Graf Pawlaka

1. Graf Pawlaka Prof. UR, dr hab. ZbigniewSURAJ – Katedra Informatyki, UR Mgr inż. Piotr GROCHOWALSKI – Katedra Informatyki, UR Mgr inż. Łukasz LEW – Katedra Informatyki, UR

2. Plan prezentacji • Cel i zakres badań • Metodologia badań • Przegląd literatury przedmiotu • Podstawowe pojęcia • Liczby i grafy Pawlaka • RSDS • Eksperymenty – Graf współpracy I rodzaju • Eksperymenty – Graf współpracy II rodzaju • Podsumowanie • Literatura

3. Cel i zakres badań • Badania mają na celu wykrycie zależności występujących w środowisku osób, których przedmiotem zainteresowań naukowych jest teoria zbiorów przybliżonych.

4. Metodologia badań • Metody statystyczne Analiza danych w celu wyznaczenia standardowych pojęć statystycznych, tj. średnia arytmetyczna, średnia ważona, mediana, odchylenie standardowe, itp. • Metody teorii grafów Analiza grafu współpracy Pawlaka w celu wyliczenia składowych, średnicy, promienia, Liczby Pawlaka, rzędu rdzenia, stopnia współpracy, itp.

5. Program SNetworks

6. Program Pajek

7. Przegląd literatury przedmiotu • Vladimir Batagelj i Andrej Mrvar dokonali analizy społeczności zrzeszającej matematyków z całego świata i wyznaczyli dla niej różne własności. Najważniejszą z nich jest liczba Erdös-a, którą to wielu naukowców ją posiadających szczyci się na swoich stronach internetowych. Jest ona zdefiniowana następująco: Paul Erdös ma nE= 0; osoby posiadające publikację napisaną wspólnie z Paul-em Erdös-em posiadają nE= 1; natomiast ich współautorzy, którzy nie posiadają jeszcze zdefiniowanej liczby Erdös-a, posiadają liczbę nE= 2; itd. [1] • Do wyznaczania własności w sieciach socjalnych autorzy wykorzystują rozwijane przez siebie oprogramowanie o nazwie Pajek posiadające rozbudowane możliwości analizy i wizualizacji wszelkiego rodzaju sieci. [5]

8. Podstawowe pojęcia statystyczne • Średnia arytmetyczna: gdzie x1, x2, …, xn– przykładowe dane, n > 0 • Średnia ważona: gdzie x1, x2, …, xk– przykładowe dane, k > 0, n1, n2, …, nk– wagi i n1 + n2 + … + nk = n

9. Podstawowe pojęcia statystyczne • Mediana: gdzie x1, x2, …, xn– przykładowe dane uporządkowane niemalejąco, n > 0 • Odchylenie standardowe: gdzie x1, x2, …, xn– przykładowe dane, n > 0

10. Podstawowe pojęcia teoriografowe Graf: Graf, graf prosty to uporządkowana para G = (V, E) , gdzie: V jest niepustym zbiorem wierzchołków, E jest zbiorem dwuelementowych podzbiorów zbioru wierzchołków V, zwanych krawędziami E{ {u, v}: u, vV, u v } Graf skierowany: Graf skierowany, lub inaczej digraf to uporządkowana para G = (V, A) gdzie: V jest niepustym zbiorem wierzchołków, A jest zbiorem uporządkowanych par różnych wierzchołków ze zbioru V, zwanych krawędziami skierowanymi AVV Jeśli e jest krawędzią grafu G,  funkcją ze zbioru A do zbioru VV i (e) = (x, y), to x nazywamy początkiem krawędzi e, a y końcem krawędzi e i mówimy, że e biegnie od x do y.

11. Podstawowe pojęcia teoriografowe • Graf spójny: Graf jest spójny jeśli, każda para różnych wierzchołków jest połączona drogą w tym grafie. • Droga: Drogą długości n nazywamy ciąg e1e2…en krawędzi, wraz z ciągiem v1v2…vn+1 wierzchołków, takim, że (ei) = {vi, vi+1} dla i = 1, 2, … n.  jest funkcją, która podaje wierzchołki będące końcami każdej krawędzi.

12. Podstawowe pojęcia teoriografowe • Stopień wierzchołka: Jest to liczba krawędzi kończących się w danym wierzchołku. • Składowa grafu: Składowa grafu to spójny podgraf danego grafu • Maksymalna składowa grafu: Maksymalna składowa grafu to możliwie największy spójny podgraf grafu.

13. Podstawowe pojęcia teoriografowe • Acentryczność wierzchołka grafu spójnego: Największa odległość danego wierzchołka od innych wierzchołków grafu. • Promień grafu spójnego: Najmniejsza acentryczność wierzchołka wśród wszystkich wierzchołków grafu, tzn. jest to długość najkrótszej z najdłuższych ścieżek w danym grafie. • Średnica grafu spójnego: Największa acentryczność wierzchołka wśród wszystkich wierzchołków grafu, tzn. jest to długość najdłuższej ścieżki w danym grafie.

14. Graf współpracy Pawlaka Graf współpracy Pawlaka definiuje się następująco: G = (V, E) gdzie: V- zbiór wierzchołków grafu, reprezentujący autorów publikacji zawartych w systemie RSDS, którzy posiadają liczbę Pawlaka, E – zbiór krawędzi grafu łączących dwa wierzchołki grafu wtedy i tylko wtedy, gdy autorzy publikacji reprezentowani przez te wierzchołki napisali wspólną publikację, przy czym co najmniej jeden z nich posiada liczbę Pawlaka. Obciętym grafem współpracy Pawlaka G’ nazywamy graf współpracy Pawlaka G po usunięciu wierzchołka reprezentującego samego Zdzisława Pawlaka oraz wszystkich krawędzi dochodzących do tego wierzchołka.

15. Liczba Pawlaka Liczbę PawlakanPdefiniujemy następująco: Zdzisław Pawlak ma nP= 0; osoby posiadające publikację zarejestrowaną w systemie RSDS i napisaną wspólnie z Zdzisławem Pawlakiem posiadają nP= 1; natomiast ich współautorzy, którzy nie posiadają jeszcze zdefiniowanej liczby Pawlaka, posiadają liczbę nP= 2; itd.

16. Rdzenie Niech G = (V, E) będzie grafem. Maksymalny podgraf Hk = (W, E |W) indukowany przez podzbiór wierzchołków W Vnazywamy k-rdzeniem, lub rdzeniem rzędu k, wtedy i tylko wtedy, gdy , tzn. stopnie wszystkich wierzchołków podgrafu Hksą równe co najmniej k. Rdzeń z maksymalnym rzędem nazywamy rdzeniem głównym.

17. „Lordowie” Wierzchołki które mają największy „wpływ” na swoich sąsiadów nazywamy Lordami. Wyznaczamy je przypisując na początkukażdemu wierzchołkowi „energię” równa jego stopniowi. Ostateczny rozkład „mocy” zależy od przepływu tej „energii” od wierzchołków „najsłabszych” do „najsilniejszych”. Do wyznaczenia rozkładu „mocy” porządkujemy wierzchołki w kolejności rosnącej „energii”, a następnie rozdzielamy ją proporcjonalnie z wierzchołków słabszych do silniejszych.

18. Średni stopień i średni rdzeń wierzchołka Niech v  V. Przez N(v) oznaczamy zbiór sąsiadów wierzchołka v, tzn.: N(v) = {u  V : (v, u) E}, a przez przez N+(v) oznaczamy ukorzeniony zbiór sąsiadów wierzchołka v, tzn.: N+(v) = N(v)  {v}. Średni stopień wierzchołka obliczamy następująco: Średni rdzeń wierzchołka obliczamy następująco:

19. Wskaźnik stopnia współpracy Wskaźnik stopnia współpracy danego autora:

20. System RSDS System bibliograficznej bazy danych RSDS (ang. Rough Set Database System) zaprojektowany i wykonany w celu ułatwienia dostępu m.in. do opisów publikacji i aplikacji z zakresu teorii zbiorów przybliżonych i jej zastosowań. System działa w architekturze klient – serwer. Aktualnie w bazie danych systemu zgromadzono opisy bibliograficzne 3857 publikacji naukowych należących do 2309 autorów. Dostęp do systemu poprzez klienta (przeglądarkę internetową) jest bezpłatny i możliwy pod adresem: http://rsds.univ.rzeszow.pl Wymagania systemu: • Dowolny komputer z systemem operacyjnym podłączony do Internetu. • Przeglądarka internetowa obsługująca JavaScript, cookie i frames (ramki).

21. Eksperymenty – Graf współpracyI rodzaju Tabla 1: Wzrost rozmiaru grafu współpracy Pawlaka w latach 2006-2010

22. Eksperymenty – Graf współpracyI rodzaju

23. Eksperymenty – Graf współpracyI rodzaju • Liczba Pawlaka 0 • Zdzisław Pawlak • Liczba Pawlaka 1 • Czogala Ernest • Fibak Jan • Borkowski Maciej • Greco Salvatore • Grzymala-Busse Jerzy W. • Jackson A.G. • Komorowski Henryk Jan • Konrad E. • LeClair S.R. • Mrozek Adam • Munakata Toshinori • Orlowska Ewa S. • Peters James F. • Polkowski Lech T. • Ramanna Sheela • Rauszer Cecylia M. • Skowron Andrzej • Slowinski Krzysztof • Slowinski Roman • Suraj Zbigniew • Wong S.K. Michael • Ziarko Wojciech

24. Eksperymenty – Graf współpracyI rodzaju

25. Eksperymenty – Graf współpracyI rodzaju • Liczba autorów publikacji nie posiadających liczby Pawlaka to 1298. • W grafie G’ liczba wierzchołków to 1005, liczba krawędzi to 2309. • Rząd głównego rdzenia: • w grafie współpracy Pawlaka G to 20 • w obciętym grafie współpracy Pawlaka G’ to 20

26. Eksperymenty – Graf współpracyI rodzaju Tabela 2: Podstawowe statystyki dotyczące stopni wierzchołków (liczb współautorów) w grafie współpracy Pawlaka

27. Eksperymenty – Graf współpracyI rodzaju Tabela 3: Ranking 10 autorów z największą liczbą współautorów

28. Eksperymenty – Graf współpracyI rodzaju Skowron Andrzej i Wang Guoyin nie napisali ze sobą żadnej publikacji. Wśród autorów wymienionych w tabeli 3 następujący autorzy posiadają wspólne publikacje: • Skowron Andrzej i Grzymala-Busse Jerzy W. napisali razem 2 publikacje • Skowron Andrzej i Peters James F. napisali razem 60 publikacji • Skowron Andrzej i Slezak Dominik napisali razem 3 publikacje • Wang Guoyin i Miao Duoqian napisali razem 1 publikację • Wang Guoyin i Xie Keming napisali razem 1 publikację • Grzymala-Busse Jerzy W. i Słowiński Roman napisali razem 1 publikację • Grzymala-Busse Jerzy W. i Ziarko Wojciech napisali razem 5 publikacji • Grzymala-Busse Jerzy W. i Yao Yiyu napisali razem 1 publikację • Slowinski Roman i Ziarko Wojciech napisali razem 1 publikacje • Slowinski Roman i Yao Yiyu napisali razem 1 publikację • Ziarko Wojciech i Slezak Dominik napisali razem 5 publikacji • Miao Duoqian i Xie Keming napisali razem 1 publikacjęi

29. Eksperymenty – Graf współpracyI rodzaju Tabela 4: Rozrzut odległości w grafie G’ innych autorów od pierwszych dwóch autorów podanych w Tabeli 3

30. Eksperymenty – Graf współpracyI rodzaju Tabela 5: Rozrzut liczby współautorów w rdzeniach

31. Eksperymenty – Graf współpracyI rodzaju Wszystkich autorów w głównym rdzeniu jest 21. Tabela 6: Wybrani autorzy i liczby ich współautorów w głównym rdzeniu, całkowita liczba współautorów, średni rdzeń i średni stopień wszystkich ich współautorów, oraz ich współpracowników

32. Eksperymenty – Graf współpracyI rodzaju Tabela 7: Ranking 10 najbardziej współpracujących autorów

33. Eksperymenty – Graf współpracyI rodzaju Tabela 8: Ranking 10 autorów o największym wpływie na pozostałych współautorów

34. Graf współpracy Pawlaka II rodzaju Graf współpracy Pawlaka drugiego rodzaju definiuje się następująco: G = (V, E) gdzie: V- zbiór wierzchołków grafu, reprezentujący autorów publikacji zawartych w systemie RSDS, którzy posiadają liczbę Pawlaka drugiego rodzaju, E – zbiór krawędzi grafu łączących dwa wierzchołki grafu wtedy i tylko wtedy, gdy autorzy publikacji reprezentowani w bazie RSDS przez te wierzchołki napisali wspólną publikację, przy czym co najmniej jeden z nich posiada liczbę Pawlaka drugiego rodzaju. Obciętym grafem współpracy Pawlaka drugiego rodzaju G’ nazywamy graf współpracy Pawlaka drugiego rodzaju G po usunięciu wierzchołka reprezentującego samego Zdzisława Pawlaka oraz wszystkich krawędzi dochodzących do tego wierzchołka.

35. Liczba Pawlaka II rodzaju Liczbę Pawlaka drugiego rodzajunPdefiniujemy następująco: Zdzisław Pawlak ma nP= 0; osoby posiadające publikację zarejestrowaną w systemie RSDS i napisaną tylko z Zdzisławem Pawlakiem posiadają nP= 1; natomiast współautorzy tych osób, którzy nie posiadają jeszcze zdefiniowanej liczby Pawlaka drugiego rodzaju, posiadają liczbę nP= 2; itd. Uwaga: Zasadnicza różnica pomiędzy liczbą Pawlaka pierwszego rodzaju a liczbą Pawlaka drugiego rodzaju polega na tym, że przedmiotem zainteresowania są jedynie publikacje napisane przez dwóch autorów.

36. Eksperymenty – Graf współpracyII rodzaju Tabla 9: Wzrost rozmiaru grafu współpracy Pawlaka II rodzaju w latach 2006-2010

37. Eksperymenty – Graf współpracyII rodzaju

38. Eksperymenty – Graf współpracyII rodzaju • Błaszczyński Jerzy • Boryczka Mariusz • Buszkowski Wojciech • Chakraborty Mihir K. • Deja Rafal • Demri Stephane P. • Duntsch Ivo • Farinas del Cerro L. • Ferment Michel • Greco Salvatore • Grzymala-Busse Jerzy W • Hoa Nguyen Sinh • Jankowski Andrzej • Liczba Pawlaka 0 • Zdzisław Pawlak • Liczba Pawlaka 1 • Munakata Toshinori • Orlowska Ewa S. • Rauszer Cecylia M. • Skowron Andrzej • Slowinski Roman • LiczbaPawlaka 2 • Balbiani Philippe • Bazan Jan G.

39. Eksperymenty – Graf współpracyII rodzaju

40. Eksperymenty – Graf współpracyII rodzaju • Liczba autorów publikacji nie posiadających liczby Pawlaka drugiego rodzaju to 538. • W grafie G’ liczba wierzchołków to 240, liczba krawędzi to 263. • Rząd głównego rdzenia: • w grafie współpracy Pawlaka G to 2 • w obciętym grafie współpracy Pawlaka G’ to 2

41. Eksperymenty – Graf współpracyII rodzaju Tabela 10: Podstawowe statystyki dotyczące stopni wierzchołków (liczb współautorów) w grafie współpracy Pawlaka drugiego rodzaju

42. Eksperymenty – Graf współpracyII rodzaju Tabela 11: Ranking 10 autorów z największą liczbą współautorów

43. Eksperymenty – Graf współpracyII rodzaju Ziarko Wojciech i Grzymala-Busse Jerzy W. napisali razem 2 publikacje. Wśród autorów wymienionych w tabeli 11 następujący autorzy posiadają wspólne publikacje: • Ziarko Wojciech i Grzymala-Busse Jerzy W. napisali razem 2 publikacjie. • Grzymala-Busse Jerzy W. i Skowron Andrzej napisali razem 2 publikacje. • Grzymala-Busse Jerzy W. i Yao Yiyu napisali razem 1 publikację • Skowron Andrzej i Suraj Zbigniew napisali razem 11 publikacji. • Skowron Andrzej i Peters James F. napisali razem 8 publikacji. • Skowron Andrzej i Stepaniuk Jaroslaw napisali razem 25 publikacji. • Yao Yiyu i Lin Tsau Young napisali razem 2 publikacje.

44. Eksperymenty – Graf współpracyII rodzaju Tabela 12: Rozrzut odległości w grafie G’ innych autorów od pierwszych dwóch autorów podanych w Tabeli 11

45. Eksperymenty – Graf współpracyII rodzaju Tabela 13: Rozrzut liczby współautorów w rdzeniach

46. Eksperymenty – Graf współpracyII rodzaju Wszystkich autorów w głównym rdzeniu jest 44 Tabela 14: Autorzy i liczby ich współautorów w głównym rdzeniu, całkowita liczba współautorów, średni rdzeń i średni stopień wszystkich ich współautorów, oraz ich współpracowników

47. Eksperymenty – Graf współpracyII rodzaju Tabela 15: Ranking 10 najbardziej współpracujących autorów

48. Eksperymenty – Graf współpracyII rodzaju Tabela 16: Ranking 10 autorów o największym „wpływie” na pozostałych współautorów

49. Podsumowanie • Określenie dwóch rodzajów grafów współpracy Pawlaka (I i II rodzaju) • Wykrycie rzeczywistych zależności z posiadanych danych • Weryfikacja „kondycji” teorii zbiorów przybliżonych • Rozwój systemu systemu RSDS i SNetwork.

50. Plany na przyszłość • Analizy Grafu Współpracy Pawlaka III rodzaju • Rozwój oprogramowania, który będzie obejmował: • Stworzenie graficznego interfejsu użytkownika • Wizualizację 2D lub 3D wybranego fragmentu grafu lub całości • Wizualizację wyników obliczeń w określonej formie • Prezentacja wyników w systemie RSDS