1 / 91

KOMBINATORIAL

MATEMATIKA DISKRIT. K-9. KOMBINATORIAL. Departemen Matematika Fakultas MIPA Universitas Indonesia. Pendahuluan. Kombinatorial adalah cabang matematika untuk menghitung banyaknya penyusunan objek-objek tanpa harus mengenumerasi semua kemungkinan susunannya. Pendahuluan.

gunnar
Download Presentation

KOMBINATORIAL

An Image/Link below is provided (as is) to download presentation Download Policy: Content on the Website is provided to you AS IS for your information and personal use and may not be sold / licensed / shared on other websites without getting consent from its author. Content is provided to you AS IS for your information and personal use only. Download presentation by click this link. While downloading, if for some reason you are not able to download a presentation, the publisher may have deleted the file from their server. During download, if you can't get a presentation, the file might be deleted by the publisher.

E N D

Presentation Transcript

  1. MATEMATIKA DISKRIT K-9 KOMBINATORIAL DepartemenMatematika FakultasMIPA Universitas Indonesia Matematika Diskrit

  2. Pendahuluan Kombinatorialadalahcabangmatematikauntukmenghitungbanyaknyapenyusunanobjek-objektanpaharusmengenumerasisemuakemungkinansusunannya. Matematika Diskrit

  3. Pendahuluan Sebuahpassword panjangnya 6 sampai 8 karakter. Karakterbolehberupahurufatauangka. Berapabanyakkemungkinanpassword yang dapatdibuat? abcdef aaaade a123fr … er1sm4n k0mput3r … ???? Matematika Diskrit

  4. Kaidah Dasar Menghitung • Kaidahperkalian (rule of product) Percobaan 1: phasil Percobaan 2: qhasil Percobaan 1 danpercobaan 2: pqhasil • Kaidahpenjumlahan (rule of sum) Percobaan 1: phasil Percobaan 2: qhasil Percobaan 1 ataupercobaan 2: p + qhasil Matematika Diskrit

  5. Ketuaangkatan2011 hanya 1 orang (priaatauwanita, tidak bias gender). banyakpria= 65 orangdanbanyakwanita = 15 orang. Berapabanyakcaramemilihketuaangkatan? Penyelesaian: 65 + 15 = 80 cara. • Duaorangperwakilanangkatan 2011 mendatangaiBapakDosenuntukprotesnilaiujian. Wakil yang dipilih 1 orangpriadan 1 orangwanita. Berapabanyakcaramemilih 2 orangwakiltesrebut? Penyelesaian: 65  15 = 975 cara. Matematika Diskrit

  6. Perluasan Kaidah Dasar Menghitung Misalkanadanpercobaan, masing-masing dg pihasil 1. Kaidahperkalian (rule of product) p1p2 … pnhasil 2. Kaidahpenjumlahan (rule of sum) p1 + p2 + … + pnhasil Matematika Diskrit

  7. Contoh 3 : • Bit binerhanya 0 dan 1. Berapabanyakstringbiner yang dapatdibentukjika: (a) panjangstring 5 bit (b) panjangstring 8 bit (= 1 byte) Penyelesaian: (a) 2  2  2  2  2 = 25 = 32 buah (b) 28 = 256 buah Matematika Diskrit

  8. Contoh 4 : • Berapabanyakbilanganganjildari 1000 sampaidengan 9999 yang : (a) semuaangkanyaberbeda (b) bolehadaangka yang berulang. Matematika Diskrit

  9. Penyelesaian: (a) posisisatuan: 5 kemungkinanangka (1, 3, 5, 7, 9) posisiribuan: 8 kemungkinanangka posisiratusan: 8 kemungkinanangka posisipuluhan: 7 kemungkinanangka Banyakbilanganganjilseluruhnya = (5)(8)(8)(7) = 2240 (b)posisisatuan: 5 kemungkinanangka (yaitu 1, 3, 5, 7 & 9); posisiribuan: 9 kemungkinanangka (1 sampai 9) posisiratusan: 10 kemungkinanangka (0 sampai 9) posisipuluhan: 10 kemungkinanangka (0 sampai 9) Banyakbilanganganjilseluruhnya = (5)(9)(10)(10) = 4500 Matematika Diskrit

  10. Contoh 5 Ditetapkanbahwapasswordsuatusistemkomputerpanjangnya 6 sampai 8 karakter. Tiapkarakterbolehberupahurufatauangka; hurufbesardanhurufkeciltidakdibedakan. Berapabanyakpassword yang dapatdibuat? Matematika Diskrit

  11. Penyelesaian: banyakkarakterpassword = 26 (A-Z) + 10 (0-9) = 36 banyakkemungkinanpassworddenganpanjang 6 karakter: (36)(36)(36)(36)(36)(36) = 366 = 2.176.782.336 banyakkemungkinanpassworddenganpanjang 7 karakter: (36)(36)(36)(36)(36)(36)(36) = 367 = 78.364.164.096 umlahkemungkinanpassworddenganpanjang 8 karakter: (36)(36)(36)(36)(36)(36)(36)(36) = 368 = 2.821.109.907.456 banyakseluruhpassword(kaidahpenjumlahan) adalah   2.176.782.336 + 78.364.164.096 + 2.821.109.907.456 = 2.901.650.833.888 buah. Matematika Diskrit

  12. Prinsip Inklusi-Eksklusi Matematika Diskrit

  13. Permutasi Matematika Diskrit

  14. Matematika Diskrit

  15. Definisi: Permutasiadalahbanyakurutanberbedadaripengaturanobjek-objek. • Permutasimerupakanbentukkhususaplikasikaidahperkalian. • Misalkanbanyakobjekadalahn, maka • urutanpertamadipilihdarinobjek, • urutankeduadipilihdarin – 1 objek, • urutanketigadipilihdarin – 2 objek, • … • urutanterakhirdipilihdari 1 objek yang tersisa. Menurutkaidahperkalian, permutasidarinobjekadalah n(n – 1) (n – 2) … (2)(1) = n! Matematika Diskrit

  16. Contoh 6. Berapa banyak “kata” yang terbentuk dari kata “HAPUS”? Penyelesaian: Cara 1: (5)(4)(3)(2)(1) = 120 buah kata Cara 2: P(5, 5) = 5! = 120 buah kata • Contoh 7. Berapa banyak cara mengurutkan nama 25 orang mahasiswa? Penyelesaian: P(25, 25) = 25! Matematika Diskrit

  17. Permutasi r dari n elemen • Adaenambuah bola yang berbedawarnanyadan 3 buahkotak. Masing-masingkotakhanyabolehdiisi 1 buah bola. Berapabanyakurutanberbeda yang mungkindibuatdaripenempatan bola kedalamkotak-kotaktersebut? Matematika Diskrit

  18. Permutasi r dari n elemen Penyelesaian: kotak 1 dapatdiisiolehsalahsatudari 6 bola (6 pilihan); kotak 2 dapatdiisiolehsalahsatudari 5 bola (5 pilihan); kotak 3 dapatdiisiolehsalahsatudari 4 bola (4 pilihan). Jadibanyaknyaurutanberbedadaripenempatan bola = (6)(5)(4) = 120 Matematika Diskrit

  19. SecaraUmum : Adanbuah bola yang berbedawarnanyadanrbuahkotak (rn), maka kotakke-1 dapatdiisiolehsalahsatudarinbola  (npilihan) kotakke-2 dapatdiisiolehsalahsatudari (n – 1) bola (n–1 pilihan) kotakke-3 dapatdiisiolehsalahsatudari (n – 2) bola (n– 2) pilihan … kotakke-rdapatdiisiolehsalahsatudari (n–(r – 1)) bola  (adan – r + 1 pilihan) banyakurutanberbedadaripenempatan bola adalah: n(n– 1)(n – 2)…(n – (r – 1)) Matematika Diskrit

  20. Matematika Diskrit

  21. Contoh 7 : Berapakahbanyakkemungkinanmembentuk 3 angkadari 5 angkaberikut : 1, 2, 3, 4 , 5, jika: (a) tidakbolehadapengulanganangka, (b) bolehadapengulanganangka. Matematika Diskrit

  22. Contoh 7 : Penyelesaian: (a) Dengankaidahperkalian : (5)(4)(3) = 120 buah Denganrumuspermutasi P(5, 3) = 5!/(5 – 3)! = 120 (b) Tidakdapatdiselesaikandengan rumuspermutasi. Dengankiadahperkalian: (5)(5)(5) = 53 = 125. Matematika Diskrit

  23. Contoh 8 : Kodebukudisebuahperpustakaanpanjangnya 7 karakter, terdiridari 4 hurufberbedadandiikutidengan 3 angka yang berbeda pula? Penyelesaian: P(26, 4) P(10,3) = 258.336.000 Matematika Diskrit

  24. Contoh 8b : Angka 1, 2, 3, 4 disusunkedalambentuk 24 bilangan 4 digit yang berbeda. Jika ke-24 bilangantersebutdisusundari yang terkecilsampai yang terbesar, makatentukanposisidaribilangan3214 ? Penyelesaian: bilangandiawaliangka 1 ada 6 bilpertama bilangandiawaliangka 2 ada 6 bilkedua bilangandiawaliangka 3 ada 6 bilketiga : 3124, 3142, 3214, 3241, 3412, 3421 Jadibilangan 3142 adapadaposisi ke-15 Matematika Diskrit

  25. Contoh 8c : SuatubilanganbulatpositifdisebutPalindromjika digit-digitnyadibacadaridepandanbelakangsamanilainya (misal : 1,33, 272, 1881). Berapabanyakbilangan palindrome paling banyak 3 digit yang dapatdisusundariangka-angka 5,6, dan 7 ? KASUR NABABAN RUSAK Jawab : Palindrom 1 digit  3 bilangan Palindrom 2 digit  3 bilangan Palindrom 3 digit  9 bilangan Jadi total ada 3 + 3 + 9 = 15 bilangan Matematika Diskrit

  26. Latihan : 6. TerdapatpasanganbilanganPalindrom 4 digit yang jikasalingdijumlahkanakanmenghasilkanbilanganPalindrom 5 digit. (misal : 2882 + 9339 = 12221). BerapabanyakbilanganPalindrom 4 digit tersebut ? Matematika Diskrit

  27. Contoh 8d : Mari kitapikirkanbilanganganjildari 1 sampaidengan 303. Berapa kali angka 3 muncul ? Jawab : Padasatuan : 3, 13, 23, 33, 43, 53, 63, 73, 83, 93 1-100 : 10x 101-200 : 10x 201-300 : 10x 301-303 : 1x  31x Padapuluhan : 31, 33, 35, 37, 39 1-100 : 5x 101-200 : 5x 201-300 : 5x 301-303 : 0x  15x Padaratusan : 301-303 : 2x  2x Jadi total ada 31 + 15 + 2 = 48 kali munculangka 3 Matematika Diskrit

  28. Soal 8e : • Alamsyah menulis bilangan dari : 1, 2, 3, 4, ..., 2010, 2011, 2012. Berapa banyak angka 2 yang dia tulis tersebut ? Departemen Matematika FMIPA UI

  29. Jawaban 8e : Padasatuan : 2, 12, 22, 32, 42, 52, 62, 72, 82, 92 1-100 : 10x 1-1000 : 100x 1001-2000: 100x 2001-2012 : 2x  202x Padapuluhan : 20, 21, 22, 23, 24, 25, 26, 27, 28, 29 1-100 : 10x 1-1000 : 100x 1001-2000: 100x 2001-2012 : 0x  200x Padaratusan : 200, 201, 202, 203, …, 299 1-1000 : 100x 1001-2000 : 100x 2001-2012: 0x  200x Padaribuan : 2000, 2001, 2002, 2003, …,2012  13x Jadi total ada 202 + 200 + 200 + 13 = 615 kali angka 2 yang Alamsyahtulis. Struktur Diskrit

  30. Soal 8f : • Putri menulis bilangan dari : 1, 2, 3, 4, ..., 2010, 2011, 2012. Berapa banyak digit (angka) yang dia tulis tersebut ? Matematika Diskrit

  31. JawabanSoal 18 : • jikabilangan yang Putritulissemuanya 4 digit (ribuan) makaada 4 x 2012 = 8048 digit. • bilangandibawah 1000 akankurang 1 digit  kurang 999 digit • bilangandibawah 100 akankurang 2 digit  99 digit • bilangandibawah 10 akankurang 3 digit  9 digit • Sehinggabanyaknya digit yang ditulisPutriadalah 8048 – 9 – 99 – 999 = 6941 digit Matematika Diskrit

  32. Kombinasi • Bentukkhususdaripermutasiadalahkombinasi. Jikapadapermutasiurutankemunculandiperhitungkan, makapadakombinasi, urutankemunculandiabaikan. • Misalkanada 2 buah bola yang warnanyasamadan 3 buahkotak. Setiapkotakhanyabolehberisi paling banyak 1 bola. Banyaknyacaramemasukkan bola kedalamkotaktersebutadalah .... Matematika Diskrit

  33. Matematika Diskrit

  34. Kombinasi Matematika Diskrit

  35. Matematika Diskrit

  36. Kombinasi • C(n, r) seringdibaca "ndiambilr", artinyarobjekdiambildarinbuahobjek. • Definisi 3.Kombinasirelemendarinelemen, atauC(n, r), adalahbanyakpemilihan yang tidakterurutrelemen yang diambildarinbuahelemen. Matematika Diskrit

  37. Interpretasi Kombinasi Matematika Diskrit

  38. 2. C(n, r) = caramemilihrbuahelemendarinbuahelemen yang ada, tetapiurutanelemendidalamsusunanhasilpemilihantidakpenting. Contoh: Berapabanyakcaramembentukpanitia (komite, komisi, dsb) yang beranggotakan 5 orangorangdarisebuahfraksidi DPR yang beranggotakan 25 orang? Matematika Diskrit

  39. Penyelesaian: Panitiaataukomiteadalahkelompok yang tidakterurut, artinyasetiapanggotadidalampanitiakedudukannyasama. Misal lima orang yang dipilih, A, B, C, D, dan E, makaurutanpenempatanmasing-masingnyadidalampanitiatidakpenting (ABCDE samasajadengan BACED, ADCEB, danseterusnya). Banyaknyacaramemilihanggotapanitia yang terdiridari 5 oranganggotaadalahC(25,5) = 53130 cara. Matematika Diskrit

  40. Contoh 9 : Di antara 8 orangmahasiswaMatematika UI Angkatan 2011, berapabanyakcaramembentuksebuahperwakilanberanggotakan 4 orangsehingga: • mahasiswabernamaAselalutermasukdidalamnya; • mahasiswabernamaAtidaktermasukdidalamnya; • mahasiswabernamaAselalutermasukdidalamnya, tetapiBtidak; • mahasiswabernamaBselalutermasukdidalamnya, tetapiAtidak; • mahasiswabernamaAdanBtermasukdidalamnya; • setidaknyasalahsatudarimahasiswa yang bernamaAatauBtermasukdidalamnya. Matematika Diskrit

  41. PenyelesaianContoh 9 : • Banyaknya cara untukmembentukperwakilanyang beranggotakan 4 orang sehingga Aselalu termasuk didalamnya adalah : • Banyaknya cara untukmembentukperwakilanyang beranggotakan 4 orang sehingga Atidaktermasukdi dalamnya adalah : Matematika Diskrit

  42. PenyelesaianContoh 9 : • Banyaknyacarauntukmembentukperwakilan yang beranggotakan 4 orangsehinggaAselalutermasukdidalamnyatetapiBtidak, adalah : • Banyaknyacarauntukmembentukperwakilan yang beranggotakan 4 orangsehinggaBselalutermasukdidalamnyatetapiAtidak, adalah : Matematika Diskrit

  43. PenyelesaianContoh 9 : • Banyaknyacarauntukmembentukperwakilan yang beranggotakan 4 orangsehinggaA dan Bselalutermasukdidalamnya, adalah : Matematika Diskrit

  44. PenyelesaianContoh 9 : • Banyaknyacarauntukmembentukperwakilan yang beranggotakan 4 orangsetidaknyasalahsatudarimahasiswa yang bernamaAatauBtermasukdidalamnya, adalah : • A termasukdidalamnyadan B tidak, atau • B termasukdidalamnyadan A tidak, atau • A dan B termasukdidalamnya • Jadibanyaknyaadalah 20 + 20 + 15 = 55 Matematika Diskrit

  45. PenyelesaianContoh 9 : • MenggunakanPrinsipInklusi-Eksklusi • X = banyakcaramembentukperwakilanmenyertakanA • Y = banyakcaramembentukperwakilanmenyertakanB • XY = banyakcaramembentukperwakilanmenyertakan AdanB, maka • X = C(7, 3) = 35; • Y = C(7, 3) = 35; • XY= C(6, 2) = 15; • XY = X + Y - XY= 35 + 35 – 15 = 55 • Jadibanyaknyaadalah 35 + 35 -15 = 55 Matematika Diskrit

  46. PermutasidanKombinasiBentukUmum Matematika Diskrit

  47. Matematika Diskrit

  48. Matematika Diskrit

  49. Matematika Diskrit

  50. Contoh 10: Berapabanyak “kata” yang dapatdibentukdenganmenggunakanhuruf-hurufdarikataMISSISSIPPI? Penyelesaian: U = { M, I, S, S, I, S, S, I, P , P , I } hurufM = 1 buah (n1) hurufI = 4 buah (n2) hurufS = 4 buah (n3) hurufP = 2 buah (n4) n = 1 + 4 + 4 + 2 = 11 buah = | U | Matematika Diskrit

More Related