Download
1 / 17
180 likes | 395 Views
Legi de compozitie. Prof. Pop Annamaria. DEFINITIE. Fie M o mulțime nevid ă .Se numește lege de compoziție intern ă (operaţie intern ă binar ă ,operaţie intern ă ) o funcţie f : M x M M. OBSERVAȚII.
E N D
Legi de compozitie Prof. Pop Annamaria
DEFINITIE Fie M o mulțime nevidă.Se numește lege de compoziție internă(operaţie internă binară,operaţie internă) o funcţie f : M x M M .
OBSERVAȚII • 1.Fixând o lege de compoziţie pe M, se alege pentru aceasta un anumit simbol.Atunci când nu există unul clasic(+,*) alegem pentru comoditate unul din simbolurile:T,/,v,etc. • 2.Fie ,T o lege de compoziţie.Rezultatul operării lui x și y ĩl vom nota cu xTy (citim “ x compus cu y”)
EXEMPLE 1. AdunareanumerelorpeN, Z, Q, R 2. ĨnmulţireanumerelorpeN, Z, Q, R 3. Adunareamatricilor 4. Ĩnmulţireamatricilor 5. xTy=x+y+2 , unde xєR 6. xoy=xy-5x-5y+30 , unde
PARTE STABILĂ Definiţie: Fie M o mulţime nevidă și “*” o lege de compoziţie pe M. O submulţime H a lui M este parte stabilă a lui M ĩn raport cu legea “*” dacă: i) H este o mulţime nevidă ii)
TABLA UNEI OPERAŢII Fie mulţimea și legea de compoziţie “o”. Tabla legii are forma: a11=a1*a1 a12=a1*a2 … a21=a2*a1 a22=a2*a2 … an1=an*a1 an2=an*a2
EXEMPLU Fie legea de compoziţie x*y=min(x,y) și H={1,2,3,4}. Se cere : a) Ĩntocmiţi tabla legii b) Este H parte stabilă a mulţimii nr. reale ĩn raport cu legea de compoziţie “*”?
REZOLVARE a) b) H este parte stabilă a mulţimii nr. realeĩnraport cu “*” deoarecetoateelementele din tablalegiiaparținmulţimii H.
EXERCIŢIU Pe mulţimea numerelor reale se consideră legea de compoziţie “o” definită prin: xoy=xy+5x+5y+20. Arătaţi ca H=[-5,∞) este parte stabilă a mulţimii numerelor reale ĩn raport cu legea de compoziţie “o”.
REZOLVARE Trebuie să arătăm că
PROPRIETATIILE LEGILOR DE COMPOZITIE Comutativitatea Asociativitatea Elementulneutru Simetrizabilitateaelementelor
1.COMUTATIVITATEA Definiţie:Fie M o mulţime nevidã şi “o” o lege de compoziţie pe M.Spunem ca “o” este comutativã dacã xoy=yox , Ѵx,yϵM. Exemplu: Se considerã pe mulţimea numerelor reale legea de compoziţie: xoy=x+y+4.Este “o” comutativã? “o” comutativã xoy=yox xoy=x+y+4 yox=y+x+4=x+y+4 “o” comutativã
ASOCIATIVITATEA Definiţie:Fie M o mulţime nevidã şi “o” o lege de compoziţiepeM.Spunem ca “o” esteasociativãdacã: (xoy)oz=xo(yoz) , Ѵx,y,zϵM. Exemplu:Se considerãpemulţimeanumerelorrealelegea de compoziţie: xoy=x+y+4.Este “o” asociativã? “o” asociativã (xoy)oz=xo(yoz) (xoy)oz=(x+y+4)oz=x+y+4+z+4=x+y+z+8 xo(yoz)=xo(y+z+4)=x+y+z+4+4=x+y+z+8”o”asoc.
ELEMENT NEUTRU Definiţie:Fie M o mulţime nevidã şi “o” o lege de compoziţie pe M.Spunem ca “o” adimite element neutru dacã astfel încât xoe=eox=x , Observaţii:1.Dacã o lege de compoziţie “o” are pe M un element neutru atunci el este unic. 2.Dacã xoe=x atunci “e” este element neutru la stânga. 3.Dacã eox=x atunci “e” este element neutru la dreapta
ELEMENT NEUTRU Exemplu:Se considerã pe mulţimea numerelor reale legea de compoziţie: xoy=x+y+4.Aflaţi elementul neutru al legii de compoziţie. astfel încât xoe=eox=x , xoe=x+e+4=x e=-4 eox=e+x+4=x e=-4
SIMETRIZABILITATEA ELEMENTELOR Definiţie:Fie M o mulţimenevidãşi “o” o lege de compoziţiepe M care admite element neutru, notate.Un element se numeştesimetrizabildacã astfelîncât . Observaţie:Dacã “o” asociativãatunci x’ din definiţieesteunicşi se numeştesimetricullui x.
SIMETRIZABILITATEA ELEMENTELOR Exemplu:Seconsiderãpemulţimeanumerelorrealelegea de compoziţie: xoy=x+y+4.Elementul neutru al legiieste e=-4.Aflaţi elementelesimetrizabile. astfelîncât xox’=x+x’+4=-4 x’=-8-x x’ox=x’+x+4=-4 x’=-8-4
