3. Előadás

1. 3. Előadás Teljes 4 oldal, Dualitás, A projektív geometria alaptétele, Affin transzformációk

2. DefinícióAz egy egyenesen lévő A, B, C, D pontokat harmónikusnégyesnek mondjuk, ha (ABCD) = -1. • Hogy miért pont -1, annak speciális geometria jelentése van • Ha D ideális és (ABCD)= -1, akkor C az AB szakasz felező pontja • Teljes 4 oldal tétel ami a következő: • Definíció Teljes négyoldalnak a síkon 4 különböző egyenest hívunk, melyek közül semelyik 3 nem megy át egy ponton. Legyenek ezek a, b, c, d. Ezen egyenesek metszés pontjait csúcspontoknak nevezzük (6 db), és a szemközti csúcsokat összekötő egyeneseket azaz az egyeneseket pedig átló egyeneseknek. Az átló egyenesek metszéspontjait átlóspontoknak nevezzük (3 db).

3. Tétel(teljes 4 oldal) Egy teljes négyoldalban, ha egy egyenesen vannak az A, B csúcspontok és a C, D átlóspontok, akkor (ABCD) = -1. Azaz az egy egyenesre esőcsúcspontok és átlóspontok harmónikusan választják el egymást. Ahhoz, hogy a fénykép rekonstrukciókhoz a matematikai megfigyeléseket alkalmazhassuk, szükségünk lesz egy koordináta rendszerre, hogy „programozhatóvá” váljanak a dolgok. Ehhez néztük meg a projektív sík koordinátázását korábban,

4. A projektív sík koordinátázásaIsmétlés Legyen egy projektív sík (a projektív térben) és egy O pontot. Egy P közönséges ponthoz rendeljük hozzá az OP egyenes egy irányvektorát (ez nem egyértelmű). Rendeljük hozzá egy v vektorhoz az O ponton átmenő v irányú egyenesnek és a projektív síknak a metszetét. Jelölje [v] ezt a pontot. (ez a hozzárendelés szürjektív, de nem injektív) Ezért: [v]=[w] v=w, R-{0}

5. Homogén koordináták Legyen , , egy ortonormált bázis egy v=, nem nulla vektor ekkor, ha P=[v] Akkor (::) a P pont homogén koordinátája, ahol (::)~ (::), R-{0} azaz ekvivalensnek tekintünk két, csak nem nulla számszorzóban eltérő, hármast (ezért a homogén elnevezés).

6. Hasonlóan Egy e egyenesre legyen az O és e síkjának (mely közönséges) egyik normálvektora v. Illetve ha v egy vektor, akkor jelölje az O ponton átmenő v normálvektorú sík és metszetét . (ez a hozzárendelés szürjektív, de nem injektív) Ezért: =v=w, R-{0} Ezért, ha v=, akkor jelölje a egyenes homogén koordinátáját.

7. A homogén koordinátázás tulajdonságai • [v]v w • a [v] és [w] pontok egyenese [vxw] • [vxw] • az [u], [v], [w] pontok kollineárisak, ha uvw=0 • az, , egenesk 1 ponton mennek át, ha uvw=0

8. Dualitás elve Legyen adva egy állítás, mely a projektív sík egyeneseinek és pontjainak illeszkedésről szól. Ha felcseréljük ebben az állításban az egyenesek és pontok szerepét, akkor az így kapott állítás is igaz. Szemléletesen ez az előbbi tulajdonságokból adódik. Ez csak projektívben esetben igaz euklideszi nem!

9. Speciális esetben nagyon jól használható a homogén koordinátázás: Legyen O=(0,0,0) és a z=1 egyenletű sík. (gyakorlaton ezt fogjuk használni sokszor) Most megpróbáljuk a homogén koordináták segítségével leírni, hogy a fényképezésnél mi az eredeti és a kép pontok közötti kapcsolat. Definíció Projektív transzformációnak nevezünk egy bijektív leképezést két projektív sík között, ha egyenest egyenesbe visz és kettősviszony tartó.

10. A Projektív geometria alaptétele Legyenek adva a , projektív síkok a projektív térben, és az tartópontok. A projektív síkos modellünket használva, ha adott a Vvektortérnek egy invertálható lineáris leképezése, akkor ez indukál egy: leképezést

11. Az Leképezés: • Egyenes tartó • Kettősviszony tartó • Azaz egy projektív transzformációt indukál. • Tétel (A projektív geometria alaptétele). A , síkok között minden projektív transzformáció előáll alakban, ahol egy invertálható, lineáris transzformáció. • A bizonyításhoz kell: • Definíció A síkon négy pont általános helyzetű ha közülük semelyik három sincs egy egyenesen. • LemmaHa 4 általános helyzetű pont, akkor az a, b, c, d vektorok választhatóak olyannak, hogy d = a + b + c.

12. Megfigyelések: • Ha adott és , akkor van olyan L lineáris leképezés, melyre ezt a négy pontot egymásba viszi; • Ha egy M leképezésre is egymásba viszi ezt a négy pontot, akkor továbbá bármely P pontot is ugyanoda visz és ; • Bizonyítás (alaptétel): • Ha egy projektív transzformáció az pontokat az pontokba viszi, akkor vegyünk egy olyan L lineáris transzformációt, melyre ugyanezt tudja. Ekkor az • transzformáció az pontokat fixen hagyja és ezért minden mást is az egyenes és kettősviszony tartás miatt.

13. Megjegyzés: Egy projektív transzformációt 4 általános helyzetű pont és képe egyértelműen meghatároz. A fentiek a projektív tér transzformációira is elmondhatóak analóg módon.

14. Transzformációk leírása DefinícióEgy közönséges egyenes, sík, tér affin transzformációja egy olyan projektív transzformációja a projektív kibővítéseknek, mely közönséges pontokat közönségesekbe, ideálisakat ideálisakba képez. Állítás Egy projektív transzformáció, pontosan akkor affin transzformáció (sík esetben), ha a 3x3-as L mátrix L= Alakú, ahol A egy 2x2-es mátrix, melyre detA, és b egy 2x1-es oszlopvektor.