TEORIA DELLA PROBABILITA ’

1. TEORIA DELLA PROBABILITA’ • FENOMENI DETERMINISTICI (Es: il moto di un pianeta) • FENOMENI INDETERMINISTICI ( Es: il lancio di un dado )

2. , • Studiamo un fenomeno di cui non è possibile conoscere con certezza l’esito • Consideriamo l’esito del fenomeno come puramente casuale • Se gli esiti possibili sono n , li consideriamo equiprobabili , cioè aventi la stessa possibilità di verificarsi • Ci poniamo nell’ipotesi che gli esiti possibili siano mutuamente esclusivi , cioè che il verificarsi di uno di essi escluda il verificarsi di ciascuno degli altri

3. Con le premesse precedenti diamo le definizioni che seguono: • UNIVERSO DEI CASI POSSIBILI(U): L’insieme ciascun elemento del quale è un esito possibile • SPAZIO DEGLI EVENTI(Ω): L’insieme che ha come elementi tutti i sottoinsiemi di U • EVENTO : Ciascun elemento di Ω

4. In termini insiemistici Ω è l’insieme delle parti di U (Ω = P(U)) • Ciascun sottoinsieme di U costituisce , quindi , un evento • Ciascun caso possibile( ciascun elemento di U ) costituisce un evento elementare

5. PROBABILITA’ DI UN EVENTO • DEFINIZIONE CLASSICA(PROBABILITA’ A PRIORI) Indichiamo con E un evento , con n il numero dei casi possibili, con a il numero dei casi favorevoli al verificarsi dell’evento , con P(E) la probabilità dell’evento . Allora

6. DEFINIZIONE FREQUENTISTA ( PROBABILITA’ A POSTERIORI ) • s = numero di “ successi “ ottenuti in una serie di prove • T =numero totale delle prove effettuate Allora

7. OSSERVAZIONI SUL CONCETTO E SULLE DEFINIZIONI DI PROBABILITA’ • La definizione classica ha carattere astratto e puramente “ matematico “ • Essa richiede chesipostuli la eqiprobabilità degli esiti possibili ( il che ha in sé implicito il pericolo di ricorrere ad un circolo vizioso ) • Essa risulta di scarsa utilità pratica in tutti quei problemi per i quali non è possibile determinare a priori il numero dei casi possibili e il numero dei casi favorevoli ( qual è la probabilità a priori che che un aereo della linea Roma-Mosca precipiti???)

8. Presentazione assiomatica della probabilità • Definiamo una funzione di probabilità che associa ad ogni evento E appartenente a uno spazio degli eventi Ωun numero reale appartenente all’intervallo [0,1] P:E→P(E) con 0≤P(E)≤1 ASSIOMI • Per ogni E appartenente a Ω P(E)≥0 • U , l’insieme dei casi possibili , rappresenta l’evento certo : per esso si ha P(U)=1 • Dati n eventi E1…En a due a due incompatibili , si ha P(E1U…UEn)=P(E1)+….P(En)

9. Sulla definizione frequentista • La definizione frequentista riconnette la teoria della probabilità alla statistica( per essa si parla di probabilità statistica) • Ciò che getta un ponte tra le due definizioni è la legge empirica del caso o legge dei grandi numeri : • In un gran numero di prove la frequenza relativa di un evento tende a coincidere con la sua probabilità a priori , e ciò è tanto più vero quanto più grande è il numero delle prove

10. Algebra nello spazio degli eventi • Siano E1 ed E2 eventi incompatibili • E1UE2 evento unione(o somma) • P(E1UE2)=P(E1)+P(E2) • Siano E1 ed E2 eventi compatibili ( cioè tali che la loro intersezione non sia vuota ) • P(E1UE2)=P(E1)+P(E2)-P(E1∩E2) • Sia ⌐E l’evento contrario di E • P(⌐E)=1-P(E) • Siano E1 ed E2 eventi indipendenti(il verificarsi dell’uno non modifica la probabilità che si verifichi l’altro) • E1∩E2 evento intersezione( o prodotto) • P(E1∩E2)=P(E1)∙P(E2)

11. Siano E1ed E2 eventi dipendenti ( il verificarsi di uno di essi altera la probabilità del verificarsi dell’altro) • Poniamo P(E2\E1) = probabilità di E2 condizionata ad E1( probabilità di E2 , supponendo che E1 si sia già verificato) • P(E1∩E2) = P(E1)∙P(E2\E1)