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Teoria dos Grafos

Teoria dos Grafos. Profª Loana Tito Nogueira. Bibliografia. 1. J. L. Szwarcfiter. Grafos e Algoritmos Computacionais. Editora Campus. 1988 2. P. O Boaventura Neto. Grafos: Teoria, Modelos, Algoritmos. Editora Edgard Blücher Ltda, 1996.

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Teoria dos Grafos

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Presentation Transcript


  1. Teoria dos Grafos Profª Loana Tito Nogueira

  2. Bibliografia 1. J. L. Szwarcfiter. Grafos e Algoritmos Computacionais. Editora Campus. 1988 2. P. O Boaventura Neto. Grafos: Teoria, Modelos, Algoritmos. Editora Edgard Blücher Ltda, 1996. 3. F. Harary. Graph Theory, Perseus, 1969. 4. J. A Bondy, U. S. R. Murty. Graph Theory with applications. Elsevier, 1976.

  3. Bibliografia 1. J. L. Szwarcfiter. Grafos e Algoritmos Computacionais. Editora Campus. 1988 2. P. O Boaventura Neto. Grafos: Teoria, Modelos, Algoritmos. Editora Edgard Blücher Ltda, 1996. 3. F. Harary. Graph Theory, Perseus, 1969. 4. J. A Bondy, U. S. R. Murty. Graph Theory with applications. Elsevier, 1976.

  4. Motivação

  5. Motivação • Por que estudar grafos? • Importante ferramenta matemática com aplicação em diversas áreas do conhecimento • Utilizados na definição e/ou resolução de problemas Existem centenas de problemas computacionais que empregam grafos com sucesso.

  6. Motivação • Por que estudar grafos? • Importante ferramenta matemática com aplicação em diversas áreas do conhecimento • Utilizados na definição e/ou resolução de problemas • Existem centenas de problemas computacionais que empregam grafos com sucesso.

  7. Motivação • Por que estudar grafos? • Importante ferramenta matemática com aplicação em diversas áreas do conhecimento • Utilizados na definição e/ou resolução de problemas • Existem centenas de problemas computacionais que empregam grafos com sucesso.

  8. Motivação • Por que estudar grafos? • Importante ferramenta matemática com aplicação em diversas áreas do conhecimento • Utilizados na definição e/ou resolução de problemas • Existem centenas de problemas computacionais que empregam grafos com sucesso.

  9. Motivação • Por que estudar grafos? • Importante ferramenta matemática com aplicação em diversas áreas do conhecimento • Utilizados na definição e/ou resolução de problemas • Existem centenas de problemas computacionais que empregam grafos com sucesso.

  10. As pontes de Königsberg

  11. As pontes de Königsberg Em Königsber, Alemanha, um rio que passava pela Cidade tinha uma ilha e, logo depois de passar por essa ilha se bifurcava em 2 ramos. Nessa região existiam 7 pontes, como mostra a figura.

  12. As pontes de Königsberg Em Königsber, Alemanha, um rio que passava pela Cidade tinha uma ilha e, logo depois de passar por essa ilha se bifurcava em 2 ramos. Nessa região existiam 7 pontes, como mostra a figura.

  13. As pontes de Königsberg É possível andar por toda a cidade de tal modo que cada ponte seja atravessada exatamente uma vez?

  14. As pontes de Königsberg Não é possível !!!!!

  15. As pontes de Königsberg

  16. Remodelando o problema

  17. Remodelando o problema

  18. Remodelando o problema

  19. Remodelando o problema O problema agora consiste em percorrer todos os arcos, passando por cada um apenas uma vez, sem levantar o lápis do papel.

  20. Teoria de Grafos Na teoria de grafos, um caminho completo com as propriedades descritas acima de não retraçar nenhum arco é chamado de TRAJETÓRIA de EULER

  21. Outro Exemplo: Será que existe alguma trajetória de Euler para o gráfico ao lado? Se existir, como ela é?

  22. Ementa do Curso • Grafos e Subgrafos • Árvores • Conectividade • Ciclo Hamiltoniano e Caminho Euleriano • Emparelhamento • Coloração de Arestas • Conjuntos Independentes e Cliques • Coloração de Vértices • Grafos Planares • Grafos Direcionados

  23. Avaliação: • Listas de Exercícios • 2 Avaliações: PR1 e PR2 • Trabalho (Alunos de Doutorado) PR1: 24/05 PR2: 17/07 Final: 19/07

  24. Grafos e Subgrafos

  25. Grafos e Subgrafos

  26. Grafos e Subgrafos

  27. Grafos e Subgrafos     

  28. Grafos e Subgrafos     

  29. Grafos e Subgrafos     

  30. Grafos e Subgrafos     

  31. Grafos e Subgrafos     

  32. Definição G=(V(G), E(G), G)

  33. Definição G=(V(G), E(G), G) Conjunto não vazio de vértices

  34. Definição G=(V(G), E(G), G) Conjunto não vazio de vértices Conjunto disjunto de V(G), chamado arestas

  35. Definição G=(V(G), E(G), G) Conjunto não vazio de vértices Função que associa cada aresta de G um par de vértices de G Conjunto disjunto de V(G), chamado arestas

  36. Definição G=(V(G), E(G), G) Conjunto não vazio de vértices Função que associa cada aresta de G um par de vértices de G Conjunto disjunto de V(G), chamado arestas Se e=(u,v) então dizemos que e une u e v (u e v são ditos extremos de e)

  37. Exemplo1: • G=(V(G), E(G), G), onde • V(G) ={v1, v2, v3, v4, v5} • E(G)={e1, e2, e3, e4, e5, e6, e7 , e8} • G : • G(e1)= (v1, v2), G(e2)= (v2, v3), • G(e3)= (v3, v3), G(e4)= (v3, v4), • G(e5)= (v2, v4), G(e6)= (v4, v5), • G(e7)= (v2, v5), G(e8)= (v2, v5)

  38. v2 Exemplo1: v1 v3 • G=(V(G), E(G), G), onde • V(G) ={v1, v2, v3, v4, v5} • E(G)={e1, e2, e3, e4, e5, e6, e7 , e8} • G : • G(e1)= (v1, v2), G(e2)= (v2, v3), • G(e3)= (v3, v3), G(e4)= (v3, v4), • G(e5)= (v2, v4), G(e6)= (v4, v5), • G(e7)= (v2, v5), G(e8)= (v2, v5) v4 v5

  39. v2 Exemplo1: v1 v3 • G=(V(G), E(G), G), onde • V(G) ={v1, v2, v3, v4, v5} • E(G)={e1, e2, e3, e4, e5, e6, e7 , e8} • G : • G(e1)= (v1, v2), G(e2)= (v2, v3), • G(e3)= (v3, v3), G(e4)= (v3, v4), • G(e5)= (v2, v4), G(e6)= (v4, v5), • G(e7)= (v2, v5), G(e8)= (v2, v5) v4 v5

  40. v2 Exemplo1: v1 v3 • G=(V(G), E(G), G), onde • V(G) ={v1, v2, v3, v4, v5} • E(G)={e1, e2, e3, e4, e5, e6, e7 , e8} • G : • G(e1)= (v1, v2), G(e2)= (v2, v3), • G(e3)= (v3, v3), G(e4)= (v3, v4), • G(e5)= (v2, v4), G(e6)= (v4, v5), • G(e7)= (v2, v5), G(e8)= (v2, v5) v4 v5

  41. v2 Exemplo1: v1 v3 • G=(V(G), E(G), G), onde • V(G) ={v1, v2, v3, v4, v5} • E(G)={e1, e2, e3, e4, e5, e6, e7 , e8} • G : • G(e1)= (v1, v2), G(e2)= (v2, v3), • G(e3)= (v3, v3), G(e4)= (v3, v4), • G(e5)= (v2, v4), G(e6)= (v4, v5), • G(e7)= (v2, v5), G(e8)= (v2, v5) v4 v5

  42. v2 Exemplo1: v1 v3 • G=(V(G), E(G), G), onde • V(G) ={v1, v2, v3, v4, v5} • E(G)={e1, e2, e3, e4, e5, e6, e7 , e8} • G : • G(e1)= (v1, v2), G(e2)= (v2, v3), • G(e3)= (v3, v3), G(e4)= (v3, v4), • G(e5)= (v2, v4), G(e6)= (v4, v5), • G(e7)= (v2, v5), G(e8)= (v2, v5) v4 v5

  43. v2 Exemplo1: v1 v3 • G=(V(G), E(G), G), onde • V(G) ={v1, v2, v3, v4, v5} • E(G)={e1, e2, e3, e4, e5, e6, e7 , e8} • G : • G(e1)= (v1, v2), G(e2)= (v2, v3), • G(e3)= (v3, v3), G(e4)= (v3, v4), • G(e5)= (v2, v4), G(e6)= (v4, v5), • G(e7)= (v2, v5), G(e8)= (v2, v5) v4 v5

  44. v2 Exemplo1: v1 v3 • G=(V(G), E(G), G), onde • V(G) ={v1, v2, v3, v4, v5} • E(G)={e1, e2, e3, e4, e5, e6, e7 , e8} • G : • G(e1)= (v1, v2), G(e2)= (v2, v3), • G(e3)= (v3, v3), G(e4)= (v3, v4), • G(e5)= (v2, v4), G(e6)= (v4, v5), • G(e7)= (v2, v5), G(e8)= (v2, v5) v4 v5

  45. v2 Exemplo1: v1 v3 • G=(V(G), E(G), G), onde • V(G) ={v1, v2, v3, v4, v5} • E(G)={e1, e2, e3, e4, e5, e6, e7 , e8} • G : • G(e1)= (v1, v2), G(e2)= (v2, v3), • G(e3)= (v3, v3), G(e4)= (v3, v4), • G(e5)= (v2, v4), G(e6)= (v4, v5), • G(e7)= (v2, v5), G(e8)= (v2, v5) v4 v5

  46. v2 Exemplo1: v1 v3 • G=(V(G), E(G), G), onde • V(G) ={v1, v2, v3, v4, v5} • E(G)={e1, e2, e3, e4, e5, e6, e7 , e8} • G : • G(e1)= (v1, v2), G(e2)= (v2, v3), • G(e3)= (v3, v3), G(e4)= (v3, v4), • G(e5)= (v2, v4), G(e6)= (v4, v5), • G(e7)= (v2, v5), G(e8)= (v2, v5) v4 v5

  47. G v2 Exemplo1: v1 v3 • G=(V(G), E(G), G), onde • V(G) ={v1, v2, v3, v4, v5} • E(G)={e1, e2, e3, e4, e5, e6, e7 , e8} • G : • G(e1)= (v1, v2), G(e2)= (v2, v3), • G(e3)= (v3, v3), G(e4)= (v3, v4), • G(e5)= (v2, v4), G(e6)= (v4, v5), • G(e7)= (v2, v5),G(e8)= (v2, v5) v4 v5

  48. Exemplo2: • H=(V(H), E(H), H), onde • V(H) ={u, v, w, x, y} • E(H)={a, b, c, d, e, f, g, h} • G : • G(a)= (u, v), G(b)= (u, u), • G(c)= (v, w), G(d)= (w, x), • G(e)= (v, x), G(f)= (w, x), • G(g)= (u, x), G(h)= (x, y)

  49. Exemplo2: u v y x • H=(V(H), E(H), H), onde • V(H) ={u, v, w, x, y} • E(H)={a, b, c, d, e, f, g, h} • G : • G(a)= (u, v), G(b)= (u, u), • G(c)= (v, w), G(d)= (w, x), • G(e)= (v, x), G(f)= (w, x), • G(g)= (u, x), G(h)= (x, y) w

  50. Exemplo2: u v y x • H=(V(H), E(H), H), onde • V(H) ={u, v, w, x, y} • E(H)={a, b, c, d, e, f, g, h} • G : • G(a)= (u, v), G(b)= (u, u), • G(c)= (v, w), G(d)= (w, x), • G(e)= (v, x), G(f)= (w, x), • G(g)= (u, x), G(h)= (x, y) w

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