GEOESTADISTICA MULTIVARIADA

1. GEOESTADISTICA MULTIVARIADA

2. Geoestadística multivariada Hasta ahora se ha estudiado como estimar una propiedad utilizando los valores conocidos de dicha propiedad obtenidos en puntos vecinos o cercanos o bien como hacer uso de una función de tendencia para guiar la estimación de la propiedad. A continuación estudiaremos algunas técnicas geoestadísticas propuestas para obtener estimaciones de la propiedad de interés cuando se dispone de observaciones de otras variables relacionadas con la variable en estudio. Entre este tipo de técnicas se encuentran: Cokriging Simple y Ordinario Cokriging colocado (collocated cokriging)

3. Geoestadística multivariada Al igual que en el caso de geoestadistica univariada, lo fundamental es contar con una herramienta que mida la correlación espacial de las variables involucradas y su interrelación. La correlación espacial de cada una de las variables involucradas se obtiene como antes a través de la función de covarianza o del variograma. La correlación espacial conjunta o la interrelación se obtiene a traves de la funcion de covarianza cruzada que estudiaremos a continuación

4. VARIOGRAMA CRUZADO comportamiento espacial en conjunto

5. Si Z y Sson funciones aleatorias estacionarias o intrínsecas, el variograma cruzado de ellas se define como : Para su estimación se utiliza el variograma cruzado experimental

6. El variograma cruzado es una función simétrica Algunas propiedades del variograma cruzado son: 1) 2) 3) 4) Relación con la función de covarianza cruzada La función de covarianza cruzada se define como:

7. La función de covarianza cruzada se relaciona con el variograma cruzado a través de la ecuación Esta expresión se debe al hecho de que la función de covarianza no necesariamente es simétrica. Es decir, en general Sin embargo, una práctica común es asumir que la función de covarianza es simétrica. Esto simplifica enormemente los cálculos asociados a la estimación de la función de covarianza conjunta. En ese caso,

8. Desigualdad de Hölder 5) Relación de dependencia Es importante tener presente que entre el variograma cruzado y los variogramas de cada una de las variables, existe una relación de dependencia. Por ejemplo, se puede demostrar que: En particular, El producto de cada uno de los sill de los variogramas individuales es mayor que el cuadrado del sill del variograma cruzado. En consecuencia, el modelo de variograma cruzado no puede ser escogido independientemente de cada uno de los modelos de variogramas individuales!

9. 5) El modelo de coregionalización lineal Anteriormente se aseguraba que la varianza de combinaciones lineales de la variable de interés era positiva utilizando modelos de variograma. Al incluir más variables, es necesario asegurar que la varianza de combinaciones lineales de estas sea positiva. Para lograr esto se utiliza el modelo lineal de coregionalización, que establece que los variogramas individuales y el cruzado son combinaciones lineales de modelos de variogramas. En el caso de 2 variables se tiene que:

10. Las ecuaciones anteriores se puede escribir en forma matricial como: Cada una de las matrices que contienen los variogramas son definidas positivas, por lo tanto para que el resultado final sea una matriz definida positiva debe ocurrir que:

11. El uso del modelo de coregionalización lineal tiene las siguientes consecuencias: 1) Todo estructura presente en el variograma cruzado deber estar presente en los variogramas individuales. El recíproco no es cierto. Esto hace que en general resulte engorroso ajustar variogramas experimentales de las variables y sus variogramas cruzados, ya que al cambiar los valores del variograma cruzado cambian los valores de los variogramas individuales. La forma de juzgar la bondad del ajuste es establecer un compromiso entre el ajuste de cada uno de los variogramas y su desviación de los valores experimentales. 2) Los variogramas individuales tendrán todos el mismo rango y la forma del variograma será la misma. Sólo se diferenciarán en los valores del sill 3) Los variogramas individuales tendrán todos la misma dirección de anisotropía

12. 4) Envolvente del variograma cruzado Debido a la relación entre los parámetros u, v y w el variograma cruzadose encuentra siempre dentro de dos curvas que conforman su envolvente. h

13. COKRIGING

14. Cokriging Considerar la estimación de como una combinación lineal de las observaciones disponibles de Zmás combinaciones lineales de las observaciones de las variables relacionadas. Ejemplo: Propiedad o variable principal, por ejemplo porosidad Información o variable secundaria, por ejemplo impedancia acústica Combinación lineal de la variable secundaria Combinación lineal de la variable principal Planteamiento básico de la estimación por Cokriging: +

15. Cokriging + + + Combinaciones lineales de las variables secundarias Combinación lineal de la variable principal + En el caso general lo único que se complica es la notación : Propiedad o variable principal, por ejemplo porosidad Variables secundarias, por ejemplo atributos sísmicos

16. Cokriging A continuación se obtendrán las ecuaciones de cokriging simple en el caso en que se considera solo una variable secundaria. En este caso el estimador propuesto es COKRIGINGSIMPLE El caso más simple se denomina cokriging simple y la hipótesis básica es la estacionaridad de todas las variables junto con el hecho de que se asume que las medias de todas las variables son conocidas. Esto es,

17. Cokriging 2) mínima Al igual que antes, las condiciones de optimalidad son: 1) Estimador insesgado La primera condición se obtiene automáticamente al utilizar que: Con lo cual,

18. Cokriging Para calcular explícitamente la expresión de la varianza hay que proceder con cautela debido a que aparecen nuevos términos a considerar. La condición de varianza mínima se obtiene derivando respecto a los parámetros  y  e igualando a cero cada una de las derivadas obtenidas.

19. Cokriging Covarianza de la variable secundaria Covarianza cruzada entre la variable primaria y la variable secundaria Covarianza de la variable principal

20. Cokriging Al calcular las derivadas respectivas se obtiene que Ahora la expresión detallada del sistema de ecuaciones es

21. Cokriging

22. Cokriging El estimador propuesto es Con lo cual, Y se obtienen las condiciones, + COKRIGINGORDINARIO Al igual que en el caso de kriging ordinario, se asume que las medias de las variables son desconocidas y se imponen condiciones para filtrarlas.

23. Cokriging Ahora se procede nuevamente como en el kriging ordinario pero con K+1 parámetros de Lagrange. Cuando se tiene tan solo una variable secundaria, el sistema de ecuaciones del cokriging ordinario es

24. Cokriging OBSERVACIONES 1) Con sólo 2 variables se requieren 4 funciones de covarianza. En general, con N variables secundarias se requieren 2N+1 funciones de covarianza. 2) Debe existir una correlación lineal entre las variable principal y las variables secundarias 3) Las variables secundarias deben poseer un número mucho mayor de observaciones que la variable principal.

25. Cokriging 4) Imposible estimar las covarianzas cruzadas con datos NO coincidentes Variable secundaria (impedancia acústica) Variable principal (porosidad)

26. Cokriging 5) Resultados satisfactorios se obtienen con datos parcialmente coincidentes Variable secundaria (impedancia acústica) Variable principal (porosidad) Variable principal y variable secundaria

27. Cokriging Conveniente para estimar de manera consistente el tope y la base de un yacimiento Tope Base 6) Con datos totalmente coincidentes No se obtiene una mejora sustancial sobre los métodos de kriging cuando la variable secundaria es la información sísmica.

28. Cokriging Cuando las variables están intrínsicamente relacionadas, es decir cuando ocurre que los modelos de variograma o covarianza de todas las variables son proporcionales a un un mismo modelo de variograma o covarianza, entonces el kriging y el cokriging con datos totalmente coincidentes son iguales. !

29. COLLOCATED COKRIGING

30. Collocated Cokriging Una simplificación al sistema de ecuaciones del Cokriging se obtiene cuando se considera solo una variable secundaria y únicamente en el punto donde se requiere realizar la estimación. En este caso, el estimador propuesto es Al igual que antes se obtienen distintas versiones cuando se conoce o no la media de las variables involucradas. A continuación estudiaremos el cokriging colocado simple y el cokriging colocado ordinario.

31. Collocated Cokriging COLLOCATED SIMPLE COKRIGING La hipótesis básica es la estacionaridad de las variables junto con el hecho de que se asume que las medias de las variables son conocidas. Esto es, En este caso, el estimador propuesto es Al proceder exactamente igual que en el caso de cokriging simple se obtiene que:

32. Collocated Cokriging Ahora se obtiene un sistema de ecuaciones de N+1 variables con N+1 incógnitas en lugar del sistema de N+ N1 ecuaciones con N+ N1 variables del kriging simple con solo una variable secundaria. El sistema de ecuaciones se escribe en forma matricial como:

33. Collocated Cokriging Es importante observar que: • No se requiere conocer la función de covarianza de la variable secundaria. • El sistema sólo depende de la función de covarianza de la variable principal y de la función de covarianza cruzada. • Es necesario conocer el valor de la variable secundaria en todo los puntos donde se requiere estimar el valor de la variable primaria.

34. Collocated Cokriging Aproximación de la covarianza cruzada En el cokriging colocado se asume que la función de covarianza cruzada y la función de covarianza de la variable principal son proporcionales. Es decir, que Esta hipótesis tiene sentido porque se asume una relación lineal entre las variables. Además, en particular se tiene que:

35. Collocated Cokriging Correlación lineal entre las variables Z y S. En consecuencia, Esta expresión permite manipular el coeficiente de correlación y obtener así diversas estimaciones de la variable principal para distintos grados de correlación con la variable secundaria. Es importante cuando se tiene incertidumbre sobre el grado de relación lineal de las variables involucradas.

36. Collocated Cokriging Ahora el estimador propuesto es: Valores de la variable principal y la variable secundaria medidos en los mismos puntos Valor de la variable secundaria en el punto a estimar COLLOCATED ORDINARY COKRIGING Al igual que en el caso del cokriging ordinario se asume que las medias de la variable principal y la variable secundaria son desconocidas y constantes. Bajo esta suposición, la forma del estimador es distinta puesto que si se utiliza la anterior se obtiene =0 y la variable secundaria no es tomada en cuenta.

37. Collocated Cokriging Para que el estimador sea insesgado se debe verificar que: Ahora se procede como antes, considerando dos multiplicadores de Lagrange para incluir las restricciones anteriores. El sistema de ecuaciones es:

38. KRIGING FACTORIAL

39. Kriging Factorial Por ejemplo, si se conoce el valor promedio m de la propiedad entonces se considera y los factores como funciones aleatorias independientes de media cero. La idea consiste en asumir que la propiedad observada Z(u) es la suma de diversos factores aleatorios e independientes. Es decir, Los factores no son directamente observables, sólo se cuenta con la observación Z(u). La descomposición anterior puede variar dependiendo de las condiciones asumidas sobre la propiedad observada.

40. Kriging Factorial La importancia de considerar a los factores como independientes es que se puede demostrar que: Y es esta relación la que permite obtener estimaciones de cada una de los factores en la descomposición de la variable Z. A continuación se estudiarán las ecuaciones para la obtención de dichas estimaciones.

41. Kriging Factorial Los Valores observados se utilizan para estimar los valores de los factores CASO 1 Se asume que Z es una función aleatoria estacionaria con media igual a cero que se descompone como suma de K factores aleatorios de media cero e independientes. El estimador propuesto para el factor j es:

42. Kriging Factorial Respecto a la varianza del error, se tiene que: Independencia de los factores Como la variable y cada uno de los factores tienen media cero se obtiene directamente que:

43. Kriging Factorial Y al igualar a cero se obtiene el sistema de ecuaciones: Vector asociado a la función de covarianza del factor j Matriz de kriging simple de Z A partir de esta expresión se tiene que:

44. Kriging Factorial Observar que: 1) La matriz de kriging es siempre la misma y lo que cambia es el vector asociado a la función de covarianza del factor j. Esto implica que es necesario invertir la matriz sólo una vez para obtener la estimación de todos los factores. 2) Si alguno de los factores está asociado a un effecto nugget puro entonces este no se puede estimar. Este procedimiento sólo cambia los valores de las variable Z en los puntos observados.Para efectos prácticos es mejor no considerarlo en la descomposición. 3) El número de factores se puede obtener a partir del número de estructuras presentes en la función de covarianza o variograma de la variable Z 4) La descomposición de la variable Z en factores debe tener sentido físico y no ser producto solamente de las estructuras observadas en el variograma.

45. Kriging Factorial Z

46. Kriging Factorial

47. Kriging Factorial El estimador propuesto para el factor j es: CASO 2 Se asume que Z es una función aleatoria estacionaria con media igual a m que se descompone como suma de K factores aleatorios de media cero e independientes. Ahora se tiene que

48. Kriging Factorial Y por lo tanto, para que el estimador sea insesgado se debe imponer la condición Ahora se procede como en el caso de kriging ordinario y se obtiene el sistema de ecuaciones

49. Kriging Factorial Vector asociado a la función de covarianza del factor j Matriz de kriging oridnario de Z

50. Kriging Factorial El estimador propuesto para el factor j es: Ahora se tiene que CASO 3 Se asume que Z es una función aleatoria con una función de tendencia m(u) conocida que se descompone como suma de K factores aleatorios de media cero e independientes.