1 / 28

Matemaatika kasulikkusest

Matemaatika kasulikkusest. Andi Kivinukk Tallinna Ülikooli matemaatika osakond Eesti Matemaatika ja Statistika Doktorikool Kadrina Keskkool Matemaatikanädal 4.-8.november 2013. Teemad. Mis on matemaatika ? Matemaatika tänapäeva ühiskonnas Veidi modelleerimisest, eriti funktsioonide abil

hall
Download Presentation

Matemaatika kasulikkusest

An Image/Link below is provided (as is) to download presentation Download Policy: Content on the Website is provided to you AS IS for your information and personal use and may not be sold / licensed / shared on other websites without getting consent from its author. Content is provided to you AS IS for your information and personal use only. Download presentation by click this link. While downloading, if for some reason you are not able to download a presentation, the publisher may have deleted the file from their server. During download, if you can't get a presentation, the file might be deleted by the publisher.

E N D

Presentation Transcript

  1. Matemaatika kasulikkusest Andi Kivinukk Tallinna Ülikooli matemaatika osakond Eesti Matemaatika ja Statistika Doktorikool Kadrina Keskkool Matemaatikanädal 4.-8.november 2013

  2. Teemad • Mis on matemaatika ? • Matemaatika tänapäeva ühiskonnas • Veidi modelleerimisest, eriti funktsioonide abil • Kauba pakkumine (tootja) ja nõudlus (tarbija) • Kauba hinna dünaamika ( diferentsvõrrand ehk iteratsioonimeetod ) • Newtoni iteratsioonimeetod ruutjuure leidmiseks

  3. Mis on matemaatika ? • Kas halvad hinded ja stress ? • Kas Te arvate ka nii ?

  4. Mis on matemaatika ? • Algul (e. Kr.) oli geomeetria (trigonomeetria) – navigeerimine tähistaeva järgi, niisutussüsteemid, ehitus (püramiidid) • Võrrandite (a x + b = 0) lahendamine • Tuletised/integraalid – suur revolutsioon (19. s. mehaanika matematiseerimine) • 20. s. hulgateooria ja moodne matemaatika (struktuurid, suur spetsialiseerumine)

  5. Mis on matemaatika ? „Matemaatika on üks keel,“ ütles J. W. Gibbs (1839-1903, USA füüsik, mehaanik, matemaatik). Ei ole ühtset definitsiooni. Kas on teadus või kunst ? Keelt tasub osata !

  6. Matemaatika olemus • Kui matem-a oleks ülesannete lahendamine, siis kõik muutuks aina keerulisemaks • Õnneks suure hulga faktide kogunemisel toimub struktuuride (mustrite) loomine (lahendati ruut-, kuup- jne edasi võrrandeid, kuni leiti üldine teooria) • Matemaatika terviklikkus (algebra, geomeetria, matemaatiline analüüs jne – kõik omavahel läbi põimunud) • Ilu printsiip (ilus säilib : a 2 + b 2 = c 2 ) • Matemaatiline modelleerimine on tähtis (ja kasulik) • Konkreetne matemaatik ei mõtle kasutoomisele, kuid tervikuna on matemaatika suure kasuteguriga (vaja ainult pliiatsit/paberit/arvutit)

  7. Matemaatika ja ühiskond Matemaatika mõju ühiskonnale (ja vastupidi) toimub selle rakenduste kaudu, mis tänapäeval baseeruvad oluliselt arvutitel. Nobeli majanduspreemiat (rääkimata füüsikast/keemiast, ka meditsiinist) saab valdavalt ainult matemaatika rakendustega seotud tööde eest.

  8. 100 Scientific Discoveries that changed the World.National Geographic, 2012 (eesti k 2013) • WWW(World Wide Web),1990 = brauserid ja lk-d, eksisteerib tänu Internetile • Personaalarvuti, 1977 • Internet, 1968 (ARPANET 1962 USA armees) • Informatsiooniteooria, 1948, Claude Shannon (1916 - 2001) • Boole´i arvutus, 1854, George Boole (1815 - 1864) • Arvusüsteemid 1697, G.W.Leibniz (1646 - 1716) kahendarvud, nt 23 = 1 2 4 + 0 23+ 1 2 2+ 1 2 1+ 1 2 0 = ( 10111)

  9. MP3 (jt versioonid) mängijad (ka nutitelefon sobib) Digitaalne meedia vahend (info salvestatud kadudega (lossy compression) digitaalselt). MP3-süsteemi matemaatiline väljatöötamine algas ca 30 a. tagasi, baseerub täiesti uut tüüpi funktsioonidel, siinuste-koosinuste „sugulased”, ja mis võimaldavad hääle digitaalset teisendamist (audio coding) 12-15 korda kiiremini võrreldes varasemate meetoditega.

  10. MP3 mängijad • Modifitseeritud diskreetne koosinusteisendus kodeerib infot (näiteks hääle sagedust ja amplituudi) kujul (x 0 , …, x 2N-1)  (X 0 , …, X N-1)

  11. CAD (Computer Aided Design) autotööstuses kirjeldab auto kuju ja see esitatakse kohe ka arvutiekraanil matemaatiliste funktsioonidega - need on ruut- ja kuuppolünoomide „kokkuliimitud sugulased” . Eeldab nn mitmeharuliste funktsioonidega (F(x) = f(x), kui a<x<b ja F(x) = g(x), kui b<x<c) tutvumist. Lihtsaim näide on murdjoon.

  12. GPS (Global Positioning System) 1978 mis kasutab asjaolu, et kui meie kaugused nelja satelliidini on teada, siis saame üheselt määrata oma asukoha kolm koordinaati. Olemuselt trigonomeetria, tegelikult mittetriviaalne ülesanne, sest satelliidid liiguvad. GPS tarbeks tiirlevad 24 satelliiti ümber Maa.

  13. GPS Satellite NASA, ca 20 tuh km kõrgusel

  14. Arvutitomograafia (kui kehast lasta läbi röntgenikiir, siis olenevalt keha omadustest see neeldub, seda mõõdetakse ja tulemused liidetakse kuidagi kokku, mis viib teatud integraalideni; selle eest on saadud Nobeli meditsiinipreemia) NB! Integraali tutvustamine pindala ja summade abil on õpetlikum, kui formaalne definitsioon

  15. Digipildindus (kõik on kasutanud digikaameraid või saatnud JPEG formaadis pilte): iga pilt koosneb kahe muutuja funktsiooni väärtustest, milledega tuleb teha „kavalaid” teisendusi, et need väärtused pakkida (lossycompression) internetti ja siis meie kodus jälle pildiks lahti pakkida. NB! Maatriksarvutus on siin tähtis.

  16. Pilt ca 83 tuh baiti (1 bait on digitaalse info ühik, nt (1, 0, 1, 0, 0, 1, 0, 1))

  17. Pilt ca 1500 baiti

  18. Teadete salastamine (krüptograafia) • Internetiajastul (al 1970) algas suuremahuline infovahetus, mida osaliselt (pangad, armeed, firmad) oli vaja salastada • Uus matemaatiline idee: avaliku võtmega kodeerimine (RSA algoritm). • Kodeerimine toimub suurte, juhuslikult genereeritud algarvude korrutamisel, p*q = N, kuid dekodeerimine N teguriteks lahutamisel

  19. Modelleerimisest • Mudel on reaalsuse abstraktsioon, kuid peab kirjeldama reaalsuse olulisi külgi • Matemaatilised mudelid on funktsioonid, võrrandid (nende süsteemid) jne, mis sisaldavad parameetreid • Parameetrid teevad kirjelduse paindlikuks, nende muutmisega saab teha analüüsi • Reaalse elu (nt majanduslikud) süsteemid püüdlevad tasakaaluolekut (matemaatiliselt on max/min)

  20. Lineaarse nõudlus- ja pakkumisfunktsiooniga turu dünaamika Ajamomentidel n = 0, 1, 2, … olgu turul kauba hind vastavalt p n ja kaupa nõutakse (demand) kogus D n ning pakutakse (supply) S n + 1 (see tähendab, et pakkumine päeval n + 1 oleneb eelmise päeva hinnast p n ) Võrranditega (0 < a, b, c, d - parameetrid) : D n = a - bp n ; S n + 1 = c + dp n Turu tasakaal tähendab: D n+ 1 = S n + 1ehka - bp n +1=c + dp n Saame: p n +1 = Ap n + B (*) (A = - d /b < 0, d – tootmise kiirus (intensiivsus),b – tarbimise kiirus; B = (a – c) /b > 0)

  21. Näide 1. a=5, b=d=2, c=1, siis p n +1 = -p n + 2 Arvutame : olgu p 0 = 1.5, siisp 1 = 0.5, p 2 = 1.5, p 3 = 0.5, … Üldjuhul A = -1 korral p n +1 = -p n + B saame : olgu p 0 , siisp 1 = B - p 0, p 2 = - (B - p 0) + B= p 0 , … Hind kõigub kahe väärtusena : p 0võiB - p 0 !

  22. Näide 2. p n +1 = - 0.5 p n + 2 Arvutame: olgu p 0 = 1.5, siisp 1 = 1.25, p 2 = 1.375, p 3 = 1.3125, p 4 = 1.34375, p 5 = 1.328125, … Hind tundub stabiliseeruvat, aga milliseks väärtuseks ? Oletame, et piirväärtuseks on p* = ? Saame p*=-0.5p*+2 ehk p*=2/1.5=1.333...

  23. Näide 3. p n +1 = - 1.5 p n + 2 Arvutame: olgu p 0 = 1.5, siisp 1 = - 0.25, p 2 = 2.375, p 3 = - 1.5625, p 4 = 4.34375, p 5 = - 4.515625, … Midagi enneolematut ? Mõned hinnad negatiivsed ???

  24. Ruutjuure arvutamine iteratsiooniga(Newtoni meetod) • Kui vaja A > 0 ruutjuurt leida, siis pakutakse algul midagi ligikaudset x 0 ,mida nimetatakse alglähendiks. • Järgmised lähendid leitakse iteratsioonivalemist x n +1 =( x n + A / x n ) / 2 . Nt, kui n = 0, siis x 1 =( x 0 + A / x 0 ) / 2

  25. Newtoni meetodi näited a) Arvutame √ 16 : olgu x 0 = 2, siisx 1 =( x 0 + 16 / x 0 ) / 2 = 5 , x 2 = ( x 1 + 16 / x 1 ) / 2 = ( 5 + 16 / 5) / 2 = 4.1 , x 3 = ( x 2 + 16 / x 2 ) / 2 = ( 4.1 + 16 / 4.1) / 2 = 4.0012... , ... a) Arvutame √ 17 : olgu x 0 = 4, siisx 1 =( 4 + 17 / 4) / 2 = 4.125 , x 2 = ( 4.125 + 17 / 4.125) / 2 = 4.123106

  26. Näide mittelineaarsest dünaamilisest süsteemist Nõudmine: D n = 3 - 2p n ; Pakkumine: S n + 1 = p n2 + 1 Turu tasakaal : S n + 1 = D n+ 1 ehk p n2 + 1 = 3 - 2p n+1 , millest p n +1 = 1 - p n2 / 2 (**) Seda analüütiliselt lahendada ei saa, aga arvutada saab (4 kohta peale koma).  Olgu p 0 = 1.0, siisp 1 = 0.5, p 2 = 0.875, p 3 = 0.6172, p 4 = 0.8095, p 5 = 0.6724, p 6 = 0.7739, p 7 = 0.7005, p 8 = 0.7546, p 9 = 0.7153… Vist stabiliseerub kuskile ? Geomeetriliselt “ämblikuvõrgu” meetod !

  27. http://en.wikipedia.org/wiki/Cobweb_plot Vaatame ! Seal võrrand p n +1 =3 ( p n - p n2 ) ja p 0 = 0.08, p1 = 0.22, p2 = 0.516 jne. Teisel joonisel on p n +1 =r ( p n - p n2 ) , kus 1 ≤ r ≤ 4. Vt http://www.tlu.ee/~andik matem_ennustav http://et.wikipedia.org/wiki/

  28. Kokkuvõte • Matemaatika on kasulik • Matemaatika on huvitav • Matemaatika on tänapäeval paljude teaduste alus TULGE ÕPPIGE MATEMAATIKAT, VÄHEMALT NII PALJU, ET SUUDATE OMA ERIALAL EDUKALT TEGUTSEDA !

More Related