1 / 123

12. GRAF

12. GRAF. 12.1 DEFINISI. Graf didefinisikan sebagai pasangan himpunan (V, E); ditulis G = (V, E). V = himpunan tak kosong verteks , node, atau simpul E = himpunan edge atau sisi Dari definisi dapat disimpulkan bahwa sebuah graf harus mempunyai simpul , setidak-tidaknya

orinda
Download Presentation

12. GRAF

An Image/Link below is provided (as is) to download presentation Download Policy: Content on the Website is provided to you AS IS for your information and personal use and may not be sold / licensed / shared on other websites without getting consent from its author. Content is provided to you AS IS for your information and personal use only. Download presentation by click this link. While downloading, if for some reason you are not able to download a presentation, the publisher may have deleted the file from their server. During download, if you can't get a presentation, the file might be deleted by the publisher.

E N D

Presentation Transcript

  1. 12. GRAF

  2. 12.1 DEFINISI Graf didefinisikansebagaipasangan himpunan (V, E); ditulis G = (V, E). V = himpunantakkosongverteks, node, atausimpul E = himpunan edge atausisi Dari definisidapatdisimpulkanbahwasebuah grafharusmempunyaisimpul, setidak-tidaknya satusimpul, tapibisatidakmempunyaisisi Graf yang hanyaterdiridarisatusimpuldantidakmempunyaisisidisebutgraftrivial

  3. Detroit Chicago Gambar 12.1 Graf San Francisco New York Denver Washington  Los Angeles Gambar 12.2 Graf Trivial

  4. Simpulpadagrafdapatdiberinamasesuaidengan namaobjek yang diamatiataumenggunakansimbol tertentu, misalnyahurufatauangka. Sedangkansisi yang menghubungkansimpul u dan v dapatdinyatakandenganpasangan (u, v) ataudapatdinyatakandengane1 , e2 , … Jikaeadalahsisi yang menghubungkansimpul udanv, makaedapatditulissebagaie = (u, v)

  5. 1  e1 e2 e5 2 3 1 e8 e4 e3 e2  e1 e3 1 4 e5 2 3 e1 e2 e6 e3 2 e4 e7 e5 (a) (b) (c) 3 e6 4 e4 e7 Gambar 12.3 Penamaansisigraf 4

  6. Padagambar 12.3 (b) dan (c), sisi-sisi e2dan e3serta e6dan e7adalahsisiganda, karenamasing-masing pasangansisitersebutmenghubungkansimpul yang sama. Sedangkansisi e8padagambar 12.3 (c) disebutgelang ataukalang (loop) karenaberawaldanberakhirpada simpul yang sama. Jumlahsimpulpadasebuahgrafdisebutkardinalitasgraf dinyatakandengan n = |V|. Jumlahsisisebuahgrafdinyatakandengan m = |E| Gambar 12.3a mempunyai n = |V| = 4, dan m = |E| = 7

  7. 12.2 JENIS-JENIS GRAF Graf sederhana (simple graph) adalahgraf yang tidakmempunyaisisigandaataugelang Graf tak-sederhana (unsimple graph) terdiri dari: - Graf ganda (multigraph), yaitugraf yang mengandungsisiganda. - Graf semu (peudograph), yaitugraf yang mengandunggelang.

  8. 1  e1 e2 e5 2 3 1 e8 e4 e3 e2  e1 e3 Gambar 12.4 Graf ganda (multigraph) 1 4 e5 2 3 e1 e2 e6 e3 2 e4 e7 e5 3 e6 4 e4 e7 Gambar 12.3 Graf sederhana (simple graph) Gambar 12.5 Graf semu (pseudograph) 4

  9. 12.3 BERDASARKAN ORIENTASI ARAH: Graf tak-berarah (undirected graph) adalah graf yang tidakmempunyaiorientasiarah. Urutanpasangansimpul yang dihubungkan olehsisitidakdiperhatikan. Jadi (u, v) = (v, u) Graf berarah (directed graph atau digraph) adalahgrafsetiapsisinyamempunyaiorientasiarah. Sisipadagrafberarahseringdisebutbusur. Padagrafberarah (u, v) dan (v, u) menyatakan duabuahbusur yang berbedaatau (u, v)  (v, u). Padabusur (u, v), simpulu menyatakansimpul asal (initial vertex), sedangvmenyatakansimpul terminal (terminal vertex)

  10. C. Graf ganda-berarah (directed multigraph) Perbedaannyaantaragrafberarahgrafgandaberarahadalah: - Padagrafberarah, gelangdiperbolehkanada sedangkansisigandatidakdiperbolehkan. - Padagrafgandaberarahgelangdansisiganda diperbolehkan.

  11. Jenisgrafdansisinya

  12. 12.4 Contohterapangraf - Pengujian program 1. read (x); 2. while x <> 999 do begin 3. if x < 0 then 4. writeln (‘masukantidakbolehnegatif’) else 5. x := x + 10; 6. read (x); end; 7. writeln (x); 4 1 3 2   7 5 6 Gambar 12.6 Pengujian Program

  13. - Vending Machine 10 10 P 5 P a 5 5 5  P 10 b c d 10 P Gambar 12.7 Vending Machine

  14. 12.4 Istilah- istilahpada Graf Bertetangga (Adjacent) Simpul u dan v padagraftakberarah dikatakanbertetanggajikakeduasimpultsb. terhubungolehsebuahsisi (u, v) atausisi e. Jika (u, v) adalahsisipadagrafberarah, maka u dikatakanbertetanggadengan v. Sedangkan v dikatakantetangga u. Ingat ! Sisipadagrafberarahdisebutjugabusur

  15. Simpul 1 dan 2, 1 dan 3, 2 dan 3, 2 dan 4, 3 dan 4 adalahsimpul-simpul yang bertetangga. Sedangkansimpul 1 dan 4 adalah simpul yang tidakbertetangga 1  e1 e2 e5 2 3 e4 e3  Gambar 12.8 4 Simpul-simpul yang bertetangga: 1 bertetanggadengan 2 dan 4. Berarti 2 dan 4 tetangga 1 2 bertetanggadengan 3 Berarti 3 tetangga 2 4 bertetanggadengan 3 berarti 3 tetangga 4 3 1   ▼ ▼ ▼ ▼   4 2 Gambar 12.9

  16. 2. Bersisian (Incident) Padagraftak-berarah, jika e = (u, v), maka e disebutbersisiandengansimpul u dan v. Sisi e jugadisebutsisiygmenghubungkan u dan v. Simpul u dan v disebuttitikujung (endpoints), sedangkanpadagrafberarah, u disebutsimpul asal (initial vertex) dansimpul v disebutsimpul terminal (terminal vertex) 1  e1 e2 e5 2 3 e4 e3  4 e1bersisiandengan simpul 1 dan 2 e2bersisiandengan simpul 1 dan 3 Gambar 12.10

  17. 3. Simpulterpencil (Isolated vertex) Adalahsimpul yang tidakbertetanggadengansimpullainnya, atausimpul yang tidakmempunyaitetangga. dapatjugadikatakanbahwasimpulterpenciadalahsimpul yang tidakmemunyaisisi yang bersisiandengansimpultersebut. 1  e1 e2 e5 2 3 e4 e3  4 5  Padagambar 12.11, Simpul 5 adalah Simpulterpencil Gambar 12.11

  18. 4. Graf kosong (Null graf) Adalahgraf yang tidakmempunyaisisidan ditulisNn . Indeks n menunjukkanjumlahsimpul 1  2  Gambar 12.12   4 3 Gambar 12.12 adalahgrafkosong N4

  19. 4. Derajad (Degree) Derajadsuatusimpulpadagraftak-berarahadalahjumlahsisiygbersisiandengansimpultsb. Derajadsimpul v ditulis d(v) 1  e1 e2 e5 2 3 e4 e3 d(1) = 2 d(2) = 3 d(3) = 3 d(4) = 4 Ingat! Setiapsisigelang memberikontribusiderajadsebesar 2 padasimpul yang bersangkutan  4 e6 Gambar 12.12

  20. Derajadsimpulpadagrafberarahdinyatakandengan din(v) dandout(v). din (v) = derajad-masuk (in-degree) dout (v) = derajad-keluar (out-degree) d(v) = din (v) + dout (v) din (v) = dout (v) = |e| ▼ 3 1   din(1) = 0 dout(1) = 3 din(2) = 2 dout(2) = 2 din(3) = 3 dout(3) = 0 din(4) = 2 dout(4) = 2 ▼ ▼ ▼ ▼ ▼ ▼   4 2 Gambar 12.13

  21. 5. TeoremaJabatTangan (Handshaking Theorem) Jumlahderajadsemuasimpuldalamsebuahgrafselalugenap, yaitudua kali jumlahsisi, atau  d(v) = 2 |e| 1  e1 e2 e5 2 3 e4 e3  4 Jumlahderejadseluruh simpuldapagambardi sampingadalah, d(1)+d(2)+d(3)+d(4) = 2 x e 2 + 3 + 3 + 2 = 2(5) = 10 Gambar 12.14

  22. Contoh 12.1 Diketahuigrafdengan 7 buahsimpul. Dapatkahkita menggambargraftersebutjikaderajadmasing-masingsimpuladalah: a) 3, 2, 4, 5, 1, 2, 2 b) 3, 4, 1, 2, 4, 3, 1 Penyelesaian Jumlahderajadpada a) adalahganjil (19). Jadigrafiknyatidakada. Jumlahderajadpada b) adalahgenap (18). Jadigrafiknyaadadanbisadigambar. 1 2 3 6 5 7 4

  23. 6. Untuksembaranggraf G, jumlahsimpul yang mempunyaiderajadganjilselalugenap. 7. Lintasan (Path) Lintasanpadagraf G yang dimulaipadasimpulawal v0kesimpultujuanvnmempunyaipanjang n yang membentukbarisanberselang-seling, yaitusimpulawal, sisi, simpul, sisi, simpul, … , simpulakhir. atau v0, e1, v1, e2, v2, …, vn-1, en, vn

  24. Lintasansederhana Sebuahlintasandikatakansederhanajikasisipadagraf G dilaluisebanyak-banyaknyasatu kali. Lintasantertutup Lintasan yang dimulaidanberakhirpadasimpul yang sama. Lintasanterbuka Lintasan yang dimulaidanberakhirpadasimpul yang berbeda. Panjanglintasan Adalahjumlahsisidalamlintasan.

  25. Contoh 12.2 4 1 Lintasan 1–2–3–4 adalahlintasan sederhanadanterbuka Lintasan 1–2–3–4 –1 adalahlintasan sederhana, dantertutup Lintasan 1–2–4–2–3 adalahlintasan tak-sederhana, danterbuka     3 2

  26. 8. Sirkuit Adalahlintasan yang berawaldanberakhirpadasimpul yang sama (lintasantertutup) Sirkuitsederhana Jikasetiapsisi yang dilaluiberbeda. 4 1   Contoh 12.3   3 2 Lintasan 1–2–4–1 adalah sirkuitsederhana Lintasan 1–2–3–4–2–1 adalah bukansirkuitsederhana karenasisi (2,1) dilalui dua kali

  27. 9. Terhubung (Connected) Graf tak-berarah G disebutgrafterhubung (connected graph) jikauntuksetiappasangsimpul u dan v terdapatlintasandari u ke v (berartijugasebaliknya). Graf berikutadalahgraftak-berarah yang tidakterhubung 1  e1 e2 e5 2 3 e4 e3  4 5 e6 6

  28. Simpulterhubungkuat (strongly connected vertex) Simpul u dan v padasuatugrafberarahdisebut terhubungkuatjikaterdapatlintasandari u ke v, danjugasebaliknya. Simpulterhubunglemah (weakly connected vertex) Simpul u dan v padagrafberarah G disebut terhubunglemahjikaterdapatlintasandari u ke v, tapitidakterdapatlintasandari v ke u.

  29. Graf terhubungkuat (strongly connected graph) Graf berarah G disebutterhubungkuatjikauntuksetiappasangsimpul vidanvjterhubungkuat. Jikatidak, makagrafdisebutterhubunglemah (weakly connected graph). 1 Graf (a) terhubungkuat karenasetiappasang simpulnyaterhubungkuat. Graf (b) terhubunglemah, karenaadasebagian pasangsimpulterhubung lemah.  1 2 5 2 5 3 4 (b) (a) Gambar 12.15 3 4

  30. 10. Upagraf (Subgraph) danKomplemenUpagraf Misal G = (V, E) adalahsebuahgraf, maka G1 = (V1, E1) adalahupagrafdari G, jika V1 V dan E1 E. Komplemendariupagraf G1terhadapgraf G adalahgraf G2 = (V2, E2) sedemikian, sehingga E2 = E – E1dan E2bersisian (incident) dengan himpunansimpul V2.

  31. 2 1 1 3 3 6 4 5 5 (a) (b) (c) Sebuah upagrafdari G1 Komplemendariupagraf yang bersesuaian Graf G1 2 1 Gambar 12.16 UpagrafdanKomplemenUpagraf 3 6 4 5

  32. Upagrafmerentang (Spanning Subgraph) Upagraf G1 = (V1, E1) dari G = (V, E) dikatakan Upagrafmerentangjika V1 = V, atau G1mengandungsemuasimpuldari G. 1 1 1 3 2 2 3 2 3 (c) Bukanupagraf merentangdari G 5 4 5 4 (a) (b) Graf G Upagraf merentangdari G

  33. 12. Cut-set Cut-setdarigrafterhubung G adalahhimpunan sisi, yang biladibuangdari G menyebabkan G tak- terhubung. Nama lain daricut-setadalahbridge. Ingat!Di dalamcut-settidakbolehmengandunghimpunanbagian yang jugacut-set. Contoh 12.4 PerhatikanGambar 12.17. Jikasisi (1,2) dibuangdari G, grafmasihterhubung. Jikasisi-sisi (1,2) dan (1,5) dibuang, G masihtetapterhubung. Jikadibuangsisi-sisi (1,2), (1,5), (3,5), dan (3,4), makagraf G menjaditak-terhubunglagi. Karenaitusisi-sisi (1,2), (1,5), (3,5), dan (3,4) disebutcut-set.

  34. 2 1 2 1         6 5 6 5     4 3 4 3 Gambar 12.17 Cut-set {(1,2), (1,5), (3,5), (3,4)}

  35. Cut-setlainnya 2 1 2 1         6 5 6 5     4 3 4 3 Gambar 12.18 Cut-set {(1,2), (2,5)}

  36. Cut-setlainnya 2 1 2 1         6 5 6 5     4 3 4 3 Gambar 12.18 Cut-set {(1,3), (1,5), (1,2)}

  37. Cut-setlainnya 2 1 2 1         6 5 6 5     4 3 4 3 Gambar 12.18 Cut-set {(2,6}

  38. BukanCut-set. 2 1 2 1         6 5 6 5     4 3 4 3 Gambar 12.18 Cut-set {(1,2), (2,5), (4,5)}

  39. 13. Graf berbobot (Weighted graph) Graf berbobotadalahgraf yang setiapsisinyamempunyaibobotatauharga 8 10 1 12 11 9 15 2 3 14 5 4 Gambar 12.19 Graf berbobot

  40. 14. Graf SederhanaKhusus Graf lengkap (Complete graph) Graf lengkapadalahgrafsederhana yang setiap simpulnyamempunyaisisikesimpullainnya. Graf lengkap yang mempunyai n buahsimpuldilambangkandengan Kn. SetiapsimpulpadaKnmempunyaiderajad n – 1

  41. K1 K2 K3 K4 K5 K6 Gambar 12.20 Graf lengkapKn 1  n  6

  42. B. Graf lingkaran Graf lingkaranadalahgrafsederhana yang setiapsimpulnyaberderajad 2. Graf lingkarandengan n simpuldilambangkandenganCn. Jikasimpul-simpulpadaCnadalah v1, v2 , … , vn, makasisi-sisinyaadalah (v1, v2), (v2, v3), …, (vn-1, vn), dan (vn, v1). Graf lingkaranadalahgrafsederhana yang setiapsimpulnyamempunyaisisikesimpullainnya.

  43.                  Gambar 12.21 Graf lingkaranCn 3  n  6

  44. C. Graf Teratur (Regular Graph) Graf teraturadalahgraf yang mempunyaiderajad yang samapadasetiapsimpulnya. Jikaderajadsetiapsimpuladalahr, makagraftersebutadalahgrafteraturderajadr.                    Gambar 12.22 Graf teratur

  45. Perludiketahuibahwa: Graf lengkapKnadalahgrafteraturderajad n – 1. Graf lingkaranCnadalahgrafteraturderajad 2. Jumlahsisi (e) padagrafteratur = nr/2 Contoh 12.5 Berapajumlahmaksimumdan minimum simpul padagrafsederhana yang mempunyai 12 buahsisidansetiapsimpulberderajadsama? Penyelesian e = nr/2 = 12  n = 2e/r = 2(12)/r = 24/r

  46. Syaratumumgraf : n = bilanganbulatdan n – 1  r Syaratgrafsederhana : r  2 r = 2  n = 24/2 = 12 r = 3  n = 24/3 = 8 r = 4  n = 24/4 = 6 r = 5  n = 24/5 = 4,8 (tidakmungkin; n tidakbulat) r = 6  n = 24/6 = 4 (tidakmungkinkarena n – 1  r) r = 7  n = 24/7 = 3,47 (tidakmungkin; n tidakbulat) r = 8  n = 24/8 = 3 (tidakmungkinkarena n – 1  r)

  47. D. Graf Bipartit (Bipartite Graph) Jikahimpunansimpul V padagraf G dapatdikelompokkanmenjadiduahimpuan V1dan V2 sedemikian, sehinggasetiapsisididalamgraf G menghubungkansebuahsimpulpada V1kesebuah simpuldi V2 , makagraf G disebutgrafbipartit. Jadisetiapsimpulpada V1tidakbertetangga. begitujugasimpulpada V2.      Gambar 12.23 Graf bipartit G(V1, V2

  48. Contoh 12.6 Tunjukkanbahwagrafberikutadalahgrafbipartit a b d        g c e f b a c g f d e

  49. Padagrafbipartit, apabilasetiapsimpuldi V1bertetanggadengansemuasimpuldi V2, makagraf G (V1, V2) disebutgrafbipartitlengkap. Jikajumlahsimpulpada V1 = m dan V2 = n, makagrafbipartitlengkapdilambangdenganKm,n Gambar 12.24 Graf bipartitlengkap K2,3 K3,3 K2,4

  50. 15. Representasi Graf Untuktujuanpemrosesandidalamkomputer, perlu mempertimbangkanuntukmenyajikangrafdalamcara, yaitu: MatriksKetetanggaan (Adjancency Matrix) Matriksketetanggaanadalahmatrikspersegi. Jikamatriks yang mewakilirepresentasigrafadalah A = [aij], makaaij = 1 jikasimpulidan j bertetangga. Jikatidakmakaaij = 0.

More Related