Dane INFORMACYJNE

Nazwa szkoły: Zespół Szkół w Sławnie • ID grupy: 97/2_mf_g1 • Kompetencja: matematyczno – fizyczna • Temat projektowy: Problemy ekstremalne w geometrii trójkąta • Semestr/rok szkolny: V / 2011/2012 Dane INFORMACYJNE

Problemy ekstremalne w geometrii trójkąta

PROBLEMY EKSTREMALNE W GEOMETRII TROJKĄTA • Optymalizacja5 • Metody optymalizacji8 • Zadania optymalizacyjne z rozwiązaniami10 Zadanie 1 11 Zadanie 2 15 Zadanie 3 18 Zadanie 4 21 Zadanie 5. 24 Zadanie 6. 27 Zadanie 7 32 Zadanie 8 35 Zadanie 9 38 Zadanie 10 41 Zadanie 11 44 Zadanie 12 47 Spis treści

PROBLEMY EKSTREMALNE W GEOMETRII TROJKĄTA Jest dziedziną wiedzy zajmującą się metodami wyboru optymalnych działań związanych z aktywnością człowieka w sferze techniki, gospodarki itp. Optymalizacja Spis treści

PROBLEMY EKSTREMALNE W GEOMETRII TROJKĄTA Jest to wyznaczenie spośród dopuszczalnych rozwiązań danego problemu rozwiązania najlepszego ze względu na przyjęte kryterium (wskaźnik) jakości (np. koszt, zysk, niezawodność). Optymalizacja Spis treści

PROBLEMY EKSTREMALNE W GEOMETRII TROJKĄTA Optymalizacja – w szerokim zakresie znaczenia tego pojęcia – jest to uzyskanie najlepszego rezultatu w określonych warunkach. Tak rozumiana optymalizacja jest nieodłączną cechą, każdej działalności człowieka. Dzięki rozwojowi technik obliczeniowych wykorzystujących maszyny liczące badania optymalizacyjne stały się ekonomicznie uzasadnione, a zakres rozwiązywanych zagadnień znacznie się poszerzył. Optymalizacja Spis treści

PROBLEMY EKSTREMALNE W GEOMETRII TROJKĄTA Badaniem metod optymalizacji zajmuje się teoria optymalizacji - pojęcia i metody opisano matematycznie. Optymalizacja jest na tyle dobra – na ile dobry jest model matematyczny. Model matematyczny optymalizacji jest to układ równań i nierówności charakteryzujących badany proces, a także wyrażenie definiujące wskaźnik jakości. Metody optymalizacji Spis treści

PROBLEMY EKSTREMALNE W GEOMETRII TROJKĄTA Optymalizacja, w matematyce, odnosi się do problemu znalezienia ekstremum ( minimum lub maksimum) zadanej funkcji celu. Praktyczne wyznaczanie optimum nie zawsze jest łatwe. W wielu problemach rzeczywistych mamy do czynienia z bardzo skomplikowaną funkcją, dla której wyszukanie optimum globalnego lub w zadanym zakresie nie jest łatwe. Metody optymalizacji Spis treści

PROBLEMY EKSTREMALNE W GEOMETRII TROJKĄTA Zadania optymalizacyjne, to zadania, w których należy obliczyć, jakie warunki muszą być spełnione, aby pewna wielkość osiągała największą lub najmniejsza wartość. Aby zadane warunki wyznaczyć, należy tę wielkość zapisać jako funkcje dowolnej zmiennej, a następnie wyznaczyć ekstremum tej funkcji. Zadania optymalizacyjne Spis treści

PROBLEMY EKSTREMALNE W GEOMETRII TROJKĄTA Obwód trójkąta równobocznego jest równy 12 cm. Punkty M, N i P należą odpowiednio do boków AB, BC, AC tego trójkąta przy czym Zbadaj dla jakiej wartości x, pole trójkąta MNP będzie najmniejsze. Znajdź wartość tego pola. Zadanie 1 Spis treści

PROBLEMY EKSTREMALNE W GEOMETRII TROJKĄTA Otrzymany trójkąt MNP jest trójkątem równobocznym. Rozwiązanie Zadania 1 Spis treści

PROBLEMY EKSTREMALNE W GEOMETRII TROJKĄTA Bok trójkąta MNP wyliczymy z twierdzenia cosinusów Pole trójkąta MNP wynosi Rozwiązanie Zadania 1 Spis treści

PROBLEMY EKSTREMALNE W GEOMETRII TROJKĄTA Ponieważ wykresem tej funkcji jest parabola o ramionach skierowanych w górę, więc przyjmuje ona wartość najmniejszą w wierzchołku, czyli dla Pole trójkąta MNP wynosi wtedy Rozwiązanie Zadania 1 Spis treści

PROBLEMY EKSTREMALNE W GEOMETRII TROJKĄTA Sumadługości dwóch boków trójkąta wynosi 4cm, a miara kąta pomiędzy tymi bokami wynosi . Jaką najmniejszą wartość ma obwód tego trójkąta. Zadanie 2 Spis treści

PROBLEMY EKSTREMALNE W GEOMETRII TROJKĄTA Rozwiązanie Zadania 2 Na mocy twierdzenia cosinusów mamy Spis treści

PROBLEMY EKSTREMALNE W GEOMETRII TROJKĄTA • wiemy, że a + b = 4 • sprawdźmy jaka jest najmniejsza wartość wyrażenia 16 – 3ab? • dziedziną tej funkcji jest przedział (0,4), • wykresem tej funkcji jest parabola o ramionach skierowanych do góry i wierzchołku w punkcie xw=2. Zatem minimalny obwód otrzymamy dla trójkąta równobocznego o boku 2cm wynosi 6cm. Rozwiązanie Zadania 2 Spis treści

PROBLEMY EKSTREMALNE W GEOMETRII TROJKĄTA Dany jest równoramienny trójkąt prostokątny KLM, którego przeciwprostokątna ma długość 2. Bok AB prostokąta ABCD zawiera się w przeciwprostokątnej tego trójkąta, zaś punkty C i D należą do przyprostokątnych. Oblicz długości boków prostokąta ABCD wiedząc, że kwadrat długości jego przekątnej AC ma wartość najmniejszą z możliwych. Zadanie 3 Spis treści

PROBLEMY EKSTREMALNE W GEOMETRII TROJKĄTA Rozwiązanie Zadania 3 Zauważmy, że trójkąty CBL i ADK są prostokątne i każdy z nich ma wspólny kąt z trójkątem KLM, czyli oba są prostokątne równoramienne. LB = BC = AD = AK = x, Spis treści

PROBLEMY EKSTREMALNE W GEOMETRII TROJKĄTA • AB = KL – 2x = 2 – 2x • stosując twierdzenie Pitagorasa w trójkącie ABC mamy • wykresem otrzymanej funkcji jest parabola o ramionach skierowanych do góry, więc najmniejszą wartość przyjmuje ona w wierzchołku - xw=0,8. Zatem długości boków prostokąta są równe: BC = 0,8 AB = 2 – 1,6 = 0,4 Rozwiązanie Zadania 3 Spis treści

PROBLEMY EKSTREMALNE W GEOMETRII TROJKĄTA W trójkąt prostokątny o kącie ostrym i przeciwprostokątnej długości 40 cm wpisujemy prostokąty w ten sposób, że jeden bok każdego z tych prostokątów zawiera się w przeciwprostokątnej trójkąta. Zbadaj który z tych prostokątów ma największe pole. Zadanie 4 Spis treści

PROBLEMY EKSTREMALNE W GEOMETRII TROJKĄTA Rozwiązanie Zadania 4 Z definicji funkcji trygonometrycznych w odpowiednich trójkątach mamy: Spis treści

PROBLEMY EKSTREMALNE W GEOMETRII TROJKĄTA • zauważmy, że: • należy wyznaczyć taka wartość , dla której funkcja określająca pole osiąga największą wartość • wykresem tej funkcji jest parabola o ramionach skierowanych w dół i miejscach zerowych 0 i 40, funkcja ta przyjmuje największą wartość w wierzchołku, czyli dla b = 20, wtedy Rozwiązanie Zadania 4 Spis treści

PROBLEMY EKSTREMALNE W GEOMETRII TROJKĄTA W trójkącie o obwodzie 14 jeden z boków jest dwa razy dłuższy od drugiego boku. Oblicz cosinus najmniejszego kąta, tego spośród trójkątów spełniających podany warunek, w którym suma kwadratów długości boków jest najmniejsza. Zadanie 5 Spis treści

PROBLEMY EKSTREMALNE W GEOMETRII TROJKĄTA • oznaczmy długości boków szukanego trójkąta przez a, 2a, b, wtedy • suma kwadratów długości boków jest równa • wykresem otrzymanej funkcji jest parabola o ramionach skierowanych w górę, więc najmniejszą wartość przyjmuje w wierzchołku, czyli dla a = 3. • wtedy pozostałe boki mają długości 2a = 6 oraz b = 5. Rozwiązanie Zadania 5 Spis treści

PROBLEMY EKSTREMALNE W GEOMETRII TROJKĄTA • w trójkącie najmniejszy kąt leży naprzeciwko najkrótszego boku, więc musimy wyliczyć cosinus kąta leżącego naprzeciwko boku długości 3. • stosujemy twierdzenie cosinusów Rozwiązanie Zadania 5 Spis treści

PROBLEMY EKSTREMALNE W GEOMETRII TROJKĄTA Drut o długości 72cm rozcięto na dwa kawałki i z każdego kawałka zbudowano brzeg trójkąta równoramiennego, przy czym stosunek długości ramienia do długości podstawy w jednym trójkącie wynosi 5:8, a w drugim 13:10. Jakie obwody mają te trójkąty jeżeli suma ich pól jest najmniejsza z możliwych? Zadanie 6 Spis treści

PROBLEMY EKSTREMALNE W GEOMETRII TROJKĄTA • oznaczmy długości ramion otrzymanych trójkątów przez a i b • z warunków zadania mamy: podstawy tych trójkątów mają długości • zatem Rozwiązanie Zadania 6 Spis treści

PROBLEMY EKSTREMALNE W GEOMETRII TROJKĄTA aby obliczyć pola otrzymanych trójkątów prostokątnych, obliczamy ich wysokości z twierdzenia Pitagorasa Rozwiązanie Zadania 6 Spis treści

PROBLEMY EKSTREMALNE W GEOMETRII TROJKĄTA • Musimy zatem znaleźć wartość dla której funkcja przyjmuje najmniejszą wartość. Rozwiązanie Zadania 6 Spis treści

PROBLEMY EKSTREMALNE W GEOMETRII TROJKĄTA Ponieważ wykresem tej funkcji jest parabola o ramionach skierowanych do góry, wartość najmniejszą przyjmuje ona w wierzchołku, czyli w punkcie Cały obwód trójkąta o ramieniu b jest więc równy Trójkąt o ramieniu a ma więc obwód 72– 2=40. Rozwiązanie Zadania 6 Spis treści

PROBLEMY EKSTREMALNE W GEOMETRII TROJKĄTA W trójkąt prostokątny ABC, w którym wpisujemy prostokąty CDEF, tak, że punkt D należy do boku AC, punkt E należy do boku AB i punkt F należy do boku BC. Oblicz wymiary prostokąta o największym polu. Zadanie 7 Spis treści

PROBLEMY EKSTREMALNE W GEOMETRII TROJKĄTA z podobieństwa trójkątów BFE i BCA mamy Rozwiązanie Zadania 7 Spis treści

PROBLEMY EKSTREMALNE W GEOMETRII TROJKĄTA zatem pole prostokąta jest równe jest to więc parabola o ramionach skierowanych w dół. największą wartość pola otrzymamy więc w wierzchołku paraboli, czyli dla wtedy a=12. Rozwiązanie Zadania 7 Spis treści

PROBLEMY EKSTREMALNE W GEOMETRII TROJKĄTA Długości boków prostokąta spełniają warunki: Na boku CD wybrano punkty E i F w ten sposób, że Punkt jest takim punktem odcinka AE, że Oblicz długość boku AD prostokąta ABCD, dla której pole trójkąta FGB jest największe. Zadanie 8 Spis treści

PROBLEMY EKSTREMALNE W GEOMETRII TROJKĄTA • pole trójkąta obliczymy odejmując od pola prostokąta pola 4 białych trójkątów Rozwiązanie Zadania 8 Spis treści

PROBLEMY EKSTREMALNE W GEOMETRII TROJKĄTA zatem pole prostokąta jest równe wykresem otrzymanej funkcji jest parabola o ramionach skierowanych w dół, więc największą wartość przyjmuje dokładnie w środku między pierwiastkami, czyli dla . Rozwiązanie Zadania 8 Spis treści

PROBLEMY EKSTREMALNE W GEOMETRII TROJKĄTA Suma długości dwóch boków trójkąta jest równa 12cm, a kąt między tymi bokami ma miarę 1200. Oblicz jakie powinny być długości boków tego trójkąta aby jego pole było największe. Zadanie 9 Spis treści

PROBLEMY EKSTREMALNE W GEOMETRII TROJKĄTA jeżeli oznaczymy długości boków, o których mowa w zadaniu, przez a i b to mamy b = 12 - a. ze wzoru na pole trójkąta mamy Rozwiązanie Zadania 9 Spis treści

PROBLEMY EKSTREMALNE W GEOMETRII TROJKĄTA należy znaleźć wartość , dla której P(a) przyjmuje największą wartość. ponieważ wykresem funkcji jest parabola o ramionach skierowanych w dół i miejscach zerowych 0 i 12, to przyjmuje ona wartość największą w wierzchołku paraboli, czyli w a = 6 długość trzeciego boku trójkąta możemy wyliczyć z twierdzenia cosinusów Odp.: 6 cm, 6 cm, Rozwiązanie Zadania 9 Spis treści

PROBLEMY EKSTREMALNE W GEOMETRII TROJKĄTA Obwód okna przedstawionego na rysunku wynosi 7m. W jakim stosunku powinny pozostawać odcinki a i b, aby przez okno wpadało jak najwięcej światła? b b Zadanie 10 Spis treści

PROBLEMY EKSTREMALNE W GEOMETRII TROJKĄTA Obliczamy pole okna (bo od niego zależy ilość wpadającego światła). pole jest sumą pola trójkąta równobocznego i prostokąta, więc jest równe wiemy, że zatem Rozwiązanie Zadania 10 Spis treści

PROBLEMY EKSTREMALNE W GEOMETRII TROJKĄTA wykresem tej funkcji jest parabola o ramionach skierowanych w dół, zatem największą wartość pola otrzymamy w wierzchołku, czyli dla zatem szukany stosunek wynosi Rozwiązanie Zadania 10 Spis treści

PROBLEMY EKSTREMALNE W GEOMETRII TROJKĄTA W trójkąt prostokątny o przyprostokątnych o długościach 2 i 4 wpisano prostokąt w ten sposób, że dwa jego boki leżą na przyprostokątnych trójkąta, a jeden z wierzchołków prostokąta leży na przeciwprostokątnej trójkąta. Prostokąt ten obraca się dookoła prostej, zawierającej dłuższą przyprostokątną trójkąta, tworząc walec. Oblicz, który z walców, otrzymanych w powyższy sposób, posiada największe pole powierzchni bocznej i oblicz jego objętość. Zadanie 11 Spis treści

PROBLEMY EKSTREMALNE W GEOMETRII TROJKĄTA • oznaczmy promień podstawy walca przez r, a jego wysokość przez H. • Z podobieństwa trójkątów ABC i AFE mamy Rozwiązanie Zadania 11 Spis treści

PROBLEMY EKSTREMALNE W GEOMETRII TROJKĄTA • liczymy pole powierzchni bocznej • wykres funkcji to parabola o ramionach skierowanych w dół. zatem największe pole powierzchni bocznej otrzymamy w wierzchołku, czyli dla r = 1 • wtedy H = 2 i objętość jest równa Rozwiązanie Zadania 11 Spis treści

PROBLEMY EKSTREMALNE W GEOMETRII TROJKĄTA Dane są punkty A (1,0), B (-1,1) Punkt C należy do okręgu o równaniu Znajdź współrzędne punktu C, tak aby pole trójkąta było największe. Oblicz to pole. Zadanie 12 Spis treści

PROBLEMY EKSTREMALNE W GEOMETRII TROJKĄTA • Wyznaczamy równanie prostej AB x + 2y – 1 = 0 • Obliczamy długość odcinka AB Rozwiązanie Zadania 12 Spis treści

PROBLEMY EKSTREMALNE W GEOMETRII TROJKĄTA musimy znaleźć na okręgu punkty, których odległość od prostej AB jest największa, czyli szukamy punktów, w których styczna do okręgu jest równoległa do prostej AB, ponieważ prosta k ma być prostopadła do pr. AB i przechodzić przez (0,0), więc ma równanie y=2x, Szukamy punktów wspólnych pr. k z okręgiem Rozwiązanie Zadania 12 Spis treści

PROBLEMY EKSTREMALNE W GEOMETRII TROJKĄTA otrzymaliśmy dwa punkty Sprawdzamy, który z nich jest dalej od pr. AB Zatem C = E i pole jest równe Rozwiązanie Zadania 12 Spis treści

Dane INFORMACYJNE