vwo A/C Samenvatting Hoofdstuk 1

1. vwo A/C Samenvatting Hoofdstuk 1

2. Telproblemen overzichtelijk weergeven • boomdiagram • wegendiagram • rooster maken • alle mogelijkheden systematisch uit schrijven 1.1

3. Hoe maak je een boomdiagram ? • 1 zoek uit hoeveel takken er bij de eerste keuze horen, deze takken vertrekken uit het beginpunt • 2 zet de keuzemogelijkheden langs de takken • 3 zet de volgorde achter de laatste takken 1.1

4. voorbeeld:Tenniswedstrijd 2 gewonnen sets 1e set 2e set 3e set N-N N wint N wint N-G-N N wint G wint N-G-G N-G-G G wint geef aan hoe G in 3 sets wint N wint G-N-N N wint G wint G-N-G G-N-G G wint G wint G-G 1.1

5. Wegendiagram kip soep ham ijs ∙ ∙ ∙ ∙ pizza cocktail meloen schnitzel 2 mogelijkheden 4 mogelijkheden 2 mogelijkheden vermenigvuldigingsregel x 2 x 4 2 = 16 1.1

6. Rooster maken Je gooit met een rode en een groene dobbelsteen tel de ogen bij elkaar op, maak hiervan een rooster. som 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 7 2 3 4 5 6 7 8 3 4 5 6 7 8 9 4 5 6 7 8 9 10 5 6 7 8 9 10 11 6 7 8 9 10 11 12 1.1

7. Systematisch de mogelijkheden noteren Er zijn 4 mogelijkheden om bij een worp met vier dobbelstenen in totaal 5 te gooien. 1112 1121 1211 2111 1.1

8. halve competitie Je speelt maar 1x tegen elkaar. vb. Hoeveel wedstrijden spelen 4 teams 4 x 3 : 2 = 6 wedstrijden ? hele competitie Je speelt 2x tegen elkaar. vb. Hoeveel wedstrijden spelen 4 teams 4 x 3 = 12 wedstrijden ? je speelt niet tegen jezelf A B C D A B C D A X A-B A-C A-D A X A-B A-C A-D B X X B-C B-D B B-A X B-C B-D C X X X C-D C C-A C-B X C-D D X X X X D D-A D-B D-C X 6 wedstrijden 12 wedstrijden 1.1

9. De vermenigvuldigingsregel • Een gecombineerde handeling die bestaat uit 1 handeling I die op p manieren kan worden uitgevoerd 2 en handeling II die op q manieren kan worden uitgevoerd 3 en handeling III die op r manieren kan worden uitgevoerd • kan op p × q × r manieren worden uitgevoerd. 1.2

10. De vermenigvuldigingsregel of de somregel • Kan handeling I op p manieren en handeling II op q manieren, • dan kan : 1 handeling I EN handeling II op p × q manieren 2 handeling I OF handeling II op p + q manieren. 1.2

11. Herhaling • Het is bij telproblemen belangrijk je af te vragen of herhalingen zijn toegestaan. • zonder herhaling • een bestuur kiezen • met herhaling • het aantal mogelijke nummerborden 1.2

12. Zonder herhaling • Uit 5 personen wordt er eerst een voorzitter gekozen en dan een secretaris. • Het aantal manieren is • aantal = 5 × 4 = 20 eerst de voorzitter: keuze uit 5 personen dan de secretaris: keuze uit 4 personen 1.2

13. Met herhaling In Nederland zijn er nummerborden met 2 cijfers – 2 letters – 2 letters, hierbij zijn de klinkers A, E, I, O en U niet toegestaan. Het aantal mogelijke nummerborden is aantal = 10 × 10 × 21 × 21 × 21 × 21 = 19.448.100 10 cijfers voor de eerste plaats 10 cijfers voor de tweede plaats 26 – 5 = 21 letters voor de derde plaats 26 – 5 = 21 letters voor de vierde plaats enz. 1.2

14. Permutaties en faculteiten een ander woord voor rangschikking is permutatie bij een permutatie mogen geen herhalingen optreden het aantal permutaties van 3 uit 8, dus het aantal rangschikkingen van drie dingen die je uit 8 kiest, is 8 × 7 × 6 het aantal permutaties van 4 uit 9 is 9 × 8 × 7 × 6 het aantal permutaties van 9 uit 9 is 9 × 8 × 7 × 6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1 de notatie voor dit product is 9! spreek uit : 9 faculteit kortweg : het aantal permutaties van 9 dingen is 9! het aantal permutaties van n dingen, dus het aantal rangschikkingen van n dingen is n! n ! = n× (n -1) × (n -2) × (n -3) × …… × 4 × 3 × 2 × 1 GR het aantal permutaties van 6 uit 10 is optie nPr 10 nPr 6 = 151200 1.3

15. Rangschikking Het aantal rangschikkingen van 5 stripboeken en 3 romans. Je kunt 5 stripboeken en 3 romans op 8! manieren op een boekenplank rangschikken 4! × 5! manieren rangschikken als de stripboeken naast elkaar moeten staan 2! × 5! × 3! manieren rangschikken als de stripboeken en ook de romans naast elkaar moeten staan • beschouw de stripboeken als één groep • je hebt dan 4 dingen (3 romans en 1 groep stripboeken) die je op 4! manieren kunt rangschikken • binnen de groep van de stripboeken zijn er telkens 5! rangschikkingen • in totaal heb je 4! × 5! rangschikkingen 1.3

16. Permutaties van n dingen waarvan er p gelijk zijn • het aantal permutaties van n dingen waarvan er p gelijk zijn • (en de rest verschillend is) is • zo kun je de letters van het woord ADRIANA op • manieren rangschikken • de letters van het woord ALESSANRA kun je op • manieren rangschikken • immers je hebt in totaal 9 letters : • de letter A komt 3 keer voor en de letter S komt 2 keer voor n!p! 7! 3! 9! 3! × 2! 1.3

17. Combinaties • is bij het kiezen van 4 dingen uit 7 dingen de volgorde niet van belang, dan spreken we van het aantal combinaties van 4 uit 7 • het aantal combinaties van 4 uit 7 noteren we als • spreek uit: 7 boven 4 • het aantal combinaties van 4 uit 7, dus het aantal manieren om 4 dingen te kiezen • uit 7 dingen zonder op de volgorde te letten, is 7 4 7 4 1.4

18. Aantallen combinaties vermenigvuldigen en optellen uit klas 4 vwo A wordt een comité van 5 leerlingen gevormd het aantal mogelijke comités met 3 jongens is × = 29 920 3 jongens EN 2 meisjes, dus VERMENIGVULDIGEN minstens 4 jongens is × + × = 9207 4 jongens OF 5 jongens, dus OPTELLEN 2 van de 17 meisjes 3 van de 12 jongens 17 2 12 3 5 jongens + 0 meisjes 4 jongens + 1 meisje 12 4 17 1 12 5 17 0 1.4

19. op hoeveel manieren kun je 5 dingen kiezen uit 8 dingen volgorde van belang ? nee aantal = ‘6 boven 2’ ja herhaling toegestaan ? nee ja aantal = 8x7x6x5x4 aantal = 8x8x8x8x8 Schema 1.4

20. Rijtjes bestaande uit A’s en B’s het totale aantal rijtjes bestaande uit 4 A’s en 7 B’s vind je als volgt : 114 117 • dus er zijn = = 165 manieren • er zijn twee manieren om het eerste hokje te vullen en er zijn twee manieren om het volgende hokje te vullen, enzovoort • totaal zijn er 2 × 2 × 2 × …… × 2 = 211 = 2048 manieren • het aantal rijtjes bestaande uit 4 A’s en 7 B’s is en ook • het totale aantal rijtjes van 11 hokjes met in elk hokje een A of een B is 211 114 117 1.5

21. Routes in een rooster Hoeveel routes zonder omwegen zijn er mogelijk van A naar C via B. Van A naar B heb je te maken met een rijtje bestaande 1 N en 2 O’s dat zijn = 3 mogelijkheden Van B naar C heb je te maken met een rijtje bestaande uit 2 N’s en 3 O’s dat zijn = 10 mogelijkheden Het totale aantal manieren om van A via B naar C te gaan is dus × = 3 × 10 = 30 C ∙  Noord ∙ B 3 1 ∙ A  Oost 5 2 van A naar B EN van B naar C dus vermenigvuldigen 3 1 5 2 1.5

22. Algemeen B ∙ • het aantal routes zonder omwegen van A naar B in het rooster hiernaast • is • afspraak: • In deze paragraaf bedoelen we met routes in een rooster altijd routes zonder omwegen, we zetten dat er meestal niet bij. 8 3 ∙ A 1.5

23. De driehoek van Pascal • in de driehoek van Pascal is elk getal gelijk aan de som van de twee getallen die er schuin boven staan • elk getal in de driehoek geeft het aantal routes om vanuit de top op die plaats te komen • in de 4e rij van de driehoek van Pascal staan de getallen • de som van de getallen in de vierde rij is 24 4 0 4 1 4 2 4 3 4 4 , , , en 1 = 20 rij 0 1 rij 1 1 1 2 = 21 rij 2 4 = 22 1 2 1 rij 3 1 3 3 1 8 = 23 rij 4 1 4 6 4 1 16 = 24 1.5

24. 1.5