Dimension de Hausdorff des ensembles de Julia

1. Dimension de Hausdorff des ensembles de Julia Quelques notions de base de dynamique holomorphe.

2. Ensemble de Julia rempli

8. L’ensemble de Julia du polynôme P est le bord de K(P) L ’intérieur de K(P) et le bassin de l ’infini forment l ’ensemble de Fatou qui est aussi le complémentaire de l ’ensemble de Julia. Dynamique sur l ’ensemble de Fatou: le polynôme P induit une application de l ’ensemble des composantes de l ’ensemble de Fatou sur lui-meme. Théorème (Sullivan): Toute composante de l ’ensemble de Fatou est prépériodique. Pour comprendre la dynamique sur l ’ensemble de Fatou, il suffit alors de classifier les composantes périodiques, ce qui a été fait au début du Xxème siècle par Fatou et Julia.

9. Classification de Fatou- Julia. Point fixe répulsif Un cycle répulsif appartient à l ’ensemble de Julia. La réunion de tous les cycles répulsifs est même dense dans cet ensemble. Chaque point d ’un cycle attractif appartient à une composante différente de l ’ensemble de Fatou et ces k composantes forment un cycle. Cycle attractif:{0,-1} m=0

10. Point fixe parabolique: m=-1, k=1,q=2, nu=1 Cycles indifférents Point fixe indifférent irrationnel linéarisable

11. Le théorème de Fatou et Julia affirme que toute composante périodique de l ’ensemble de Fatou est de l ’un des trois types précédemment décrits (composante d ’un bassin immédiat d ’un cycle attractif, d ’un bassin immédiat d ’un cycle parabolique ou disque de Siegel). On en déduit que la dynamique sur l ’ensemble de Fatou est assez simple. Toute la partie « chaotique » de la dynamique est donc concentrée sur l ’ensemble de Julia . D ’où l ’intérêt de l ’étude de la variation de J(P) en fonction de P. Cette étude a été initiée par Douady qui a complètement déterminé les points de continuité de l ’application P-->J(P) , l ’ensemble des compacts du plan étant équipé de la métrique de Hausdorff. Enfin les ensembles de Julia sont à de rares exceptions près des ensembles fractals: la dimension de Hausdorff de cet ensemble est donc une quantité importante. L ’objet de cet exposé est de faire le point sur ce que l ’on connaît de la régularité de la fonction P-->HD(J(P))

12. Soit K un compact du plan de diamètre 1. On dit que K est de dimension d si pour M grand il faut de l ’ordre de Md disque de rayon 1/M pour recouvrir K. 4n disques de rayon 3-n HD=ln(4)/ln(3) g Le Cantor K associé aux similitudes g,h est l ’unique compact tel que K=g(K)Uh(K) Sa dimension d est l ’unique solution de r(g)d+r(h)d=1 h

13. JEAN PERRIN "Le plus souvent, ceux auxquels on parle de courbes sans tangentes ou de fonctions sans dérivées commencent par penser qu'évidemment la nature ne présente pas de telles complications et n'en suggère pas l'idée. C'est pourtant le contraire qui est vrai, et la logique des mathématiciens les a maintenus plus près du réel que ne faisaient les représentations pratiques employées par les physiciens. … l'incertitude qu'on aurait à trouver la tangente en un point du littoral de la Bretagne, selon qu'on utiliserait pour cela une carte à telle ou telle échelle. Selon l'échelle, la tangente changerait, mais chaque fois on en placerait une. C'est que la carte est un dessin conventionnel, où, par construction même, toute ligne a une tangente. Au contraire, c'est un caractère essentiel du littoral, si au lieu de l'étudier sur une carte on le regarde lui-même de plus ou moins loin, que, à toute échelle, on soupçonne, sans les voir tout à fait bien, des détails qui empêchent absolument de fixer une tangente. » Les atomes, 1913 (Préface)

14. Le rôle des points critiques. Tout polynôme de degré au moins égal à 2 admet un point critique au moins et l  ’orbite de ces points nous renseigne sur la dynamique du polynôme. Première conséquence: il n ’y a qu’un nombre fin de cycles non-répulsifs et donc de composantes périodiques de l ’ensemble de Fatou. Un théorème de Fatou et Julia affirme que tout cycle attractif attire un point critique. Aussi tout point périodique indifférent dans l ’ensemble de Julia (ie parabolique ou Cremer) est adhérent à l ’orbite d ’un point critique. Dans le cas d ’un point périodique linéarisable c ’est le cercle de Siegel qui est adhérent à l ’orbite d ’un point critique.

15. Polynômes hyperboliques: Problème ouvert: la stabilité structurelle implique-t-elle l ’hyperbolicité?

17. L ’exemple des polynômes quadratiques: un cycle attractif d ’ordre 1 (point fixe) Un cycle attractif d ’ordre 2 Un cycle attractif d ’ordre 3

19. La stabilité structurelle implique que P-->J(P) est continue en tout point d ’une composante hyperbolique (et même « holomorphe » en un certain sens. Le passage d ’une composante hyperbolique à une autre change la structure, mais peut-être continu. Exemple: Bifurcation de Hopf (point fixe attractif--> point fixe répulsif+cycle attractif d ’ordre 2)

20. Réelle-analyticité de la dimension dans les composantes hyperboliques (Théorème de Ruelle).

22. Preuve du théorème de Ruelle

23. Interprétation thermodynamique On considère l ’ensemble de Julia comme un gaz sans volume. Un « état » est une mesure P-invariante. La température est 1/t. On cherche l ’ état d ’équilibre du système à température donnée.

24. Une application (Ransford) En particulier, dans la cardioïde principale de l ’ensemble de Mandelbrot, la dimension est une fonction sous-harmonique de c: elle admet donc des limites radiales en presque tout point. Ces limites coïncident elles pp au bord avec la dimension de Hausdorff de la limite au sens topologique (qui existe, voir plus loin)? C ’est vrai en tout point rationnel (Bodard-Z, McMullen) Existe-t-il un point de la cardioïde ou ce n ’est pas vrai?

25. Théorème (Douady): L ’application J est continue en P si et seulement si P ne possède ni point fixe indifférent rationnel ni point fixe indifférent irrationnel linéarisable. Exemple du point fixe indifférent irrationnel linéarisable: P a un disque de Siegel: le point fixe est dans l ’ensemble de Fatou Q a un point fixe parabolique: le point fixe est dans J(Q).

26. Cas parabolique: le chou-fleur

27. c=0,251

29. Le lapin gras:

30. Fleur de Leau-Fatou

31. Coordonnées de Fatou

32. Applications de Lavaurs

34. Ensembles de Julia-Lavaurs: Le théorème de Sullivan reste vrai (Lavaurs)

35. h

36. Un ensemble de Julia-Lavaurs avec composante attractive virtuelle. Un ensemble de Julia-Lavaurs avec composante parabolique virtuelle

37. V

40. Le cas q>1 pétales On peut encore définir une application de cornes: chacun des deux multiplicateurs dépend des choix faits pour les coordonnées de Fatou mais pas leur produit et Shishikura a montré que le module du produit est toujours >1 sur la cardioïde principale. Corollaire (Z.): Si on implose un ensemble de Julia quadratique avec point fixe parabolique à q pétales alors la dimension de Hausdorff devient >2q/(q+1) Corollaire: la dimension est génériquement égale à 2 sur la cardioïde principale. Preuve: Baire Corollaire (Shishikura): Le bord de M est de dimension 2