INSIEME Q dei numeri Razionali

1. INSIEME Q dei numeri Razionali Naturali, decimali limitati e illimitati periodici

2. Introduzione In questa unità didattica approfondiremo le nostre conoscenze sull'insieme Q dei numeri razionali. La frazione nel suo significato di quoziente fra due interi già ci aveva permesso di conoscere Q come ampliamento di N per risolvere il problema della divisione, operazione non interna ad esso.

3. Dobbiamo imparare a • Conoscere la frazione come generatrice di un numero • Riconoscere quale tipo di numero razionale una frazione genererà • Passare, viceversa, da un numero razionale alla sua frazione generatrice • Comprendere e operare nell'insieme numerico in esame

4. 1a. Ricordiamo quanto abbiamo studiato con le frazioni • La frazione è un operatore • La frazione è anche un numero: rappresenta il quozientefra due interi (numeratore e denominatore) • Il secondo significato ci ha permesso di ampliare l'insieme N e di scoprire un nuovo insieme numerico dove la divisione è sempre possibile(è un'operazione interna a tale insieme)

5. Ricordiamo ancora • Abbiamo già indicato questo nuovo insieme (gli elementi sono le frazioni) con il simbolo Q+ Abbiamo anche vistoche: • Ogni frazione ha infinite frazioni ad essa equivalenti (cosa vuol dire e come si ottengono?) • Tutte le frazioni equivalenti individuano una classe di equivalenza (che cosa si intende per c.di eq.?) • Unaclasse di equivalenza può essere rappresentata da una sua qualsiasi frazione.

6. 1b. Classi di equivalenza A = {3/2; 6/4; 9/6; 12/8; 15/10; …} Consideriamo il valore numerico delle frazioni 3/2 = 3:2 = 1,5 6/4 = 6:4 = 1,5 9/6 = 9:6 = 1,5 12/8 = 12:8 =1,5 (notiamo che "tante frazioni" valgono "la stessa quantità", un unico numero) • Il risultato non dipende dalle singole frazioni, ma dalla classe considerata. • Tutta la classe si può allora rappresentare con una sola frazione: conviene scegliere la frazione primitiva o irriducibile della stessa classe. • Chiamiamo tutta la classe con il nome dinumero razionale(in latino, ratio significa rapporto, quoziente…)

7. Altre classi di equivalenza … B = {3/1; 6/2; 9/3; 12/4, 15/5; …} Il valore numerico di ciascuna frazione è chiaramente 3 (che tipo di frazioni abbiamo considerato?) Valgono anche per questa classe le considerazioni già fatte. • Questo esempio ci permette di dire che l'insieme dei numeri naturali N = {0; 1; 2; 3; 4;…} è un sottoinsieme dell'insieme Q+ delle frazioni e quindi N Ì Q+

8. 1c. Insieme Q+ • L'insieme di tutte queste classi (numeri razionali) è il nostro insieme Q+, che chiamiamo insieme dei numeri razionali Quindi Numeri razionali le classi formate da tutte le frazioni equivalenti fra loro (che rappresentiamo con la fraz. primitiva di ogni classe stessa). Tutti i numeri razionali formano l'insieme dei numeri razionali, che indichiamo con Q+.

9. Approfondiamo le conoscenze sull'insieme Q+ Il numero razionale ci ha permesso di considerare l'insieme Q+come un ampliamento dell'insieme N; (l'insieme N è incluso in Q+NÌQ+ ) In Q+ la divisione fra due numeri è un'operazione interna. La frazione è il quoziente esatto fra due numeri, il numeratore e il denominatore.

10. Nel nostro studio dobbiamo appunto Prendere in considerazione il quoziente esatto "generato" da una frazione. Potremo avere: • Numeri interi o naturali • Numeri decimali Tutti assieme formano i Razionali Osserviamo lo schema seguente:

11. Schema Insieme Q+ Q (quoziente fra due interi) NATURALIDECIMALI (fraz. Ordinarie) (frazioni apparenti) LIMITATI ILLIMITATI (il 2 o il 5 o entrambi al denom) PERIODICI PERIODICI SEMPLICI MISTI (assenti 2 e 5 al denom) (il 2 , il 5 o entrambi, con altri fattori)

12. 2a. Ora cerchiamo di capire meglio • Ci siamo già resi conto di come le frazioni apparenti siano in realtà i numeri naturali. • Esse sono perciò le frazioni generatrici dei numeri naturali o interi:il quoziente tra il numeratore e il denominatore, un suo sottomultiplo, è un numero naturale. Esempi : 14/7 = 2 20/5 = 4 18/3 = 6 Continuate voi…

13. Le frazioni ordinarie • Ordinarie sono chiamate tutte le frazioni non apparenti, quindi quelle ……? • Esse generano i numeri non interi, i decimali. • Dobbiamo ora scoprire però qualche particolarità. • Osserviamo gli esempi della seguente diapositiva.

14. Num dec …… 9/10 = 9:10= ? 3/8 = 3:8 = 0,375 (resto 0) 7/100=7:100=? 3/22 = 3:22 = 0,1363636… 7/15= 7:15 = 0,46666… 3/11=3:11 = 0,272727… • I numeri 0,9 0,07 e 0,375 sono dei quozienti esatti. Questi numeri decimali si dicono limitati: hanno un numero di cifre decimali limitato, finito. • 0,1363636… 0,46666…. 0,272727… sono stati ottenuti con una divisione che, pur proseguita, non ci darà mai resto zero. Non sono quindi quozienti esatti. Essi si dicono illimitati : hanno un numero illimitato o infinito di cifre decimali. (esercizi)

15. 2b. Ma come riconoscere…? Le frazioni decimali. Osserviamo nuovamente gli esempi precedenti. È molto semplice il caso delle fraz. con denominatore 10, 100, 1000 … Di queste sappiamo immediatamente calcolare il quoziente tra numerat e denominat ! E sappiamo anche che esso è un decimale limitato. Esercizi … … … Tenete ben presente, poiché ci sarà di aiuto… • Le frazioni con denominatore 10, 1000, 100 … si chiamano frazioni decimali e si trasformano sempre in numeri decimali limitati

16. E le altre frazioni ? … 3/8 7/20 2/5 82/25 7/4 9/2 9/20 Eseguite le divisioni… Avrete ottenuto i numeri 0,375 0,35 0,4 3,28 1,75 4,5 0,45 E tutti sono decimali limitati • Puntiamo l'attenzione sui denominatori delle fraz considerate 8 20 5 25 4 2 20

17. I denominatori… • Scomponiamoli in fattori primi: 8 = 23 20=22x 5 5 = 5 25 = 52 4 = 22 2 = 2 20 = 22 x 5 Osservando con attenzione notiamo che tali fattori sono sempre il 2, il 5 oppure loro potenze e sono presenti da soli o entrambi. • Ricordate: i denominatori, in fattori primi, il 2 e il 5 saranno i nostri "numeri chiave" per prevedere quale tipo di numero decimale una frazione genererà!

18. 2c … quindi i decimali limitati … Siamo già arrivati perciò ad una prima conclusione: • Una frazione ordinaria (ricordate sempre che deve essere primitiva!) si trasforma in un numero decimale limitato solo se il suo denominatore, scomposto in fattori primi, contiene esclusivamente il fattore 2, o 5 oppure entrambi. Non devono esserci estranei! Riflessioni: Ricordate le fraz decimali? Come è il loro denominatore? Quali fattori primi contiene?

19. I decimali illimitati Consideriamo le frazioni: 7/9 11/3 4/11 97/33 8/15 7/12 Calcolate il valore. Cosa dovete fare? Avrete ottenuto: 7/9 = 0,777… 11/3 = 3,666… 4/11 = 0,363636… 97/33 = 2,939393… 8/15 = 0,53333… 7/12 = 0,583333… Sono tutti decimali illimitati, ma con delle differenze….

20. Ancora gli illimitati I primi quattro 0,777… 3,666… 0,363636… 2,939393… Hanno, subito dopo la virgola (la parte decimale) una o più cifre che si ripetono all'infinito. Questi numeri sono gli illimitati periodici semplici, chiamati così perché la cifra o il gruppo di cifre che si ripete,si chiama periodo. Perindicarlo più comodamente, si mette una lineetta sopra il periodo: 0,7 3,6 0,36 2,93

21. Ma quali frazioni….? • Quali erano le fraz generatrici di questi illimitati periodici semplici? Rivediamole 7/9 11/3 4/11 97/33 Dove dobbiamo puntare l'attenzione? Scomponiamo in fattori i denominatori: 9 = 32 3 = 3 11 = 11 33 = 3x11 Quali erano i nostri due "numeri chiave"? Notiamo che essi sono assolutamente assenti!

22. 2d. Ancora una conclusione Numero decimale illimitato periodico semplice Parte intera Esempi 3,45 2,7 0,532 Periodo • Una fraz irriducibile si trasforma in un numero decimale illimitato periodico semplice se il suo denominatore, in fattori primi, non contieneaffatto i fattori 2 e 5

23. Riconsideriamo gli altri illimitati … 0,53333… 0,583333… Notiamo che questi subito dopo la virgola, hanno una o più cifre che non si ripetono, seguite dal periodo. Questi numeri sono gli ill. periodici misti e le cifre che non si ripetono costituiscono l'antiperiodo. Essi si indicano così: 0,53 0,583

24. Riprendiamo le fraz che li hanno generati 8/15 = 8:15 = 0,53 7/12 = 7:12 = 0,583 Osserviamo ? I denominatori, in fattori primi: 15 = 5x 3 12 = 22x 3 Contengono il 2 o il 5(possono essere presenti entrambi) assieme ad altri fattori "estranei" (è proprio un misto!)

25. 2e. Quindi, gli ill. per. misti… N° decimale ill. periodico misto parte intera 2,37 0,2456 antiperiodoperiodo • Una fraz irriducibile si trasforma in un numero decimale illimitato periodico misto se il suo denominatore, in fattori primi, contiene i fattori 2 e 5 o entrambi, più altri fattori.

26. 3. Dal numero decimale alla frazione generatrice • Consideriamo il numero decimale limitato 3,4 Da quale frazione (o frazioni?…) può essere generato? Ma quali numeri, che prenderemo come denominatori, contengono sicuramente solo i fattori 2 e 5?

27. Dal numero decimale alla frazione generatrice • Certo si tratta dei numeri 10, 100, 1000 … • Quindi la frazione generatrice di 3,4 potrebbe avere come denominatore … • 3,4 è stato ottenuto da una divisione … • Le divisioni per 10, 100, 1000 … • Eseguite 34:10 = ? • La frazione generatrice di 3,4 è quindi 34/10

28. Esercitiamoci … E scriveremo 3,4 = 34/10 ancora 2,6 = 26/10 1,25 = … 0,3 = 3/10 2,127 = …. 0,789 = … Notiamo che molte di queste frazioni (decimali) non sono primitive, perciò è opportuno semplificare 34/10 = 17/5. È questa da considerarsi la frazione generatrice di 3,4. 3,4 = 17/5 (Osservate il denominatore, tornano i conti ….)

29. 3a. Un decimale limitato è generato… • La frazione generatrice di un numero decimale limitato è una frazione che ha per denominatore 10, 100, 1000… (a seconda delle cifre decimali del numero) e per numeratore il numero considerato, preso senza la virgola (come fosse intero). Se non primitiva, la frazione va semplificata.

30. 3b. La generatrice di un illimitato • Consideriamo il numero ill per semplice 2,7 Una serie di passaggi matematici un po' "noiosi", ci condurrebbe a stabilire che: La fraz generatrice di un n° dec ill per semplice ha per denominatore tanti 9 quante sono le cifre del periodo e per numeratore la differenza tra il numero considerato intero e la sua parte intera.

31. Si fa così Meglio chiarire con l'esempio 2,7 = 27 – 2 = 25 9 9 1,21 = 121– 1 = 120 = 40 99 99 33 Una curiosità: 1,9 = 19 – 1 = 18 = 2 9 9 Un n° periodico sempl con periodo 9 è uguale al numero intero successivo a quello indicato dalla parte intera del numero stesso. (ricordate Achille che non raggiungeva la lumaca? Ma sì, la raggiunge!)

32. 3c. Periodici misti Consideriamo il numero 1,13 La fraz generatrice di un n° dec ill per misto ha per denominatore tanti 9 quante sono le cifre del periodo, tanti 0quante le cifre dell'antiperiodo e per numeratore la differenza tra il numero considerato intero e la sua parte non periodica (intera + antiperiodo).

33. Si fa così 1,13 = 113 – 11 = 102 90 90 2,214 = 2214 – 221 = 1993 900900 0,235= 235 – 2 = 233 990 990 esercizi…

34. 4. Calcolo nell'insieme Q+ • Per operare nell'insieme Q dei numeri razionali appena conosciuto ci serviamo del libro di testo e.. • Risolviamo anche le espressioni!! ……………… ………………. (abbiamo raggiunto tutti gli obiettivi?)