RNGF, 11. i 12. IX. 2007.

Usporedba nekoliko determinističkih interpolacijskih metoda Pripremljeno na: Autor: Tomislav MALVIĆ INA – Industrija nafte d.d., SD Istraživanje i proizvodnja nafte i plina, Sektor za razradu Rudarsko-geološko-naftni fakultet, Zavod za geologiju i geološko inženjerstvo RNGF, 11. i 12. IX. 2007.

DETERMINIZAM • Determinizam je usko povezan s inženjeskim pogledom u opisivanju stijenskih sustava; • Na taj način, iako smo svjesni nesavršenosti mjerenja, njihova ograničenog broja, te raznolikosti stvarnog geološkog sklopa, pokušavamo pojednostaviti naš pogled na (u ovom slučaju) naftnoplinske sustave; • Determinizam podrazumijeva da iz postojećeg skupa mjerenja možemo uz prihvatljivu pouzdanost interpretirati odabrani parametar stijene/ležišta;

DIO I. O INTERPOLACIJSKIM METODAMA

O metodama (1) • Procjenu, odnosno interpolaciju moguće je načiniti u jednoj, dvije ili tri dimenzije. • Procjena se može načiniti na temelju poznatih vrijednosti promatrane primarne varijable (autokorelacija) ili uz pomoć vrijednosti jedne ili više drugih sekundarnih varijabli na istom prostoru. Uvjet je da su sekundarne varijable u jakoj korelaciji s primarnom varijablom. • Usporedit ćemo sljedeće četiri: • metoda inverzne udaljenosti („Inverse Distance Weighting“), • metoda najbližeg susjedstva („Nearest Neighbourhood“), • metoda lokalne sredine („MovingAverage“) i • kriging („Kriging“).

Ručna interpolacija (“Eyeballing”) (1) Ručna interpolacija već duže vrijeme se gotovo ne upotrebljavaa kod geografa i kartografa (Dr. Brian Klinkenberg, Dept. of Geography, Univ. of British Columbia). S druge strane, Dutton-Marion(Dutton-Marion, K.E., 1988. Principles of Interpolation Procedures in the Display and Analysis of Spatial Data: A Comparative Analysis of Conceptual and Computer Contouring, unpublished Ph.D. Thesis, Department of Geography, University of Calgary, Calgary, Alberta. ) je ukazala kako je takav način izrade karata još uvijek vrlo raširen među geolozima (uglavnom izbjegavaju sofisticirane matematičke algoritme). Razlog? Geolozi imaju izrazito veliko povjerenje u svoje ekspertno znanje, iskustvo i sposobnost predočavanje podzemlja. No u današnje vrijeme osobno iskustvo mora biti nadopunjeno priznatim inženjerskim interpolacijskim tehnikama, kako zbog točnosti, objektivnosti, tako i brzine izrade karata.

Ručna interpolacija (2) • Ručna interpolacija dopušta subjektivno variranje odgovora na nekoliko važnih pitanja kod izrade karata: • Koliko postojećih mjerenja se uzima u obzir kod procjene nepoznate vrijednosti; • Kako interpolirati izrazito nepravilne skupove postojećih podataka; • Kako konstruirati izolinije na rubovima karte. • Matematičke metode većinu ovih postupaka rješava preko algoritma. Inženjer ima mogućnost: • 4. Odabrati najprimjereniji algoritam; • 5. Podesiti promjenjive parametre u istome na temelju svoga iskustva.

DIO II. METODA INVERZNE UDALJENOSTI

Metoda inverzne udaljenosti (1) • Procjenjuje vrijednosti na temelju relativno jednostavnog matematičkog izraza (“Inverse Distance Weighting”). • Utjecaj svake točke obrnuto je proporcionalan njezinoj udaljenosti od lokacije na kojoj se procjenjuje vrijednost. Broj točaka uključenih u procjenu (z1...zn) određen je radijusom kružnice postavljene oko spomenute lokacije. • Rezultat metode snažno ovisi o vrijednosti eksponenta udaljenosti (p). Najčešće ta vrijednost iznosi 2 (“power” oblik jednadžbe), jer je tada i račun najjednostavniji. gdje su: zIU - procijenjena vrijednost d1...dn - udaljenosti lokacija 1...n od mjesta procjene - eksponent udaljenosti z1...zn - stvarne vrijednosti na lokacijama 1...n

Metoda inverzne udaljenosti (2) Karta raspodjele poroznosti dobivena metodom inverzne udaljenosti

DIO III. METODA NAJBLIŽEG SUSJEDSTVA

Metoda najbližeg susjedstva (1) • Metoda najbližeg susjedstva (“Nearest neighborhood”) dodjeljuje vrijednost poligonu, koja je jednaka vrijednosti točke u njegovom središtu. • Upotrebljiva metoda kada postoji mali broj podataka. Tada karta nije pouzdana, ali prikaz preko zona može naznačiti približnu razdiobu parametra. • Ukoliko postoje područja na kojima ne postoji dovoljan broja podataka da bi dobivena mreža mogla biti relevantna, ona se mogu izuzeti iz proračuna.

Metoda najbližeg susjedstva (2) Primjer 1: interpolacija met. Najbližeg susjedstva pokazuje niz obojanih poligona s vrijednošću pojedinačnog mjerenja u njihovu središtu. Primjer 2: Upotreba pravilne točkaste mreže 8idealizirani slučaj) Karta raspodjele poroznosti dobivena metodom najbližeg susjedstva

DIO IV. METODA POKRETNE SREDINE

Metoda pokretne sredine (1) • Metoda pokretne sredine dodjeljuje vrijednosti točkama procjeen tako da uzme u obzir sva mjerenja unutar radijusa istraživanja. • Iz tih postojećih mjerenja računaju se aritmetičke sredine, prvo iz svih podataka, a kasnije se broj smanjuje za po jedan podatak. • Određuje se najmanji broj podataka potreban za izračun. Ako uvjet nije zadovoljen procjena se ne računa. • Točka procjene nalazi se u središtu kružnice ili elipsoida istraživanja.

Metoda pokretne sredine (2) Gdje je “n” broj uključenih mjerenja, a “p” sredina tih mjerenja. Može biti upotrebljen gotovo neograničen broj podvrsta algoritama koji su varirani na temelju: - radijusa kružnice ili elipsoida koji uključuje mjerene vrijednosti; - varijacije minimalnog broja točaka iz kojih se računaju sredine. Danas je to općenito najčešće upotrebljavana metoda. Ograničena je time da će interpolirane vrijednosti biti u granicama (min,max) ulaznih mjerenja.

Metoda pokretne sredine (3) Primjer: Interpolacija dubine vodenog lica met. pokretne sredine. Vidljiv je utjecaj “koncentriranja” izobata Preuzeto s: www.itc.nl/ilwis/applications/applications10.asp

DIO V. KRIGING

Kriging (1) Metoda krigingapredstavlja geostatistički postupak. Prethodi joj određivanje prostorne zavisnosti, odnosno variogramska analiza. Upravo je variogramska analiza glavna prednost kriginga pred drugim matematičkim interpolacijskim metodama. Smisao iste je u određivanju veze između mjerenih podataka te točke u kojoj se računa procjena. U ranije opisanim metodama taj utjecaj bio je određen isključivo njihovom apsolutnom udaljenošću. Variogramskom analizom u obzir se uzimaju smjerovi promatranja, analiza nakupina podataka (“clustering”), lokalna varijanca...

Kriging (2) Procjena krigingom može se opisati jednostavnim linearnim izrazom (koji se kasnije raspisuje u obliku matričnih jednadžbi), kojim se procjenjuje vrijednost na nepoznatoj lokaciji: gdje su: zK - procjenjena vrijednost iz ‘n’ okolnih vrijednosti i - težinski koeficijent na lokaciji ‘i’ zi - stvarna vrijednost na lokaciji ‘i’

Kriging (3) Karta raspodjele poroznosti dobivena metodom kriginga (uz izotropan variogramski model dosega 1100 metara)

Kriging (4) Primjer: Vrijednosti variograma i karta kriginga dobivene u dolomitima

Kriging (5) Primjer: Vrijednosti variograma i karta kriginga dobivene u brečama

DIO VI. KRUŽNICA ILI ELIPSOID UTJECAJA

Kružnica, odn. elipsoid utjecaja (1) Kod procjene nove vrijednosti u obzir se uzima određeni broj postojećih mjerenja (osim kod metode Najbližeg susjedstva gdje se promatra po jedna točka). Taj postupak može uključiti sva postojeća mjerenja ili dio odabranih. Dio se odabire jer se najčešće ne utječu sva mjerenja podjednako na cijeloj karti (npr. mjerenja s jednog ruba neće utjecati na procjenu na drugom rubu karte). Kod jednostavnijih metoda određuje se kružnica kojom se obuhvaća dio mjerenja smještenih okolo točke procjene. Kod naprednijih kružnica se može zamijeniti elipsom, koja će pratiti pružanje strukture ili smjerove prostorne zavisnosti.

DIO VII. NUMERIČKA PROCJENA POGRJEŠKE

Numerička procjena pogrješke (1) Numerička procjena greške predstavlja dodatni alat za ocjenu kvalitete dobivenih karata. Temelji se na zanemarivanju vrijednosti izmjerene na jednoj od lokacija te procjeni nove vrijednosti s obzirom na preostale postojeće podatke. Postupak se ponavlja za sve bušotine te na kraju računa srednja kvadratna greška procjene (engl. «Mean Square Error» - MSE). gdje su: MSEmetode - srednja kvadratna greška procjene odabrane metode izmj.vrij. - izmjerena vrijednost odabrane varijable na bušotini «i» procj.vrij. - procijenjena vrijednost odabrane varijable na bušotini «i»

DIO VIII. ZAKLJUČAK

Zaključak • Determinističke metode procjene danas još uvijek prevladavaju u usporedbi sa stohastičkim procjenama ili vjerojatnosnom pristupu poput Monte Carla. • U skladu su s dominantnim inženjerskim pogledom na podzemlje, koje isto najčešće aproksimira sa “konačno upoznatim prostorom”. • Najčešće upotrebljavana metoda je ona “Pokretne sredine”, posebno kod inženjera kojima interpolacija nije jedan od temeljnih zadataka kojim se bave. • No, sve se više povećava udjel karata interpoliranih “krigingom”, posebno tamo gdje postoji nekoliko desetaka podata. • Uz korektnu prostornu analizu takav pristup omogućava najpouzdaniju interpolaciju svih točkastih parametara.

RNGF, 11. i 12. IX. 2007.