Questões desta unidade

1. Unidade teórica 7 . ACTIVOS FINANCEIROS COMPLEXOS: OPÇÕES E CONTRATOS A PRAZO Inclui notas de curso retirados da internetCarlos Arriaga Costa2005/06

2. Questões desta unidade . O que diferencia um activo financeiro simples de um activo complexo? . O que é uma opção? Call e put? . Qual a relação de paridade put-call? . Como se avalia uma opção? . O que é um activo financeiro sintético?

3. conceitos • A. Definição: Direito de comprar ou vender um título específico a um preço determinado (preço de exercício) na data ou antes de acordo com o valor de mercado do título subjacente na data em que a opção é exercida. • B. Call: Direito de comprar um título. • C. Put: Direito de vender um título.

4. Terminologia • Comprar - Longo • Vender - Curto • Call • Put • Elementos chave • Preço de exercício • Prémio ou preço da opção • Maturidade ou data de expiração

5. Preço de mercado e Preço de exercício • Quando o exercício da opção tem ganho • Call: preço de mercado > preço do exercício Put: preço do exercício > preço de mercado • Quando o exercício da opção tem perda Call: preço de mercado < preço do exercício Put: preço do exercício < preço de mercado • Sem ganhos ou perdas – preço de exercício igual ao preço do activo subjacente.

6. Relação entre a acção e a opção • Empresa • O mercados de títulos (subjacentes) e de opções não se encontram relacionados excepto no preço do título no mercadod e títulos e no de exercício no mercado de opções. Mercado Títulos Mercado de opções Investidor em opções Investidor

7. Opção americana e opção europeia • Op Americana: A opção pode ser exercida em qualquer altura antes da data de expiração. • Op Europeia: A opção pode ser somente exercida na data de expiração.

8. Diferentes tipos de opções • Stock Options • Index Options • Futures Options • Foreign Currency Options • Interest Rate Options

9. Recebimentos (payoffs) de call(s) na data de expiração • Notação Stock Price = ST Exercise Price = X • Payoff to Call Holder (ST - X) if ST >X 0 if ST < X • Lucro do possuidor de um Call Pagamento – Preço de compra

10. Recebimentos (payoffs) de um vendedor de um call na data de expiração Payoff to Call Writer - (ST - X) if ST >X 0 if ST < X Profit to Call Writer Payoff + Premium

11. Lucro de call • Lucro Comprador de Call Vendedor de call Preço da acção

12. Recebimentos (payoffs) de compradores de PUT na data de expiração • Payoffs de um comprador de Put 0 if ST> X (X - ST) if ST < X • Lucro de um comprador de Put Payoff - Premium

13. Recebimentos (payoffs) de um vendedor de Put na data de expiração • Payoffs de um vendedor de Put 0 if ST > X -(X - ST) if ST < X • Lucro de um vendedor de um Put Payoff + Premium

14. Lucros de um Put • Lucro Vendedor de put Comprador de put Preço da acção

15. Relação de paridade Put-Call • . ST< X ST > X Payoff de Comprador de Call 0 ST - X Payoff de Vendedor call -( X -ST) 0 Payoff total ST - XST - X

16. Payoff de Long Call e Short Put Payoff Long Call Combinação = Leveraged Equity Preço acção Short Put

17. Arbitragem de uma paridade Put-Call • Desde que o recebimento de uma combinação de um long call e de um short put são equivalentes , os preço devem ser • C - P = S0 - X / (1 + rf)T • Se os preços não forem iguais haverá possibilidade de arbitragem.

18. Paridade Put-Call – em desequilíbrio Exemplo Stock Price = 110 Call Price = 17 Put Price = 5 Risk Free = 10.25% Maturity = .5 yr X = 105 C - P > S0 - X / (1 + rf)T 17- 5 > 110 - (105/1.05) 12 > 10 • Como o ponto de equilíbrio (leveraged equity) tem um custo menor, adquire-se a de menor custo e vende-se a alternativa de maior custo.

19. Arbitragem na paridade Put-Call • Cashflow em seis meses • Posição Cashflow ST<105 ST> 105 • Comprar Stock -110 ST ST • Emprestimo • X/(1+r)T = 100 +100 -105 -105 • Vender Call +17 0 -(ST-105) • Comprar Put -5 105-ST 0 • Total 2 0 0

20. Estratégias de opções • Put de protecção Long Stock Long Put • Call coberto Long Stock Short Call • Straddle- estrela (mesmo preço exercício) Long Call Long Put

21. Estratégias com opções • Spreads – Uma combinação de duas ou mais opções de call ou de put sobre o mesmo activo subjacente com diferentes preços de exercício ou datas de expiração. • Vertical (money spread) Mesma maturidade preços de exercício diferentes • Horizontal ( time spread) Datas de maturidade diferentes

22. Valor de uma opção • Valor intrínseco = Lucro que pode ser obtido se a opção for exercida de imediato. - Call: preço da acção – preço de exercício • Put: preço de exercício – preço da acção • Valor no tempo = Diferença entre o preço da opção e o valor intrínseco.

23. Time Value de Opções: Call Valor opção Valor call Valor tempo X Stock Price

24. Determinantes do valor de uma opção: Calls Factores Consequencia sobre o valor Preço da acção Aumenta Peço exercício Diminui Volatilidade do preço da acção Aumenta Time to expiration Aumenta Taxa de juro Aumenta Dividend Rate Diminui

25. Preço de uma opção: modelo Binomial 75 • 200 • 100 C 50 0 Preço da acção Preço exercicio da Call X = 125

26. Preço de uma opção: modelo Binomial 150 Portfolio Alternativo Comprar 1 acção a $100 cada Pedir Emprestado $46.30 (8% Rate) Valor liquido $53.70 Payoff Valor acção 50 200 Reemb.emprest - 50 -50 Net Payoff 0 150 0 Estrutura do Payoff é exactamente 2 vezes a the Call

27. Preço de uma opção: modelo Binomial 150 75 C 0 53.70 0 2C = $53.70 C = $26.85

28. Outra maneira de replicar os Payoffs e o valor das opções • Porfolio alternativo – um acção e duas vendas de call (X = 125) • O Portfolio é perfeitamente coberto Stock Value 50 200 Obrigação Call 0-150 payoff líquido 50 50 • Aqui 100 - 2C = 46.30 ou C = 26.85

29. Valor d euma opção segundo Black-Scholes Co= Soe-dTN(d1) - Xe-rTN(d2) d1 = [ln(So/X) + (r –d + s2/2)T] / (s T1/2) d2 = d1 - (s T1/2) Onde Co = valor corrente de uma call. So= preço corrente de uma acção N(d) = probabilidade que um valor aleatório com distribuição normal seja inferior a d.

30. Valor de uma opção segundo Black-Scholes X = Preço exercício. • = Rendimento anual do dividendo do activo subjacente e = 2.71828, base do logaritmo natural. r = Taxa de juro sem risco (anualiza continuamente e de forma composta com a mesma maturidade da opção). T = Duração até a maturidade da opção em anos. ln = Função log natural s = DEsvio padrão da taxa de retorno (composta) da acção

31. Exemplo da opção Call utilizando Black-Sholes So = 100 X = 95 r = .10 T = .25 (quarter) s = .50 d = 0 d1 = [ln(100/95)+(.10-0+(.5 2/2))]/(.5.251/2) = .43 d2 = .43 - ((.5)( .251/2) = .18

32. Probabilidade tendo em conta a distribuição normal N (.43) = .6664 d N(d) .42 .6628 .43 .6664 Interpolation .44 .6700

33. Probabilidade tendo em conta a distribuição normal N (.18) = .5714 d N(d) .16 .5636 .18 .5714 .20 .5793

34. Valor de uma opção call Co= Soe-dTN(d1) - Xe-rTN(d2) Co = 100 X .6664 - 95 e- .10 X .25 X .5714 Co = 13.70 • Volatilidade implícita • Utiliando Black-Scholes e o preço actual da opção, resolver em ordem a volatilidade. • A volatilidade implícita é consistente com a acção?

35. Valor da opção Put : Black-Scholes P=Xe-rT [1-N(d2)] - S0e-dT [1-N(d1)] Usando os mesmos dados do exercicio anterior P = $95e(-.10X.25)(1-.5714) - $100 (1-.6664) P = $6.35

36. Avaliação da opção Put : Utilizando a paridade Put-Call P = C + PV (X) - So = C + Xe-rT - So Utlizando os mesmos dados: C = 13.70 X = 95 S = 100 r = .10 T = .25 P = 13.70 + 95 e -.10 X .25 - 100 P = 6.35

37. Utlizando a formula de Black-Scholes Cobertura: racio de cobertura ou delta O número de acções requeridos para cobrir o risco de uma opção Call = N (d1) Put = N (d1) – 1 Elasticidade da Opção Mudança em percentagem do valor de uma opção dado uma mudança de 1% do valor da acção subjacente.