Tellen van Stemmen …

1. Tellen van Stemmen … FEB, Studiedag Leraren Wiskunde, 6 mei 2010 Luc Lauwers

2. Notatie • Kiezers : N = {1, 2, …, n} • Alternatieven : A = {a, b, …} (eindig) • Elke kiezer ordent de alternatieven. • Is beter dan : a > b, • Is even goed : a ~ b, • Volledig en transitief.

3. Profielen • Zij P de verzameling van alle volledige en transitieve relaties in A. • Profiel : p = (>1, >2, …, >n). • Pnis de verzameling van alle profielen.

4. Stemprocedure • F : Pn A (>1, …, >n) | F(>1, …, >n) • Meerderheidsregel : • noteer voor elke kiezer het unieke alternatief dat bovenaan staat, • het alternatief dat het meest voorkomt, wordt sociaal gekozen.

5. Twee alternatieven • A = {a, b} • P : a > b of b > a of a ~ b • +1 -1 0 • Profiel : p = (+1, 0, +1, -1, 0).

6. Wenselijke eigenschappen • Zij F een stemprocedure. • Anonimiteit, • Neutraliteit, • Monotoniciteit, • …

7. Anonimiteit • De naam van de kiezer is niet relevant. • Voor alle profielen p en q in Pn, • Indien p en q aan elkaar gelijk zijn op de volgorde na, dan F(p) = F(q).

8. Neutraliteit • De naam van het alternatief is niet relevant. • Voor elke p in Pn, voor alle a en b in A • Zij F(p) = a. • Wissel overal in het profiel a en b om en bekom profiel p’. • Dan F(p’) = b.

9. Monotoniciteit • Zij p een profiel, zij F(p) = a. • Bekom een profiel p’ vanuit p door meer steun te geven aan a. • bij elke kiezer stijgt (zwak) alternatief a in de ranking. • Dan F(p’) = a.

10. Meerderheidsregel, A = {a, b} en P = { +1, -1, 0 }. • Zij F : PnPeen stemprocedure. • Sterke monotoniciteit • Zij p een profiel met F(p) in {0, +1}. • Zij p’ > p (ongelijkheid in Rn). • Dan F(p’) = +1. • Alternatief a krijgt meer steun. De sociale “ordening” beweegt van {0,+1}naar +1.

11. Meerderheidsregel, A = {a, b} en P = { +1, -1, 0 }. • Stelling. • Zij F : Pn P een anonieme, neutrale, en sterk monotone stemprocedure. • Dan F(p) = +1 zodra het profiel pméér +eentjes bevat dan –eentjes.

12. Bewijs • F is anoniem. Zij p een profiel. • De uitkomst F(p) wordt volledig bepaald door • p+ = aantal keer +1 in p, • p- = aantal keer -1 in p, • p0 = aantal keer 0 in p. • F is neutraal. F(-p) = - F(p). • herinner +1: a > b, -1: b > a, 0: a ~ b.

13. Neem een profiel p waarvoor p+= p-. • De profielen p en -p zijn op de volgorde na aan elkaar gelijk. • Anonimiteit: F(p) = F(-p). • Neutraliteit: F(-p) = - F(p). • Dus F(p) = 0.

14. Neem een profiel q met q+> q-. • Zij p een gepast profiel met p+= p- = q-. • Uit de vorige stap: F(p) = 0. • Vermits q > p (in Rn) geldt F(q) = +1. • Gebruik sterke monotoniciteit. • Een profiel q met q+< q-. Op dezelfde wijze. □

15. Referendum? • Europese grondwet : vóór of tegen. • Lange Wapper : vóór of tegen. • Complexe dossiers herleiden tot vóór of tegen. • Niet zinvol. • Dergelijk referendum = mislukking van de representatieve democratie.

16. Drie alternatieven, A = {a,b,c} • Meerderheidsregel ? • Voorbeeld : 21 kiezers • Alternatief: a a b c Aantal kiezers : 3 5 7 6 • Meerderheidsregel: a heeft 8 kiezers.

17. Volledige informatie • # Kiezers : 3 5 7 6, totaal 21. • Alternatief : a a b c b c c b c b a a • a versus b : 8 tegen 13, dus b>sociaala. • a versus c : 8 tegen 13, dus c>sociaala. • b versus c : 10 tegen 11, dus c>sociaalb. • c>sociaal b >sociaal a.

18. Condorcet-regel • Paarsgewijs aftoetsen van alternatieven. • Meerderheidsregel : a. • Condorcet : c >sociaal b >sociaal a, • Condorcetverliezer : a. • Meerderheidsregel (3 of meer alternatieven) zet soms een Condorcetverliezer bovenaan.

19. Condorcet lukt niet altijd • # Kiezers : 6 5 4 2, totaal 17. • Alternatief : a c b b b a c a c b a c • a versus b : 11 tegen 6, dus a>sociaalb. • a versus c : 8 tegen 9, dus c>sociaala. • b versus c : 12 tegen 5, dus b>sociaalc. • a>sociaalb >sociaalc>sociaala.

20. Condorcet consistentie • Vorig voorbeeld : Condorcet paradox. • Arrow’s theorema. • F is Condorcet consistent : • Voor elk profiel p met een Condorcet winnaar, geldt F(p) = Condorcet winnaar. • Meerderheidsregel {a, b} is Condorcet consistent.

21. Meerderheid met runoff • # Kiezers : 6 5 4 2, totaal 17. • Alternatief : a c b b b a c a c b a c • Eerste ronde : c niet weerhouden.

22. Meerderheid met runoff • # Kiezers : 6 5 4 2, totaal 17. • Alternatief : a □ b b b a □ a □ b a □ • Tweede ronde : a wint (11 tegen 6).

23. Meerderheid met runoff ?? • # Kiezers : 6 5 4 2, totaal 17. • Alternatief : a c b a (ipvb) b a c b (ipva) c b a c • Eerste ronde : b niet weerhouden. • Tweede ronde : c wint (9 tegen 8). (ipv a).

24. Meerderheid met runoff ?? • Is niet monotoon. • F(p) = a. • Alternatief a krijgt meer steun (profiel p’). • F(p’) = c.

25. Borda regel • # Kiezers : 7 7 1, totaal 15. • Alternatief : a b c Borda-score 2, b a aBorda-score 1, c c b Borda-score 0. • Scorea : 14+7+1 = 22. Score c : 2. • Scoreb : 7+14 = 21. Borda-winnaar:a.

26. Borda regel • # Kiezers : 7 7 1, totaal 15. • Alternatief : a b c Borda-score 2, b c a Borda-score 1, c a b Borda-score 0. • Scorea : 14+1 = 15. Score c : 9. • Scoreb : 7+14 = 21. Borda-winnaar:b.

27. Manipuleerbaarheid • Groepje van 7 “liegt”. • In plaats van b > a > c (ware voorkeur), • reveleren ze b > c > a. • De Borda-winnaar beweegt van a naar b. • Incentief om te liegen. • Meerderheidsregel {a, b} niet manipuleerbaar.

28. Simpson-regelmonotoon énCondorcet-consistent • # Kiezers : 3 3 5 4, totaal 15. • Alternatief : a a d b d d b c c b c a b c a d • Paarsgewijs aftasten: a • a > b: 6, a > c: 6, a > d: 10.

29. # Kiezers : 3 3 5 4, totaal 15. • Alternatief : a a d b d d b c c b c a b c a d • a > b: 6, a > c: 6, a > d: 10.  • b > a: 9, b > c: 12, b > d: 4. • c > a: 9, c > b: 3, c > d: 4. • d > a: 5, d > b: 11, d > c: 11. • Hoogste “laagste score”: alternatief a.

30. # Kiezers : 3 3 5 4 4totaal 19. • Alternatief : a a d b c d d b c a c b c a b b c a d d • a > b: 10, a > c: 6, a > d: 14. • b > a: 9, b > c: 12, b > d: 8.  • c > a: 13, c > b: 7, c > d: 8. • d > a: 5, d > b: 11, d > c: 11. • Hoogste “laagste score”: alternatief b. • Oorspronkelijk profiel: alternatief a.

31. The no show paradox • Oorspronkelijk profiel: alternatief a. • Indien deze vier kiezers komen opdagen, • dan alternatief b. • Deze vier kiezers: c > a > b > d. • Door weg te blijven, steun geven aan a. • … Kiezen en Verliezen.

32. Stelling • JoaquinPérez (2001) • “The strongno show paradoxes are a commonflaw in Condorcetvotingcorrespondences” • Socialchoice and welfare 18:601-616. • Verdere literatuur: Donald Saari.