1 / 67

KOMBINATORIAL

STRUKTUR DISKRIT. K-1. KOMBINATORIAL. Program Studi Teknik Komputer Departemen Teknik Elektro Fakultas Teknik Universitas Indonesia. Pendahuluan.

vanida
Download Presentation

KOMBINATORIAL

An Image/Link below is provided (as is) to download presentation Download Policy: Content on the Website is provided to you AS IS for your information and personal use and may not be sold / licensed / shared on other websites without getting consent from its author. Content is provided to you AS IS for your information and personal use only. Download presentation by click this link. While downloading, if for some reason you are not able to download a presentation, the publisher may have deleted the file from their server. During download, if you can't get a presentation, the file might be deleted by the publisher.

E N D

Presentation Transcript

  1. STRUKTUR DISKRIT K-1 KOMBINATORIAL Program StudiTeknikKomputer DepartemenTeknikElektro FakultasTeknikUniversitas Indonesia Struktur Diskrit

  2. Pendahuluan Sebuahpassword panjangnya 6 sampai 8 karakter. Karakterbolehberupahurufatauangka. Berapabanyakkemungkinanpassword yang dapatdibuat? abcdef aaaade a123fr … er1sm4n k0mput3r … ???? Struktur Diskrit

  3. Definisi Kombinatorialadalahcabangmatematikauntukmenghitungjumlahpenyusunanobjek-objektanpaharusmengenumerasisemuakemungkinansusunannya. Struktur Diskrit

  4. Kaidah Dasar Menghitung • Kaidahperkalian (rule of product) Percobaan 1: phasil Percobaan 2: qhasil Percobaan 1 danpercobaan 2: pqhasil • Kaidahpenjumlahan (rule of sum) Percobaan 1: phasil Percobaan 2: qhasil Percobaan 1 ataupercobaan 2: p + qhasil

  5. Ketuaangkatan2008 hanya 1 orang (priaatauwanita, tidak bias gender). Jumlahpria= 65 orangdanjumlahwanita = 15 orang. Berapabanyakcaramemilihketuaangkatan? Penyelesaian: 65 + 15 = 80 cara. • Duaorangperwakilanangkatan 2008 mendatangaiBapakDosenuntukprotesnilaiujian. Wakil yang dipilih 1 orangpriadan 1 orangwanita. Berapabanyakcaramemilih 2 orangwakiltesrebut? Penyelesaian: 65  15 = 975 cara.

  6. Perluasan Kaidah Dasar Menghitung Misalkanadanpercobaan, masing-masing dg pihasil 1. Kaidahperkalian (rule of product) p1p2 … pnhasil 2. Kaidahpenjumlahan (rule of sum) p1 + p2 + … + pnhasil

  7. Contoh 3 : • Bit binerhanya 0 dan 1. Berapabanyakstringbiner yang dapatdibentukjika: (a) panjangstring 5 bit (b) panjangstring 8 bit (= 1 byte) Penyelesaian: (a) 2  2  2  2  2 = 25 = 32 buah (b) 28 = 256 buah

  8. Contoh 4 : • Berapabanyakbilanganganjildari 1000 sampaidengan 9999 yang : (a) semuaangkanyaberbeda (b) bolehadaangka yang berulang.

  9. Struktur Diskrit

  10. Penyelesaian: (a) posisisatuan: 5 kemungkinanangka (1, 3, 5, 7, 9) posisiribuan: 8 kemungkinanangka posisiratusan: 8 kemungkinanangka posisipuluhan: 7 kemungkinanangka Banyakbilanganganjilseluruhnya = (5)(8)(8)(7) = 2240 (b)posisisatuan: 5 kemungkinanangka (yaitu 1, 3, 5, 7 & 9); posisiribuan: 9 kemungkinanangka (1 sampai 9) posisiratusan: 10 kemungkinanangka (0 sampai 9) posisipuluhan: 10 kemungkinanangka (0 sampai 9) Banyakbilanganganjilseluruhnya = (5)(9)(10)(10) = 4500

  11. Contoh 5 Ditetapkanbahwapasswordsuatusistemkomputerpanjangnya 6 sampai 8 karakter. Tiapkarakterbolehberupahurufatauangka; hurufbesardanhurufkeciltidakdibedakan. Berapabanyakpassword yang dapatdibuat? Struktur Diskrit

  12. Penyelesaian: Jumlahkarakterpassword = 26 (A-Z) + 10 (0-9) = 36 Jumlahkemungkinanpassworddenganpanjang 6 karakter: (36)(36)(36)(36)(36)(36) = 366 = 2.176.782.336 Jumlahkemungkinanpassworddenganpanjang 7 karakter: (36)(36)(36)(36)(36)(36)(36) = 367 = 78.364.164.096 umlahkemungkinanpassworddenganpanjang 8 karakter: (36)(36)(36)(36)(36)(36)(36)(36) = 368 = 2.821.109.907.456 Jumlahseluruhpassword(kaidahpenjumlahan) adalah   2.176.782.336 + 78.364.164.096 + 2.821.109.907.456 = 2.901.650.833.888 buah.

  13. Prinsip Inklusi-Eksklusi

  14. Permutasi

  15. Definisi: Permutasi adalah jumlah urutan berbeda dari pengaturan objek-objek. • Permutasi merupakan bentuk khusus aplikasi kaidah perkalian. • Misalkan jumlah objek adalah n, maka •  urutan pertama dipilih dari n objek, • urutan kedua dipilih dari n – 1 objek, • urutan ketiga dipilih dari n – 2 objek, • … • urutan terakhir dipilih dari 1 objek yang tersisa. Menurut kaidah perkalian, permutasi dari n objek adalah n(n – 1) (n – 2) … (2)(1) = n!

  16. Contoh 6. Berapa banyak “kata” yang terbentuk dari kata “HAPUS”? Penyelesaian: Cara 1: (5)(4)(3)(2)(1) = 120 buah kata Cara 2: P(5, 5) = 5! = 120 buah kata • Contoh 7. Berapa banyak cara mengurutkan nama 25 orang mahasiswa? Penyelesaian: P(25, 25) = 25!

  17. Permutasi r dari n elemen • Adaenambuah bola yang berbedawarnanyadan 3 buahkotak. Masing-masingkotakhanyabolehdiisi 1 buah bola. Berapajumlahurutanberbeda yang mungkindibuatdaripenempatan bola kedalamkotak-kotaktersebut?

  18. Permutasi r dari n elemen Penyelesaian: kotak 1 dapatdiisiolehsalahsatudari 6 bola (6 pilihan); kotak 2 dapatdiisiolehsalahsatudari 5 bola (5 pilihan); kotak 3 dapatdiisiolehsalahsatudari 4 bola (4 pilihan). Jadibanyaknyaurutanberbedadaripenempatan bola = (6)(5)(4) = 120

  19. SecaraUmum : Adanbuah bola yang berbedawarnanyadanrbuahkotak (rn), maka kotakke-1 dapatdiisiolehsalahsatudarinbola  (npilihan) kotakke-2 dapatdiisiolehsalahsatudari (n – 1) bola (n–1 pilihan) kotakke-3 dapatdiisiolehsalahsatudari (n – 2) bola (n– 2) pilihan … kotakke-rdapatdiisiolehsalahsatudari (n–(r – 1)) bola  (adan – r + 1 pilihan) Jumlahurutanberbedadaripenempatan bola adalah: n(n– 1)(n – 2)…(n – (r – 1))

  20. Contoh 7 : Berapakahjumlahkemungkinanmembentuk 3 angkadari 5 angkaberikut : 1, 2, 3, 4 , 5, jika: (a) tidakbolehadapengulanganangka, (b) bolehadapengulanganangka. Struktur Diskrit

  21. Contoh 7 : Penyelesaian: (a) Dengankaidahperkalian : (5)(4)(3) = 120 buah Denganrumuspermutasi P(5, 3) = 5!/(5 – 3)! = 120 (b) Tidakdapatdiselesaikandengan rumuspermutasi. Dengankiadahperkalian: (5)(5)(5) = 53 = 125. Struktur Diskrit

  22. Contoh 8 : Kodebukudisebuahperpustakaanpanjangnya 7 karakter, terdiridari 4 hurufberbedadandiikutidengan 3 angka yang berbeda pula? Penyelesaian: P(26, 4) P(10,3) = 258.336.000 Struktur Diskrit

  23. Contoh 8b : Angka 1, 2, 3, 4 disusunkedalambentuk 24 bilangan 4 digit yang berbeda. Jika ke-24 bilangantersebutdisusundari yang terkecilsampai yang terbesar, makatentukanposisidaribilangan3142 ? Penyelesaian: bilangandiawaliangka 1 ada 6 bilpertama bilangandiawaliangka 2 ada 6 bilkedua bilangandiawaliangka 3 ada 6 bilketiga : 3124, 3142, 3214, 3241, 3412, 3421 Jadibilangan 3142 adapadaposisi ke-14 Struktur Diskrit

  24. Contoh 8c : SuatubilanganbulatpositifdisebutPalindromjika digit-digitnyadibacadaridepandanbelakangsamanilainya (misal : 1,33, 272, 1881). Berapabanyakbilangan palindrome paling banyak 3 digit yang dapatdisusundariangka-angka 5,6, dan 7 ? Jawab : Palindrom 1 digit  3 bilangan Palindrom 2 digit  3 bilangan Palindrom 3 digit  9 bilangan Jadi total ada 3 + 3 + 9 = 15 bilangan Struktur Diskrit

  25. Contoh 8d : Mari kitapikirkanbilanganganjildari 1 sampai dengan 301. Berapa kali angka 3 muncul ? Jawab : Pada satuan : 3, 13, 23, 33, 43, 53, 63, 73, 83, 93 1-100 : 10x 101-200 : 10x 201-301 : 10x  30x Pada puluhan : 31, 33, 35, 37, 39 1-100 : 5x 101-200 : 5x 201-301 : 5x  15x Pada ratusan : 301  1x Jadi total ada 30 + 15 + 1 = 46 kali muncul angka 3 Struktur Diskrit

  26. Kombinasi • Bentukkhususdaripermutasiadalahkombinasi. Jikapadapermutasiurutankemunculandiperhitungkan, makapadakombinasi, urutankemunculandiabaikan. • Misalkanada 2 buah bola yang warnanyasamadan 3 buahkotak. Setiapkotakhanyabolehberisi paling banyak 1 bola. Banyaknyacaramemasukkan bola kedalamkotaktersebutadalah ....

  27. Kombinasi

  28. Kombinasi • C(n, r) seringdibaca "ndiambilr", artinyarobjekdiambildarinbuahobjek. • Definisi 3.Kombinasirelemendarinelemen, atauC(n, r), adalahjumlahpemilihan yang tidakterurutrelemen yang diambildarinbuahelemen.

  29. Interpretasi Kombinasi

  30. 2. C(n, r) = caramemilihrbuahelemendarinbuahelemen yang ada, tetapiurutanelemendidalamsusunanhasilpemilihantidakpenting. Contoh: Berapabanyakcaramembentukpanitia (komite, komisi, dsb) yang beranggotakan 5 orangorangdarisebuahfraksidi DPR yang beranggotakan 25 orang? Struktur Diskrit

  31. Penyelesaian: Panitiaataukomiteadalahkelompok yang tidakterurut, artinyasetiapanggotadidalampanitiakedudukannyasama. Misal lima orang yang dipilih, A, B, C, D, dan E, makaurutanpenempatanmasing-masingnyadidalampanitiatidakpenting (ABCDE samasajadengan BACED, ADCEB, danseterusnya). Banyaknyacaramemilihanggotapanitia yang terdiridari 5 oranganggotaadalahC(25,5) = 53130 cara. Struktur Diskrit

  32. Contoh 9 : Di antara 8 orangmahasiswaTeknikKomputerAngkatan 2009, berapabanyakcaramembentuksebuahperwakilanberanggotakan 4 orangsehingga: • mahasiswabernamaAselalutermasukdidalamnya; • mahasiswabernamaAtidaktermasukdidalamnya; • mahasiswabernamaAselalutermasukdidalamnya, tetapiBtidak; • mahasiswabernamaBselalutermasukdidalamnya, tetapiAtidak; • mahasiswabernamaAdanBtermasukdidalamnya; • setidaknyasalahsatudarimahasiswa yang bernamaAatauBtermasukdidalamnya. Struktur Diskrit

  33. PenyelesaianContoh 9 : • Banyaknya cara untukmembentukperwakilanyang beranggotakan 4 orang sehingga Aselalu termasuk didalamnya adalah : • Banyaknya cara untukmembentukperwakilanyang beranggotakan 4 orang sehingga Atidaktermasukdi dalamnya adalah : Struktur Diskrit

  34. PenyelesaianContoh 9 : • Banyaknyacarauntukmembentukperwakilan yang beranggotakan 4 orangsehinggaAselalutermasukdidalamnyatetapiBtidak, adalah : • Banyaknyacarauntukmembentukperwakilan yang beranggotakan 4 orangsehinggaBselalutermasukdidalamnyatetapiAtidak, adalah : Struktur Diskrit

  35. PenyelesaianContoh 9 : • Banyaknyacarauntukmembentukperwakilan yang beranggotakan 4 orangsehinggaA dan Bselalutermasukdidalamnya, adalah : Struktur Diskrit

  36. PenyelesaianContoh 9 : • Banyaknyacarauntukmembentukperwakilan yang beranggotakan 4 orangsetidaknyasalahsatudarimahasiswa yang bernamaAatauBtermasukdidalamnya, adalah : • A termasukdidalamnyadan B tidak, atau • B termasukdidalamnyadan A tidak, atau • A dan B termasukdidalamnya • Jadibanyaknyaadalah 20 + 20 + 15 = 55 StrukturDiskrit

  37. PenyelesaianContoh 9 : • MenggunakanPrinsipInklusi-Eksklusi • X = banyakcaramembentukperwakilanmenyertakanA • Y = banyakcaramembentukperwakilanmenyertakanB • XY = banyakcaramembentukperwakilanmenyertakan AdanB, maka • X = C(7, 3) = 35; • Y = C(7, 3) = 35; • XY= C(6, 2) = 15; • XY = X + Y - XY= 35 + 35 – 15 = 55 • Jadibanyaknyaadalah 35 + 35 -15 = 55 StrukturDiskrit

  38. PermutasidanKombinasiBentukUmum

  39. Contoh 10: Berapabanyak “kata” yang dapatdibentukdenganmenggunakanhuruf-hurufdarikataMISSISSIPPI? Penyelesaian: U = { M, I, S, S, I, S, S, I, P , P , I } hurufM = 1 buah (n1) hurufI = 4 buah (n2) hurufS = 4 buah (n3) hurufP = 2 buah (n4) n = 1 + 4 + 4 + 2 = 11 buah = | U | Struktur Diskrit

  40. Contoh 10: Cara 1: Permutasi Banyaknyakata yang dapatdibentukadalah : Struktur Diskrit

  41. Contoh 10: Cara 2: Kombinasi Banyaknyakata yang dapatdibentukadalah : Struktur Diskrit

  42. Contoh 11: Berapabanyak “kata” yang dapatdibentukdenganmenggunakanhuruf-hurufdarikataMATEMATIKA ? Penyelesaian: Struktur Diskrit

  43. Contoh 12: Berapabanyakcaramembagikan 8 buahmanggakepada 3 oranganak, bila Billy mendapatempatbuahmangga, danAndiserta Toni masing-masingmemperoleh 2 buahmangga. Penyelesaian: n = 8, n1 = 4, n2 = 2, n3 = 2, dann1 + n2 + n3 = 8 Banyaknyacaramembagiseluruhmangga = Struktur Diskrit

More Related