Curso: TEDU220

1. TEOREMA DE PITÁGORAS Curso: TEDU220 Preparado por: Yazluan Más Figueroa

2. Introducción • Estudiaremos el Teorema de Pitágoras para investigar los triángulos, rectángulos, susmedidas y areas. Tambien evaluaremos el aprendizaje atraves de ejercicios de práctica.

3. Requisitosquedebes saber • El estudiante para poderaprender a utilizar el teorema de pitágorasdebe saber: • Sumar, Restar y Multiplicar • Sacar la raízcuadrada • Medición de ángulos y clasificarlos • IdentificarTriángulos y suslados • ClasificarTriángulos y Rectángulos

4. Indice • ¿QuienesPitágoras? • ¿Quees el Teorema de Pitágoras? • ¿Quees un TriánguloRectángulo? • Hipotenusa • La formula • Como usar la formula • Demostración de cálculo de áreas • Demostraciónusando longitudes de segmento • Demostración geométrica mediante superposición de figuras • Comenzar a Prácticar • Repaso • Videos • Evaluación • Bibliografía

5. ¿Quienes Pitágoras? • Naceen Samos,pero siendo joven abandona su tierra natal y visita la Mesopotamia y Egipto, donde adquiere grandes conocimientos matemáticos. Según Bertrand Russell, la matemática como argumento deductivo-argumentativo empieza con Pitágoras.

6. Suscontribuciones • 1. Su doctrina consiste en la teoría de los números #. • 2. Creyeron en la esferidad de la tierra y el movimiento alrededor de un fuego central. • 3. Explicaron los elipses y las fases lunares. • 4. Aplicación de la aritmética y la geometría. • 5. Fundo comunidad religiosa, política y científica

7. Suscontribuciones • 6.La relación entre los sonidos y la longitud de la cuerda vibrante • 7. El teorema de pitágoras • 8. La tabla de multiplicar • 9. La relación de la música y lasmatemáticas • 10. Nace la idea de la “armonía de las esferas”, sostenían la relaciónque existe entre el diámetro de la orbita de los astros es proporcionar a las longitudes que existe en las cuerdas musicales.

8. ¿Quees el teorema de pitágoras? • Es un teorema que se aplica exclusivamente a triángulos rectángulos y nos sirve para obtener un lado o la hipotenusa de un triángulo, si es que se conocen los otros dos. El teorema se enuncia así: a2 + b2 = c2

9. ¿Quees un TrianguloRectángulo ?

10. TriánguloRectángulo • Un triángulo rectángulo tiene un ángulo recto y dos agudos

11. Triángulo Rectángulo • es un triángulo que tiene un ángulo recto, es decir de 90º.

12. Triángulo Rectángulo • Los lados de un triángulo rectángulo que forman el ángulo recto, b y c, se llaman catetos y el tercer lado, a, (opuesto al ángulo recto) es la hipotenusa. El teorema de Pitágoras relaciona los dos catetos y la hipotenusa: en un triángulo rectángulo, el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos:

13. Hipotenusa

14. Hipotenusa • La hipotenusa es el lado opuesto al ángulo recto, y es lado mayor del triángulo

15. En primer lugar deberíamos recordar un par de ideas: • En un triángulo rectángulo, el lado más grande recibe el nombre de hipotenusa y los otros dos lados se llaman catetos.

16. La Formula

17. La formula • La expresión matemática que representa este Teorema es: hipotenusa2 = cateto 2 + cateto 2 c2 = a2 + b2

18. La formula • Un ángulo recto se puede definir como el ángulo formado cuando dos líneas rectas se cruzan de tal forma que los cuatro ángulos que forman son iguales. El teorema también se puede definir de otra forma: si las longitudes de los tres lados (a,b,c) de un triángulo satisfacen la relación anterior, el ángulo entre los lados a y b debe ser de 90 grados.

19. La formula • Por ejemplo, un triángulo con los lados a = 3, b = 4, c = 5 (pulgadas, pies, metros,... lo que sea) es rectángulo porque a2+ b2 = 32 + 42 = 9 + 16 = 25 = c2

20. Como la usar la formula • Para usar el teorema de Pitágoras, sólo hay que sustituir los datos que te dan, por ejemplo, en el triángulo rectángulo: • te dan a (que es 3) y b (que es 4), así que sustituimos en la fórmula, y eso nos dá: • c2 = (3)2 + (4)2 • elevando al cuadrado, eso da: • c2 = 9 +16 = 25 • para obtener el valor de c, sacamos raíz cuadrada: • que c = 5.

22. Como usarlacuandotefaltauno de los catetos: • Cuando lo que te falta es uno de los catetos (uno de los lados, pues) , hay que despejar de la fórmula la a2 o la b2, la que quieras. • así por ejemplo, en el triángulo: • hay que despejar la a de la fórmula del teorema de Pitágoras, la b2 está sumando, la paso restando: • c2- b2 = a2 • luego, como es, una igualdad, puedo escribirla así: • a2 = c2 - b2 • y ya está despejada. • sustituimos ahora los valores que nos dan de c y b ( 15 y 12) • a2 = (15)2 - (12)2 • elevamos al cuadrado y queda: • a2 = 225 - 144 = 81 • finalmente, sacamos raíz al resultado, y ese será el valor de a:

23. Demostraciones

24. Demostración mediante el cálculo de áreas • La primera demostración se basa en el hecho de que dos cuadrados cuyos lados tienen la misma longitud deben tener la misma área. 

25. Demostración mediante el cálculo de áreas • También se usa el cálculo del área de una figura mediante la suma de las áreas de las partes en que se divide dicha figura. •      El triángulo ABC es rectángulo. •      El C = 90°, a y b son los catetos, c es la hipotenusa.

26. Demostración mediante el cálculo de áreas • Se construyen dos cuadrados de lado a + b y se divide esta longitud en segmentos de longitudes a y b, como se muestra en las figuras. • Puesto que los dos cuadrados tienen lados de longitud a + b, los dos tienen la misma área.

27. Demostración mediante el cálculo de áreas • El área del cuadrado que se dividió en cuadrados y rectángulos es: A = a 2 + 2ab + b 2 •  Como las áreas son iguales, se tiene 2ab + c2 = a2 + 2ab + b2. Restando 2 ab de ambos miembros de la igualdad se llega a: c 2 = a 2 + b 2 • El área del cuadrado construido sobre la hipotenusa de un triángulo rectángulo es igual que la suma de las áreas de los cuadrados construidos sobre los catetos.

28. Demostración usando longitudes de segmentos • Si en lugar de las áreas se consideran longitudes de segmentos, el teorema de Pitágoras se puede enunciar así: el cuadrado de la longitud de la hipotenusa de un triángulo es igual que la suma de los cuadrados de las longitudes de los catetos.

29. Demostración usando longitudes de segmentos • La altura de un triángulo rectángulo trazada sobre la hipotenusa divide el triángulo en dos triángulos semejantes entre sí, y también semejantes al triángulo original. •      En el triángulo rectángulo ABC se tiene: •      El C = 90°, c es la hipotenusa, a y b son los catetos, es la altura sobre la hipotenusa.

30. Demostración usando longitudes de segmentos • Para facilitar el siguiente paso, se dibujan los triángulos semejantes como aparecen en la figura anterior.

31. Demostración usando longitudes de segmentos • Aplicando la propiedad fundamental a las proporciones anteriores, se obtiene: • Sumando las dos igualdades, miembro a miembro, se tiene que: • Factorizandoc en el segundo miembro, resulta:

32. Demostración geométrica mediante superposición de figuras • 1. Se traza un triángulo rectángulo ABC en el que C sea igual a 90°, a y b son los catetos, c es la hipotenusa. • 2. Ahora se trazan los cuadrados cuyos lados tienen longitudes a, b y c de manera respectiva. • 3. Se tratará de probar, mediante superposición, que la suma de las áreas de los cuadrados construidos sobre los catetos es igual que el área del cuadrado construido sobre la hipotenusa.

33. Demostración geométrica mediante superposición de figuras Para lo cual se requiere: • 4. Localizar el punto medio M del cuadrado de longitud b, lo que se logra trazando las diagonales de dicho cuadrado. • 5. Por el punto M, se trazan rectas paralelas a los lados del cuadrado construido sobre la hipotenusa  • 6. Se recorta el cuadrado cuyo lado es a y las partes del cuadrado cuyo lado es b. • 7. Se colocan las figuras recortadas sobre el cuadrado cuyo lado es c, como se indica en la figura. • 8. Si se cubre exactamente el cuadrado, se cumple que: c2 = a2 + b2

34. Antes de comenzar a Prácticar: • Repasarentrando a estapágina virtual: • http://virtual.areandina.edu.co/uva/images/swf/teorema.swf

35. Ejercicios de Práctica Escoge la mejor contestación

36. ¿Cuál es el área de un triángulo rectángulo con un cateto de 5 pies de longitud y una hipotenusa de 13 pies de longitud? Puedes considerar los dos catetos como la base y la altura del triángulo. La longitud de un cateto es 5 pies. Para encontrar la longitud del otro cateto, usa el Teoremade Pitágoras. • b=12 • b=6 • b=10 • b=13 13 pies 5 pies PróximaPregunta

37. ¡¡¡¡Muy Bien!!!! b=12 Ejercicioresuelto: • a^2 + b^2 = c^2 La fórmula de Pitágoras. • 5^2 +b^2 = 13^2 Sustituye. • 25 +b^2 = 169 Eleva los términos al cuadrado. • b^2 = 144 Resta 25 de ambos lados. • b =12 Saca la raíz cuadrada positiva de cada lado. PróximaPregunta

38. Incorrecto!! • Tucontestaciónno es la correcta. La contestacióncorrectaes la letra: A) b=12 Ejercicioresuelto: • a^2 + b^2 = c^2 La fórmula de Pitágoras. • 5^2 + b^2 = 13^2 Sustituye. • 25 + b^2 = 169 Eleva los términos al cuadrado. • b^2 = 144 Resta 25 de ambos lados. • b = 12 Saca la raíz cuadrada positiva de cada lado. ProximaPregunta

39. Incorrecto • Tucontestaciónno es la correcta. La contestacióncorrectaes la letra: A) b=12 Ejercicioresuelto: • a^2 + b^2 = c^2 La fórmula de Pitágoras. • 5^2 + b^2 = 13^2 Sustituye. • 25 + b^2 = 169 Eleva los términos al cuadrado. • b^2 = 144 Resta 25 de ambos lados. • b = 12 Saca la raíz cuadrada positiva de cada lado. PróximaPregunta

40. Incorrecto • Tucontestaciónno es la correcta. La contestacióncorrectaes la letra: A) b=12 Ejercicioresuelto: • a^2 + b^2 = c^2 La fórmula de Pitágoras. • 5^2 + b^2 = 13^2 Sustituye. • 25 + b^2 = 169 Eleva los términos al cuadrado. • b^2 = 144 Resta 25 de ambos lados. • b = 12 Saca la raíz cuadrada positiva de cada lado. PróximaPregunta

41. La diagonal es la hipotenusa de un triángulo rectángulo, con catetos de longitudes 70 m y 100 m. Puedes usar el Teoremade Pitágoras paraencontrarsulongitud. • c=120 • c=125 • c=122 • c=140 Una cancha de fútbol olímpica es un rectángulo de 100 metros de largo y 70 metros de ancho. ¿Qué longitud tiene la diagonal de la cancha? c 70 m 100 m PróximaPregunta

42. No esCorrecta Teequivocaste La diagonal tiene una longitud aproximada de 122 metros. • Solucion: • a^2 + b^2 = c^2 La fórmula de Pitágoras. • 70^2 + 100^2 = c^2 Sustituye los valores conocidos. • 4,900 + 10,000 = c^2 Eleva los términos al cuadrado. • 14,900 = c^2 Suma. • 122 = c Saca la raíz cuadrada positiva de cada lado. PróximaPregunta

43. No esCorrecta Teequivocaste La diagonal tiene una longitud aproximada de 122 metros. • Solucion: • a^2 + b^2 = c^2 La fórmula de Pitágoras. • 70^2 + 100^2 = c^2 Sustituye los valores conocidos. • 4,900 + 10,000 = c^2 Eleva los términos al cuadrado. • 14,900 = c^2 Suma. • 122 = c Saca la raíz cuadrada positiva de cada lado. PróximaPregunta

44. No esCorrecta Teequivocaste La diagonal tiene una longitud aproximada de 122 metros. • Solucion: • a^2 + b^2 = c^2 La fórmula de Pitágoras. • 70^2 + 100^2 = c^2 Sustituye los valores conocidos. • 4,900 + 10,000 = c^2 Eleva los términos al cuadrado. • 14,900 = c^2 Suma. • 122 = c Saca la raíz cuadrada positiva de cada lado. PróximaPregunta

45. ¡Perfecto! • Escojistes la contestacioncorrecta! La diagonal tiene una longitud aproximada de 122 metros. • Solucion: • a^2 +b^2 = c^2 La fórmula de Pitágoras. • 70^2 + 100^2 = c^2 Sustituye los valores conocidos. • 4,900 + 10,000 = c^2 Eleva los términos al cuadrado. • 14,900 = c^2 Suma. • 122 = c Saca la raíz cuadrada positiva de cada lado. PróximaPregunta

46. Halla la longitudquefalta: • a=10 • a=9 • a=15 • Ninguna de lasanteriores a= ? b=12 c=15 PróximaPregunta

47. Excelente! • La contestacioncorrectaes la letra B) a=9 EjercicioResuelto: PróximaPregunta

48. ¡Te equivocaste, Túpuedesmejorar! • La contestacióncorrectaes la letra: B) a=9 EjercicioResuelto: PróximaPregunta

49. ¡Te equivocaste, Túpuedesmejorar! • La contestacióncorrectaes la letra: B) a=9 EjercicioResuelto: PróximaPregunta

50. ¡Te equivocaste, Túpuedesmejorar! • La contestacióncorrectaes la letra: B) a=9 EjercicioResuelto: PróximaPregunta