1 / 25

RAR3230 DISKREETNE MATEMAATIKA 5 EAP

RAR3230 DISKREETNE MATEMAATIKA 5 EAP. Введение. Учебные материалы :. Основной учебник : . Diskreetne matemaatika (H.Lensen., M.Kruus. Tallinn, 2003. ). Дополнительная литература :. Diskreetse matemaatika elemendid (R.Palm, TÜ, 2003) Graafid (A.Buldas, P.Laud, J.Villemson, TÜ, 2003)

tymon
Download Presentation

RAR3230 DISKREETNE MATEMAATIKA 5 EAP

An Image/Link below is provided (as is) to download presentation Download Policy: Content on the Website is provided to you AS IS for your information and personal use and may not be sold / licensed / shared on other websites without getting consent from its author. Content is provided to you AS IS for your information and personal use only. Download presentation by click this link. While downloading, if for some reason you are not able to download a presentation, the publisher may have deleted the file from their server. During download, if you can't get a presentation, the file might be deleted by the publisher.

E N D

Presentation Transcript

  1. RAR3230DISKREETNE MATEMAATIKA 5 EAP Введение Учебные материалы: Основной учебник:  • Diskreetne matemaatika (H.Lensen., M.Kruus. Tallinn, 2003.) Дополнительная литература: • Diskreetse matemaatika elemendid (R.Palm, TÜ, 2003) • Graafid (A.Buldas, P.Laud, J.Villemson, TÜ, 2003) • Diskreetne analüüs (J.Henno, TTÜ, 1991) • www-страница предмета, читаемого в ТТУ : • http://www.pld.ttu.ee/~kruus/diskmat/

  2. На русском языке: • лекции доцента ТТУ Александра Судницына • http://www.pld.ttu.ee/~alsu/IAY0010.html • Домашняя страница УГТУ по предмету Дискретная математика • http://ait.ustu.ru/disciplines/discret/el_ucheb/ • Дискретная математика. Кулабухов С.Ю. • http://www.allmath.ru/higheralgebra.htm • Видеокурс Дискретная математикана INTUIT.RU • http://www.intuit.ru/department/ds/discretemath/ • Курс Основы дискретной математикина INTUIT.RU • http://www.intuit.ru/department/ds/discrmath/

  3. МАТЕМАТИКА ДИСКРЕТНАЯантонимНЕПРЕРЫВНАЯ изучаемые разделы: ·    логика высказываний ·    математическая логика ·    теория множеств ·    теория графов ·    комбинаторика ·    криптология ·    теория алгоритмов ·    теория автоматов ·    и т.д. … • входят все области математики, которые занимаютсянепрерывными • функциями (графики которых – непрерывные кривые, • аргументы – действительные числа): • математический анализ • дифференциальное исчисление • интегральное исчисление входят в данный курс

  4. Двоичная система счисления Позиционная система счисления- система счисления, в которой значение каждого числового знака (цифры) в записи числа зависит от его позиции (разряда). Основанием системы счисленияkназывается количество различных символов (цифр), используемых для записи чисел в данной системе счисления .  Десятичная система: 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9 (основаниеk = 10) Двоичная система: 0,1 (основаниеk = 2) Шестнадцатиричная система: 0,1,…,8,9,A,B,C,D,E,F (основаниеk = 16) Наибольший интерес для информатиков представляют системы счисления с основаниями 2, 8 и 16.

  5. В позиционной системе счислениякаждый разряд числа имеет свой вес, который связан со степенью основания:  an an-1an-2…...a1 a0 , a-1a-2…...a-m - веса kn kn-1 kn-2…...k1 k0 , k-1 k-2…...k-m- степени основания Если основание равно k, то ki = k i Развернутой формой записи числа называется запись в виде Аk=аn-1kn-1+аn-2kn-2+...+а0k0+а-1k-1+а-2k-2+...+а–mk-m, где Аk - само число,k - основание системы счисления,аi - цифра данной системы счисления,n - число разрядов целой части числа, m - число разрядов дробной части числа.

  6. Примеры: 537,610= 5*102 + 3*101 + 7*100+ 6*10-1 1101,112=1*23+1*22+0*21 + 1*20+ 1*2-1 + 1*2-2 = 13,7510 A6,E16= 10*161 + 6*160+ 14*16-1 =166,87510 , где A = 10 и E = 14

  7. Преобразования • Из 10-ой системы в 2-ую Целая и дробная части преобразуются отдельно. • При преобразовании целой частинеобходимо делитьчисло на основание новой системы счисления (т.е. 2),до тех пор, пока частное больше нуля, выделяя на каждом шаге целую часть деления и остаток. • Запись числа происходит в направлении снизу вверх. Пример: a) 2510=?2 2510=110012 b) 3710= ?2 c) 10510= ?2

  8. Очень важно запомнить в ближайшее время представление в двоичной системе чисел от 0 до 15. 810 = 10002 910 = 10012 1010 = 10102 1110 = 10112 1210 = 11002 1310 = 11012 1410 = 11102 1510 = 11112 010 = 02 110 = 12 210 = 102 310 = 112 410 = 1002 510 = 1012 610 = 1102 710 = 1112

  9. Припреобразовании дробной частинеобходимопоследовательно умножать данную дробную часть на основание новой системы счисления (т.е. 2), выделяя на каждом шаге целую и дробную части произведениядо тех пор, пока дробная часть произведения не станет равной нулю или не будет достигнута требуемая точность представления числа в новой системе счисления. • Запись числа происходит в направлении сверху вниз. Пример: a) 0,610=?2 0,610= 0,100112 (точность5знаковпосле запятой) b) 0,410= ?2 (точность7знаковпосле запятой) c) 0,2310= ?2 (точность5знаковпосле запятой)

  10. Замечание 1:дроби в общем случае не преобразуются точно, точность оценивается весом последнего вычисленного разряда. Замечание 2:при преобразовании смешанных чисел целая и дробная части преобразуются отдельно, а затем соединяются. 25,610= 11001,100112

  11. Гл. I. Математическая логика 1. Логика высказываний(математическая модель логического мышления) Определение 1.1Каждое предложение, для которогоимеет смысл говорить о соответствии этого предложения действительности, называют(простым)высказыванием. Если высказывание соответствует действительности, тоназовем это высказываниеистинным, в противном случае – ложным. Т.о. каждому высказываниюможно присвоить одно из двух возможныхзначений истинности – истина илиложь. Истинность – мера соответствия высказывания действительности. значения истинности истина 1 t T ложь 0 v F

  12. Обозначаем высказываниябольшими латинскими буквами: A, B, C, D, ... • Примеры простых высказываний: • A = "2 простое число" = 1 • B = "Сегодня хорошая погода" = 0 • C = "2 + 2 = 5" = 0 • D = " Сегодняидет снег" = 1 • E = "Светит солнце" = 0 • Высказываниями в логике не являются: • Вопросы: ”Как дела?” • Восклицания: “Tere!” • Предложения, истинность которых невозможно определить: “Быть или не быть”

  13. 1.1. Логические действия При помощи логических действий образуют из простых высказыванийсоставные или сложные. Простые высказывания в составе сложных называют компонентами. • 2 соглашения при образовании сложныхвысказываний: • Логические действияможно выполнятьс любыми высказываниями. • Истинность составного высказываниязависит только от истинности компонент, не от смысла полученного высказывания. Основные логические действия: "не" (отрицание, инверсия, обозначают  ) "и" (конъюнкция, обозначают& , ^, *) "или" (дизъюнкция, обозначают V, + ) "если" ….., "то" ……. (импликация,следование, , ) "тогда и только тогда" (эквиваленция, равносильность, , )

  14. Основные логические действия: "не" (отрицание, инверсия, обозначают  ) "и" (конъюнкция, обозначают& , ^, *) "или" (дизъюнкция, обозначают V, + ) "если" ….., "то" ……. (импликация,следование, , ) "тогда и только тогда" (эквиваленция, равносильность, , ) Пример: “Начальник на месте только тогда, когда его машина у дома.” A  B “Если зарплату не поднимают или рабочее время не сокращают, то начинается забастовка.” ( A V  B)  C “Не верно, что еслиКадри сильна в физике, то она не сильна в математике, ине верно, что Кадри сильна в математикеи в физикеодновременно.” (F M) & (M & F)

  15. Определение 1.1.1Конъюнкциейвысказываний A и B называютвысказывание A&B, которое истиннотогда и только тогда, когда оба компонента A и Bистинны (A = 1 и B = 1). Таблица истинности для &:

  16. Определение 1.1.2Дизъюнкциейвысказываний A и B называютвысказываниеAB, котороеложнотогда и только тогда, когда оба компонента A и Bложны (A = 0 и B = 0). Таблица истинности для:

  17. Определение 1.1.3Импликациейвысказываний A и B называютвысказываниеA B, котороеложнотогда и только тогда, когдапервый компонент A истинен, а второй компонент B ложен (A = 1 и B = 0). Таблица истинности для: Пример: “ Если начальник на месте, то его машина у дома.” “Если зарплату не поднимают или рабочее время не сокращают, то начинается забастовка.”

  18. Определение 1.1.4Эквиваленциейвысказываний A и B называютвысказываниеA B, которое истиннотогда и только тогда, когда оба компонента A и Bодновременно истинны или одновременно ложны (A = 1 и B = 1 или A = 0 и B = 0). Таблица истинности для:

  19. Определение1.1.5Отрицаниемвысказывания A называютвысказываниеA , которое истиннотогда и только тогда, когда высказывание A ложно (A = 0). Таблица истинности для: Приоритет логических действий: , &, V, , .

  20. 1.2. Формулы логики высказываний Формальные представления простых и составных высказываний называют формулами. • Определение 1.2.1Формула логики высказыванийопределяется следующим образом: • все высказывания (A, B, ...) формулы; • значения истинности 0 и 1 формулы (логические константы); • если A формула, тоA тожеформула; • если A и B формулы, то A & B, A  B, A B, A B тожеформулы. Пример:Найти значения истинности формул: a) (A B) A ; b) A & B A  B.

  21. Пример:Найти значения истинности формул: a) (A B) A b) A & B A  B

  22. Определение 1.2.2Формула логики высказываний A называетсятождественно истинной (тавтологией), еслиона принимает значение 1 для всехкомбинаций значений истинности компонент. Пример:A v A  1 Определение 1.2.3Формула логики высказыванийA называетсятождественноложной (противоречие), еслиона принимает значение0 для всехкомбинаций значений истинности компонент. Пример:A & A  0

  23. Замечание:если формула не является тождественно ложной, то она называетсявыполнимой, т.е.она принимает хотя бы одно не равное 0 значение. Определение 1.2.4Формула логики высказыванийA и B называютсяравносильными, если они принимают равные между собой значения истинности при всехкомбинациях значений истинности компонент. Пример:A & A  (A v A)

  24. Законы математической логики 1. Закон двойного отрицания: A  A • 2. Коммутативность: • A & B  B & A • A  B  B  A • 3. Асоциативность: • (A & B ) & C A & (B &C) • (A  B )  C  A  (B  C ) • 4. Дистрибутивность: • A & ( B  C )  A &B  A &C • A  ( B & C )  ( A  B) & ( A  C ) • 5. Идемпотентность: • A & A  A • A  A  A

  25. 6. Действия с константами: • A & 0  0 • A  0  A • A &1  A • A  1  1 • A A  1 • A & A  0 • 7. Законы де Моргана: • (A & B)  A  B • (A  B)  A &  B • 8. Преобразования импликации: • A  B  A  B • A  B (A &  B) • 9. Преобразованияэквиваленции: • A  B  (A & B)  ( A &  B) • A  B  (A  B) & (B  A) • 10. Законы склеивания: • (A & B)  (A &  B)  A • (A  B) & (A  B)  A • 11. Законы поглащения: • A & (A B)  A • A  (A & B)  A

More Related