linii?Odpowiedź jest dla nieznających rachunku prawdopodobieństwa wręcz porażająca. Mianowicie, prawdopodobieństwo owo wynosi 2/π

33. Wynik ten – podawany w tym miejscu bez trudnego dowodu – pozwala na zbudowanie ciekawego algorytmu obliczania wartości π. Jeśli mianowicie będziemy rzucać na tak poliniowaną płaszczyznę wielką liczbę igieł, to stosunek liczby igieł przecinających którąś z linii do liczby igieł nieprzecinających żadnej z nich będzie tym bliższy liczbie 2/π, im więcej igieł rzucimy. Aby obliczyć π z dowolną dokładnością wystarczy zatem dostatecznie wiele razy rzucić igłą!

34. Nieprzyjemność polega na tym, że taki proces byłby bardzo długotrwały. Mówimy, że ta metoda jest wolno zbieżna. Oczywiście, możemy do symulacji procesu użyć komputera i wykorzystać jego szybkość działania, wówczas uzyskamy dostatecznie dobre wyniki dużo szybciej, niż rzucając igłę ręcznie. Podobne metody obliczeniowe, odwołujące się do rachunku prawdopodobieństwa, są w zastosowaniach matematyki bardzo ważne. Noszą one ładną nazwę „metod Monte Carlo”, od światowej stolicy gier hazardowych

35. Sumy i szeregi liczby (pi)

36. Szereg Szereg jest to konstrukcja, która daje nam możliwość wykonania uogólnionego dodawania przeliczanej liczby składników. Dychotomia Zenona z Elei jest głównym przykładem znanego szeregu.

37. W 1674 roku Leibniz i Gregory wymyślili wzór na liczbę Pi: Sumując kolejne wyrazy szeregu otrzymujemy coraz większe przybliżenie liczby Pi.

38. W jaki sposób dojść do powyższego wzoru? Otóż, wychodzimy z faktu, że π/4 = arctan(1). Za pomocą wzoru Taylora, możliwe jest przedstawienie funkcji w postaci nieskończonego szeregu.

39. Wyznaczając kolejne pochodne funkcji y = arctan(x) mamy: Stąd: Zatem: W praktyce wzór wywodzący się z arctan(1) nie jest pożyteczny, gdyż chcąc obliczyć Pi z dokładnością do dziesiątego miejsca po przecinku, należy zsumować około 5 miliardów wyrazów.

40. Znacznie szybciej dąży do Pi szereg uzyskany ze wzoru:

41. Dziękujemy za uwagę