Tiesinių kodų dekodavimas. Klasės

1. Tiesinių kodų dekodavimas. Klasės Parengė: Žygimantas Gatelis

2. Tiesinių kodų dekodavimas Tegu yra tiesinis kodas virš (taigi, ), generuotasmatricos G. Pranešimo kodavimas-dekodavimas gali būti parodytas tokia schema: Šią schemą panagrinėsime detaliau.

3. Bet pirmiau prisiminkime • - Jei tiesinio kodo C ilgis yra n, dimensija k, minimalus atstumas d, tai visas kodas žymimas arba trumpiau [n, k, d]. Jei minimalus atstumas nesvarbus arba nežinomas, žymima arba [n, k]. • - pirminis kūnas (sveikųjų skaičių moduliu q aibė): • q pirminis skaičius (aibės laipsnis) • n kodo ilgis • G - generuojanti matrica. Formaliai.Tiesinio kodo virš generuojančia matrica vadiname k × n matricą virš , kurios eilutės sudaro kodo C bazę. Generuojanti matrica generuoja visus kodo C žodžius.

4. Grįžtame prie schemos Sudauginę pradinį vektorių ir generuojančią matricą gauname užkoduotą ž Užkoduotas ž siunčiamas kanalu. Koduojamas vektorius m Kanale prie žodžio c pridedamas klaidų vektorius Dekodavimo metu pirmiausia randame klaidų vektorių , atėmę jį iš y gauname kodo žodį o tada ir pranešimą , kuris užkoduojamas kodo žodžiu c‘. randame pasinaudoję tuo kad . Tai tiesinių lygčių sistema, kuri turi vieną sprendinį jei . Iš kanalo gauname vektorių Jei klaidų vektorių nustatėme teisingai tai rasime ir teisingą pranešimą. Dekodavimas pavyks, t.y.

5. Klasės Apibrėžimas: Tegu yra tiesinis kodas virš . Tegu Klase vadinsime aibę:

6. Klasės Pavyzdys: Tegu yra dvinaris tiesinis kodas (tai pakartojimo kodas . Raskime visas klases: Atitinkamos klasės Surašyti visi vektoriai Iš viso yra 4 klasės: , , Viena iš klasių yra pats kodas C.

7. Klasės Teiginiai • Kiekvienas vektorius priklauso kuriai nors klasei. Tiksliau • Vektoriai priklauso tai pačiai klasei tada ir tik tada kai • Kiekvienai klasei priklauso vektorių. • Klasės arba nesikerta arba sutampa. • Tarkime, kad kodo minimalus atstumas yra . Tada kiekvienoje klasėje egzistuoja ne daugiau kaip vienas žodis, kurio svoris mažesnis už .

8. Klasės Erdvę galima padalinti į r tarpusavyje nesikertančias klases: , čia . Taip pat laikysime, kad todėl pirmoji klasė

9. Dekodavimas Teiginys: Galimų klaidų vektorių aibė sutampa su klase, kurioje yra iš kanalo gautas vektorius.

10. Įrodymas Tarkime pranešimą užkoduojame kodu generuotu matricos , gauname . Iš kanalo išeina vektorius . Tada klaidų vektorius , nes Taigi e priklauso tai pačiai klasei, kaip ir iš kanalo gautas vektorius .

11. Kaip dekoduojame? Tarkime, kad dekodavimui naudojame minimalaus atstumo dekodavimo taisyklę, t.y. dekoduojame tuo kodo žodžiu kuris yra arčiausiai iš kanalo gauto vektoriaus t.y. tenkina sąlyga ). Taigi, nusprendžiame, kad toks yra tas vektorius, kuris buvo išsiųstas į kanalą, ir klaidų vektoriumi laikome Žinodami kad klaidų vektorius priklauso vektoriaus klasei, gauname tokią dekodavimo procedūrą: Klasėje, kuriai priklauso iš kanalo gautas vektorius randame mažiausio svorio vektorių e (klaidų vektorius) ir dekoduojame kodo žodžiu . Apibrėžimas: Mažiausio svorio klasės vektorius vadinamas klasės lyderiu. Jei klasėje yra keli mažiausio svorio vektoriai, tai klasės lyderiu vadinsime kažkurį iš jų.