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Transformée de Laplace

Transformée de Laplace. Objectifs du cours . Revoir les nombres complexes et le théorème d’Euler Revoir la transformée de Laplace Détermination de la fonction de transfert Décomposition de la réponse en fractions partielles Introduction à la modélisation. Introduction.

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  1. Transformée de Laplace GPA535. (C) R. AISSAOUI

  2. Objectifs du cours • Revoir les nombres complexes et le théorème d’Euler • Revoir la transformée de Laplace • Détermination de la fonction de transfert • Décomposition de la réponse en fractions partielles • Introduction à la modélisation GPA535. (C) R. AISSAOUI

  3. Introduction Pour effectuer l’analyse et la synthèse d’un système dynamique, il est nécessaire de connaître les relations entre ses grandeurs d’entrée et ses grandeurs de sorties. L’ensemble de ces relations constituent le modèle mathématique du système. GPA535. (C) R. AISSAOUI

  4. Introduction La mise en équations d’un système consiste, après avoir considéré que le système est linéaire et invariant dans le temps, à lui appliquer les lois qui le régissent. GPA535. (C) R. AISSAOUI

  5. Introduction • des lois de la mécanique pour les mouvements des corps solides en translations et/ou en rotation • des lois de l’électricité pour les circuits électriques (Les systèmes à composants passifs et actifs) • des lois magnétiques (moteur à courant continu,…) • des lois de l’écoulement des fluides la thermodynamique… GPA535. (C) R. AISSAOUI

  6. Mécanique (Loi de Newton) • En translation : somme des forces agissant sur un corps = accélération linéaire du centre de gravité du corps fois la masse du corps • En rotation : somme des moments de forces agissant sur un corps solide = accélération angulaire du corps fois le moment d’inertie par rapport au centre de gravité GPA535. (C) R. AISSAOUI

  7. Loi de l’électricité (loi de Kirchhoff) • Somme des tensions dans une maille est nulle • Somme des courants traversant un nœud est nulle GPA535. (C) R. AISSAOUI

  8. Il s’agit de trouver un formalisme qui permet de relier l’entrée de référence r(t) à la sortie contrôlée c(t) et ce au travers d’un système ou plusieurs sous-systèmes mis en cascade. GPA535. (C) R. AISSAOUI

  9. SYSTÈME LINÉAIRE INVARIANT DANS LE TEMPS (S.L.I.T.) GPA535. (C) R. AISSAOUI

  10. Transformée de Laplace • C’est une méthode opérationnelle pour la résolution des équations différentielles. • Conversion de fonctions sinusoïdales et exponentielles sous forme de fonctions algébriques à variable complexe. • L’intégration et la dérivation peuvent être remplacées par une opération algébrique dans le plan complexe. • La transformée de Laplace permet l’utilisation de techniques graphiques pour prédire la performance d’un système sans résoudre le système. • La transformée de Laplace permet la détermination simultanée du régime transitoire et du régime permanent. GPA535. (C) R. AISSAOUI

  11. Transformée de Laplace  Résolution des équations différentielles qui régissent les S.L.I.T. Exemple : Conditions initiales nulles Conditions initiales GPA535. (C) R. AISSAOUI

  12. Variable complexe et fonction complexe Variable complexe. Un nombre complexe est un nombre qui possède une partie réelle et une partie imaginaire constante. Si la partie réelle ou imaginaire sont variables alors le nombre complexe est dit une variable complexe. Pour la transformée de Laplace on utilise la notation suivante: Complexe Complexe conjugué GPA535. (C) R. AISSAOUI

  13. Représentation géométriques des nombres complexes Im M s +  On définit alors: 0 Module de s Re Phase de s GPA535. (C) R. AISSAOUI

  14. Opérations dans l’ensemble des complexes Addition: Multiplication: GPA535. (C) R. AISSAOUI

  15. Division de 2 nombres complexes GPA535. (C) R. AISSAOUI

  16. Exemples: déterminer le module et l’argument des complexes suivants GPA535. (C) R. AISSAOUI

  17. Fonctions TI - Matlab GPA535. (C) R. AISSAOUI

  18. THÉORÈME D’EULER Le développement en série de puissance des fonctions circulaires sinus et cosinus s’écrivent: GPA535. (C) R. AISSAOUI

  19. THÉORÈME D’EULER Or on sait que la fonction exse développe par Alors le théorème d’Euler: GPA535. (C) R. AISSAOUI

  20. THÉORÈME D’EULER Alors GPA535. (C) R. AISSAOUI

  21. Tout nombre complexe peut s’écrire sous une forme exponentielle GPA535. (C) R. AISSAOUI

  22. VARIABLE COMPLEXE – FONCTION COMPLEXE (suite) Fonction complexe. Une fonction complexe F(s) possède une partie réelle et une partie imaginaire et s’écrit: Où Fx et Fy sont des quantités réelles. +  GPA535. (C) R. AISSAOUI

  23. EXEMPLE DE FONCTION COMPLEXE GPA535. (C) R. AISSAOUI

  24. Exemple - TI GPA535. (C) R. AISSAOUI

  25. Exemple - TI GPA535. (C) R. AISSAOUI

  26. TRANSFORMÉE DE LAPLACE Si f(t) est une fonction du temps telle que f(t) =0 pour t<0, et si s désigne la variable complexe Et Ldésigne l’opérateur de la T.L. alors: Condition d’existence = convergence de l’intégrale GPA535. (C) R. AISSAOUI

  27. TRANSFORMÉE DE LAPLACE INVERSE Le processus inverse est définit: Où c est l’abscisse de convergence et choisit plus grand que toute les valeurs singulières (pôles) de F(s). Le chemin de l’intégrale se fait à droite de ces points singuliers. ON N’UTILISERA PAS CETTE FORME GPA535. (C) R. AISSAOUI

  28. SIGNAUX DE COMMANDE (Tableau 1.1 p.19) GPA535. (C) R. AISSAOUI

  29. TRANSFORMÉE DE LAPLACE(Tableau 2.1p. 41) GPA535. (C) R. AISSAOUI

  30. TRANSFORMÉE DE LAPLACE Fonction sinus amortie Fonction cosinus amortie GPA535. (C) R. AISSAOUI

  31. Propriétés de la transformée de Laplace • Linéarité (items 2 et 3) • Décalage fréquentiel (item 4) • Décalage temporel (item 5) • Modification d’échelle (item 6) • Dérivation (items 7, 8 et 9) • Intégration (item 10) • Théorème de la valeur finale (item 11) • Théorème de la valeur initiale (item 12) GPA535. (C) R. AISSAOUI

  32. Propriétés des transformée de Laplace GPA535. (C) R. AISSAOUI

  33. La transformée de Laplace sert à : Résoudre des équations différentielles (intégrales) comme des équations algébriques. Trouver simultanément la solution complète : homogène et particulière. Plus facile à gérer les conditions initiales lorsque la fonction f(t) est discontinue. GPA535. (C) R. AISSAOUI

  34. FONCTION DE TRANSFERT GPA535. (C) R. AISSAOUI

  35. Étape à suivre pour déterminer la réponse d’un système • Déterminer par les lois physiques les relations entre les différentes entrées-sorties. • Effectuer les transformées de Laplace de ces relations (éq. diff) • Identifier la commande (R(s)) et la variable de sortie (C(s)) • Établir la fonction de transfert G(s) = C(s)/ R(s) • Déterminer la réponse à partir de C(s) • C(s) = N(s) / D(s) • Décomposer en fraction partielle • Identifier les composants et leurs transformée de Laplace inverse (Tables) GPA535. (C) R. AISSAOUI

  36. Décomposition en fraction partielle d’une fonction complexe • Les racines du dénominateur et distincts • Les racines du dénominateur sont réelles et multiples • Les racines du dénominateurs sont complexes ou imaginaires pures GPA535. (C) R. AISSAOUI

  37. Racines réelles distinctes Pour déterminer K1 On donne à s la valeur qui annule le terme de K2 (s+1=0) donc s =-1 GPA535. (C) R. AISSAOUI

  38. Racines réelles distinctes La décomposition nous permet de retrouver grâce au tableau 2.1 la réponse temporelle f(t) GPA535. (C) R. AISSAOUI

  39. Racines réelles distinctes GPA535. (C) R. AISSAOUI

  40. Exemple GPA535. (C) R. AISSAOUI

  41. Réponse GPA535. (C) R. AISSAOUI

  42. Racines réelles multiples et distinctes GPA535. (C) R. AISSAOUI

  43. GPA535. (C) R. AISSAOUI

  44. Racines complexes GPA535. (C) R. AISSAOUI

  45. Exemple 1 racines multiples (TI) GPA535. (C) R. AISSAOUI

  46. Exemple 1 (TI) GPA535. (C) R. AISSAOUI

  47. Racine complexe GPA535. (C) R. AISSAOUI

  48. Ça ne fonctionne pas ? GPA535. (C) R. AISSAOUI

  49. Utilisation de s_ à la place de s GPA535. (C) R. AISSAOUI

  50. La réponse GPA535. (C) R. AISSAOUI

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