MANOVA Análise de variância multivariada

1. ANÁLISE MULTIVARIADA APLICADA AS CIÊNCIAS AGRÁRIAS PÓS-GRADUAÇÃO EM AGRONOMIA CIÊNCIA DO SOLO: CPGA-CS MANOVAAnálise de variância multivariada Carlos Alberto Alves Varella

2. Introdução • A análise de variância multivariada é utilizada para comparar vetores de médias; • Os dados normalmente são provenientes de delineamentos estatísticos; • Um ponto relevante da análise multivariada é o aproveitamento da informação conjunta das variáveis envolvidas (REGAZZI, 2000).

3. Introdução • As pressuposições para realização da MANOVA são as seguintes: • Modelo aditivo para efeitos de tratamentos, blocos (se houver) e erro; • Independência dos erros; • Igualdade da matriz de covariância  para todas as amostras; • Distribuição multinormal dos erros, com variância .

4. Modelo Estatístico: blocos r = indexador de variáveis; Yijr = valor observado da r-ésima variável sob o efeito do i-ésimo tratamento no j-ésimo bloco; µr = média geral da r-ésima variável; tir=efeito do i-ésimo tratamento na r-ésima variável; bjr= efeito do j-ésimo bloco na r-ésima variável; eirj= efeito aleatório associado à observação Yijr .

5. Modelo na Forma Matricial Y= matriz de valores resposta para os efeitos de tratamentosbk x p; X= matriz de valores das p variáveis independentesbk x (1+k+b); В= matriz de parâmetros de dimensões (1+k+b) x p; ε= matriz de erros de dimensões bk x p.

6. Sistema de Equações Normais • A solução de mínimos quadrados do sistema de equações normais é dada pela matriz: • O sistema admite mais de uma solução, isto é, a matriz (X’X) não possui inversa verdadeira.

7. Solução do Sistema de Equações Normais • Impondo-se as restrições de que os somatórios dos efeitos de tratamentos e blocos sejam igual a zero, o sistema apresenta solução única que denotaremos por: • =melhor estimador linear ou BLUE de В ; • =inversa condicional de X’X.

8. Decomposição da Soma de Quadrados e Produtos de Totais • Da mesma forma que no modelo univariado temos que: blocos ao acaso • A= SQP de Totais; • H= SQP de Tratamentos; • B= SQP de Blocos; • E= SQP do Resíduo. • Todas são matrizes de dimensões p x p

9. Soma de Quadrados e Produtos de Totais • A matriz de soma de quadrados e produtos de totais que denotaremos por A é:

10. Soma de Quadrados e Produtos do Resíduo • Do método dos mínimos quadrados temos que SQPResíduo é: ne= n-Posto[X] graus de liberdade

11. Graus de Liberdade do Resíduo • Graus de liberdade do resíduo denotaremos por ne:

12. Teste para a Hipótese Nula H0 • A hipótese H0 à ser testada, considerando k tratamentos e p variáveis, é a de que os vetores de médias de tratamentos são iguais, isto é: • O mesmo que testar se os vetores de efeito de tratamentos são nulos:

13. Testes de Hipótese H0 da MANOVA • O teste de Wilks é o mais utilizado para testar a hipótese H0 da MANOVA; • Outros testes também são utilizados, tais como Pillai, Hotelling-Lawley e o teste de Roy, os quais podem apresentar resultados diferentes para a mesma análise.

14. O Teste de Wilks • O teste de Wilks é representado pela letra grega (lambda maiúsculo), assim definido: • Na presença de diferenças sistemáticas entre tratamentos, espera-se sempre obter LAMBDA menor que um, e tanto mais significativo quanto menor for seu valor.

15. Regra de Decisão para Wilks • Rejeita-se a hipótese nula ao nível de significância  se: • Caso contrário não se rejeita H0 e diz-se que o teste foi significativo ao nível de siginificância .

16. O Teste T2 de Hotelling • Esse tes