Pertemuan XII INDUKSI MATEMATIK

1. Pertemuan XII INDUKSI MATEMATIK Di dalam matematika, sebuah pernyataan atau argumen tidak hanya sekedar dibaca. Kita harus mengerti apa yang menyebabkan pernyataan matematika tersebut benar, yaitu benar ( proof ).. contoh kedua ingin menemukan rumus jumlah dari n buah bilangan ganjil yang pertama. Misalkan untuk n = 1, 2, 3, 4, 5, jika kita amati jumlah bilangan ganjil positif pertama adalah : n =1 n =2 n =3 n=4 n=5 1=1 1+3=4 1+3+5=9 1 + 3 + 5 + 7 = 16 1 + 3 + 5 + 7 + 9 = 25 Rumus jumlah dari n buah bilangan ganjil positif pertama adalah n 2. Prinsip Induksi Sederhana Misalkan p(n) adalah pernyataan perihal bilangan bulat positif dan ingin membuktikan bahwa p(n) benar untuk semua bilangan bulat positif n. Untuk membuktikan pernyataan ini , hanya perlu menunjukkan bahwa : 1. p(1) benar, dan 2. untuk semua bilangan positif n ≥ 1, jika p(n) benar maka p(n + 1) juga benar. Contoh 3.1 Tunjukkan bahwa untuk n ≥1, 1 + 2 + 3 + ... + n = n(n + 1)/2 melalui induksi matematika. Bukti Basis induksi. Untuk n = 1, memperoleh 1 = 1(1 + 1)/2. benar karena : http://www.mercubuana.ac.id

2. Bentuk Induksi Secara Umum adalah mungkin yang membuat bentuk umum metode induksi sehingga ia dapat diterapkan tidak hanya untuk pembuktian yang menyangkut himpunan bilangan bulat positif, tetapi juga pembuktian yang menyangkut himpunan objek yang lebih umum. Syaratnya, himpunan obyek tersebut harus mempunyai keterurutan dan mempnyai elemen terkecil. Definisi Relasi biner “<” pada himpunan X dikatakan terurut dengan baik atau himpunan X dikatakan terurut dengan baik dengan dengan “ < “ bila memiliki properti berikut : 1. Diberikan x, y, z X, jika x < y dan y < z, maka x < z 2. Diberikan x, y, X. Salah satu dari kemungkinan ini benar : x < y atau y < x atau x = y 3. Jika A adalah himpunan bagian tidak kosong dari X, terdapat elemen x A sedemikian sehingga x y untuk semua y A. Dengan kata lain, setiap himpunan bagian tidak kosong dari X mengandung “elemen terkecil” Himpunan bilangan riil tidak negatif tidak terurut dengan baik oleh relasi “<”. Himpunan ini mempunyai properti 1 dan 2 tetapi tidak 3. sebagai contoh, himpunan semua bilangan riil yang lebih besar dari 1, yaitu x x adalah bilangan riil dan x > 1, tidak mengandung elemen terkecil. Himpunan bilangan terurut bilangan bulat tidak negatif terurut dengan baik oleh relasi “<” , dengan kata lain “<” didefinisikan oleh ( n1, n2 ) ( n3 , n4 ) jika dan hanya jika ( n1 < n3 ) atau ( n1 = n3 dan n2 < n4 ). Properti 1, 2, 3 dimiliki oleh himpunan ini Misalkan X terurut dengan baik oleh “<” , dan p( x ) adalah pernyataan perihal elemen x dari X. Kita ingin membuktikan bahwa p(x) benar untuk semua x X. Untuk membuktikan ini, hanya perlu menunjukkan bahwa : 1. p ( xo ) benar, yang dalam hal ini xo adalah elemen terkecil di dalam X 2. Untuk semua x > xo vdi dalam x, jika p(y) benar untuk semua y < x, maka p(x) juga benar. http://www.mercubuana.ac.id

3. Bila percobaan pertama mempunyai p hasil percobaan yang mungkin terjadi, sedangkan percobaan ke dua mempunyai q hasil percobaan yang mungkin dapat terjadi, maka bila percobaa 1 dan percobaan 2 dilakukan, maka hasilnya adalah p xq 2. Kaidah Penjumlahan ( rule of sum ) Bila percobaan pertama mempunyai p hasil percobaan yang mungkin terjadi, sedangkan percobaan ke dua mempunyai q hasil percobaan yang mungkin dapat terjadi, bila hanya satu percobaan salah satu saja yang dilakukan ( percobaan 1 atau percobaan 2 ), maka kemungkinan hasil percobaan adalah p + q Contoh 4.1 Sekelompok mahasiswa terdiri dari 4 orang pria dan 3 orang wanita. Berapajumlah cara memilih satu orang wakil satu orang pria dan satu orang wanita ? Jawab Ada 4 kemungkinan memilih satu wakil orang pria dan 3 kemungkinan memilih 1 wakil wanita. Jika 2 orang wakil harus dipilih, masing – masing 1 pria dan 1 wanita, jumlah kemungkinan wakil yang dapat dipilih adalah 3 x 4 = 12 Contoh 4.2 Sekelompok mahasiswa terdiri dari 4 orang pria dan 3 orang wanita. Berapa jumlah cara memilih satu orang yang mewakili kelompok tersebut ( tidak perduli pria atau wanita ) Jawab http://www.mercubuana.ac.id