KOMBINATORIAL DAN PELUANG DISKRIT

KOMBINATORIAL DAN PELUANG DISKRIT MATEMATIKA DISKRIT

Materi • Kaidah Menghitung • Inklusi-Eksklusi • Permutasi • Kombinasi

KOMBINATORIAL(COMBINATORIC) • Adalah : cabang matematika yang mempelajari pengaturan objek-objek • Solusi yang diperoleh dengan kombinatorial adalah jumlah cara pengaturan objek-objek tertentu di dalam himpunannya

Kaidah Dasar Menghitung • Kaidah perkalian (rule of product) • Kaidah penjumlahan (rule of sum)

Kaidah Perkalian (Rule of Product) • Percobaan 1 mempunyai p hasil percobaan yang mungkin terjadi (atau menghasilkan p kemungkinan jawaban) • Percobaan 2 mempunyai q hasil percobaan yang mungkin terjadi (atau menghasilkan q kemungkinan jawaban) percobaan 1 dan 2 dilakukan • Maka terdapat p x q hasil percobaan (atau menghasilkan p x q kemungkinan jawaban)

Kaidah Penjumlahan (Rule of Sum) • Percobaan 1 mempunyai p hasil percobaan yang mungkin terjadi (atau menghasilkan p kemungkinan jawaban) • Percobaan 2 mempunyai q hasil percobaan yang mungkin terjadi (atau menghasilkan q kemungkinan jawaban) percobaan 1 atau 2 dilakukan (hanya satu percobaan saja dilakukan) • Maka terdapat p + q hasil percobaan (atau menghasilkan p + q kemungkinan jawaban)

Perbedaan Kaidah Perkalian dan Penjumlahan • Kaidah Perkalian kedua percobaan dilakukan secara simultan atau serempak • Kaidah Penjumlahan kedua percobaan dilakukan tidak simultan

Contoh 1 Sebuah restoran menyediakan lima jenis makanan, yaitu nasi goreng, roti, soto ayam, sate dan sop. Serta tiga jenis minuman, yaitu susu, kopi dan teh. Jika setiap orang boleh memesan satu minuman dan satu minuman, berapa banyak pasangan makanan dan minuman yang dapat dipesan?

Susu Kopi Teh Nasi goreng Susu Kopi Teh Roti Susu Kopi Teh Soto ayam Susu Kopi Teh Sate Susu Kopi Teh Sop Solusi Gunakan diagram pohon untuk menentukan jumlah pasangan makanan dan minuman yang dapat dipesan p = 5  jenis makanan q = 3  jenis minuman P x q = 5 x 3 = 15 pasang

Contoh 2 Sekelompok mahasiswa terdiri atas 4 orang pria dan 3 orang wanita. Berapa jumlah cara memilih satu orang yang mewakili kelompok tersebut (tidak peduli pria atau wanita)

Solusi • Ada 4 kemungkinan memilih satu wakil pria  p = 4 • Ada 3 kemungkinan memilih satu wakil wanita  q = 3 • Jika hanya satu orang wakil yang harus dipilih (pria atau wanita), maka jumlah kemungkinan wakil yang dapat dipilih adalah p + q = 4 + 3 = 7 cara

Perluasan Kaidah Menghitung • Jika n buah percobaan masing-masing mempunyai p1, p2, …, pn, hasil percobaan yang mungkin terjadi dalam hal ini setiap pitidak bergantungpada pilihan sebelumnya maka jumlah hasil percobaan yang mungkin terjadi adalah : (a) p1 x p2 x … pn kaidah perkalian (b) p1 + p2 + … pn kaidah penjumlahan

Contoh 3 • Jika ada sepuluh pertanyaan yang masing-masing bisa dijawab Benar (B) atau Salah (S), berapakah kemungkinan kombinasi jawaban yang dapat dibuat

Solusi • Misalkan 10 pertanyaan tersebut sebagai 10 buah kotak, masing-masing kotak hanya berisi 2 kemungkinan jawaban, B atau S B/SB/SB/SB/SB/SB/SB/SB/SB/SB/S 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Dengan menggunakan kaidah perkalian (kotak 1 dan kotak 2 dan …….dan kotak 10 ) maka jumlah kombinasi jawaban yang dapat dibuat : (2) (2) (2) (2) (2) (2) (2) (2) (2) (2) = 210

Contoh 4 • Berapa nilai k sesudah kode program Pascal berikut dieksekusi? k := 0 for p1 := 1 to n1do k := k + 1; for p2 := 1 to n2do k := k + 1; ¦ for pm := 1 to nmdo k := k + 1;

Solusi • Program tersebut memiliki m buah pengulangan (looping) for. • Setiap pengulangan ke-i (i = 1, 2, …, m) dieksekusi sebanyak nikali. • Pada setiap pengulangan, nilai k selalu ditambah 1 (nilai k pada awalnya 0). • Karena setiap pengulangan dilaksanakan tidak secara bersamaan, maka nilai k dapat dihitung dengan kaidah penjumlahan sehingga nilai k di akhir program sama dengan berapa kali seluruh pengulangan dieksekusi, yaitu : k = n1 + n2 + … + nm

Latihan • Jabatan ketua himpunan dapat diduduki oleh mahasiswa angkatan 2006 atau angkatan 2007. Jika terdapat 35 orang mahasiswa angkatan 2006 dan 50 orang mahasiswa angkatan 2007, berapa cara memilih penjabat ketua himpunan? • Sekelompok mahasiswa terdiri atas 6 orang dan 4 orang wanita. Berapa jumlah cara memilih satu orang wakil pria dan satu orang wanita? • Kursi-kursi di dalam ruang aula akan diberi nomor dengan sebuah huruf diikuti dengan bilangan bulat positif yang tidak lebih dari 70 (misal A10, B25 dan seterusnya). Berapa jumlah maksimum kursi yang dapat di nomori? • Jika 5 huruf dibentuk dari huruf-huruf a, b, c, d dan e maka berapa banyak jumlah kata : (a) jika tidak boleh ada huruf yang berulang di dalam kata (b) jika pengulangan huruf diperbolehkan (c) jawaban soal (a) yang diawali oleh huruf a (d) jawaban soal (a) yang tidak diawali oleh huruf a

Latihan (Cont.) 5. Berapa perpusakaan memiliki 6 buah buku berbahasa Inggris, 8 buah buku berbahasa Perancis dan 10 buah buku berbahasa Jerman. Masing-masing buku berbeda judulnya. Berapa jumlah cara memilih : (a) 3 buah buku, masing-masing dari tiap bahasa berbeda (b) 1 buah buku (sembarang bahasa) 6. Salah satu terapan kombinatorial adalah dalam bidang kriptografi. Misalnya pesan jelas (plaintext) “Informatika” dengan menggunakan algoritma kriptografi tertentu disandikan menjadi pesan-tersandi (chipertext) “%r$ht&90dt2”. Melalui proses yang terkebalikan pesan-tersandi dapat dikembalikan menjadi pesan-jelas. Algoritma kriptografi DES (Data Encryption Standart) menggunakan kunci (key) untuk menyandikan pesan yang akan dikirim melalui saluran komunikasi. Panjang kunci DES adalah 8 karakter atau 64 bit. Orang yang ingin memecahkan pesan-tersandi (chipertext) menjadi pesan-jelas (plaintext) harus mencoba seluruh kemungkinan kunci yang panjangnya 64 bit. Berapa banyak kemungkinan kunci yang harus dicoba untuk memecahkan chipertext ?

Latihan (Cont.) 7. Suatu bilangan dibentuk dari angka-angka 2, 3, 4, 5, 7, 8 dan 9. Misalkan pengulangan angka tidak dibolehkan. Berapa banyak bilangan 4-angka yang kurang dari 5000 namun habis dibagi 5 yang dapat dibentuk dari angka-angka tersebut ? 8. Berapa banyak bilangan ganjil antara 1000 dan 9999 (termasuk 1000 dan 9999 itu sendiri) yang : (a) semua angkanya berbeda (b) boleh ada angka yang berulang

Latihan (Cont.) 9. Berapa nilai k sesudah kode program Pascal berikut dieksekusi? k := 0 for p1 := 1 to n1do for p2 := 1 to n2do ¦ for pm := 1 to nmdo k := k + 1;

Jabatan ketua himpunan dapat diduduki oleh mahasiswa angkatan 2006 atau angkatan 2007. Jika terdapat 35 orang mahasiswa angkatan 2006 dan 50 orang mahasiswa angkatan 2007, berapa cara memilih penjabat ketua himpunan? Kursi-kursi di dalam ruang aula akan diberi nomor dengan sebuah huruf diikuti dengan bilangan bulat positif yang tidak lebih dari 70 (misal A10, B25 dan seterusnya). Berapa jumlah maksimum kursi yang dapat di nomori? Berapa perpusakaan memiliki 6 buah buku berbahasa Inggris, 8 buah buku berbahasa Perancis dan 10 buah buku berbahasa Jerman. Masing-masing buku berbeda judulnya. Berapa jumlah cara memilih : (a) 3 buah buku, masing-masing dari tiap bahasa berbeda (b) 1 buah buku (sembarang bahasa) Suatu bilangan dibentuk dari angka-angka 2, 3, 4, 5, 7, 8 dan 9. Misalkan pengulangan angka tidak dibolehkan. Berapa banyak bilangan 4-angka yang kurang dari 5000 namun habis dibagi 5 yang dapat dibentuk dari angka-angka tersebut ?

KOMBINATORIAL DAN PELUANG DISKRIT